Basis

Die Basis oder Grundzahl ${\displaystyle b}$ des Stellenwertsystems legt den Faktor fest, um den der Stellenwert von Stelle zu Stelle größer wird, angefangen mit dem Stellenwert eins auf der niederwertigsten Stelle einer natürlichen Zahl. Diese Basis ist also dieselbe wie die Basis der Potenzen von ${\displaystyle b}$, die die Stellenwerte ergeben, und sie stimmt mit dem Umfang des Ziffernvorrats überein. Ein Stellenwertsystem mit der Basis ${\displaystyle b}$ nennt man auch ${\displaystyle b}$-adisches Zahlensystem (nicht zu verwechseln mit ${\displaystyle p}$-adischen Zahlen). Jede ganze Zahl ${\displaystyle b\geq 2}$ eignet sich als Basis für ein Stellenwertsystem. (Bei ${\displaystyle b=1}$ hätten alle Stellen denselben Stellenwert, was dem Prinzip des Stellenwertystems widerspräche.) Die gängigsten Basen sind:

• ${\displaystyle b=\;2}$ : das in der Digitaltechnik verwendete Dualsystem (auch Binärsystem genannt)
• ${\displaystyle b=10}$: unser vertrautes Dezimalsystem
• ${\displaystyle b=16}$: das in der Datenverarbeitung wichtige Hexadezimalsystem.

Weitere in der Praxis verwendete ${\displaystyle b}$-adische Zahlensysteme finden sich im Abschnitt Gebräuchliche Basen.

Ziffernvorrat

Bei einem Stellenwertsystem wird ein Ziffernsystem mit genau ${\displaystyle b}$ verschiedenen Ziffern verwendet. Bei den verbreitetsten Ziffernsystemen steht eine Ziffer der unten angegebenen Art für einen ganzzahligen Ziffernwert ${\displaystyle \in \{0,1,\ldots ,b-1\}}$. Beim Hochzählen (das entspricht der Addition einer Eins) wird in der festgelegten Reihenfolge zur Ziffer mit dem nächsthöheren Wert übergegangen; bei den wenigen vorhandenen Ziffern wären aber nur wenige Zählschritte möglich. Deshalb wird bei der höchstwertigen Ziffer durch Addition einer Eins auf die niedrigstwertige Ziffer übergegangen und auf der nächsthöheren Stelle eine Eins addiert. Bei einem Übertrag auf eine nicht besetzte Stelle wird diese vorab mit einer Null besetzt; bei einer nicht begrenzten Anzahl von Stellen lässt sich dadurch das Zählen unbeschränkt fortsetzen.

In den gängigen Zahlensystemen werden folgende Ziffern verwendet und ihnen ein Ziffernwert zugewiesen (zur besseren Unterscheidung werden hier Ziffersymbole fett und ihre zugehörigen Werte normal gedruckt):

• Im Dualsystem werden die beiden Ziffern 0 und 1 verwendet und ihnen jeweils die Werte der Zahlen 0 und 1 zugeordnet.
• Im Dezimalsystem werden die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 verwendet und ihnen jeweils die Werte der Zahlen von 0 bis 9 in der konventionellen Reihenfolge zugeordnet.
• Im Hexadezimalsystem werden die sechzehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E und F verwendet und ihnen jeweils die Werte der Dezimalzahlen von 0 bis 15 zugeordnet.

Ist die Basis sehr groß, kommt es meistens zu einer Kombination weniger Ziffern in einem weiteren Zahlensystem. So ist es beim Sexagesimalsystem üblich, statt 60 verschiedenen Zeichen eine Dezimalzahl von 0 bis 59 als „Ziffer“ zu benutzen. IP-Adressen im IPv4-Format bestehen aus 4 „Ziffern“, die Werte von 0 bis 255 annehmen können und mit einem Punkt getrennt werden, beispielsweise 192.0.2.42. Eine andere Art der Zuordnung von Ziffer zu Ziffernwert wurde bei der Codierung Base64 gewählt.

Mitunter werden anstatt Ziffern auch andere Symbole verwendet; beispielsweise werden in der Elektronik oft die beiden Zustände eines Dualsystems nicht mit 0 und 1 beschrieben, sondern es werden stattdessen H und L (für „High“- und „Low“-Logikpegel) verwendet (selten O und L für „On“ und „Low“ – „Ein“ und „Aus“).

Stelle und Stellenwert

Der Wert einer Zahl ergibt sich nun durch die Anordnung der Ziffern in einer Ziffernfolge. Jeder Platz, den eine Ziffer in dieser Anordnung einnimmt oder einnehmen soll, ist eine Stelle. Jeder Stelle wird ein Stellenwert zugewiesen, der einer Potenz der Basis entspricht. Die Stelle mit dem niedrigsten Stellenwert steht dabei ganz rechts. Im Dezimalsystem gilt beispielsweise bei der Darstellung natürlicher Zahlen:

• Der Stellenwert der ersten Stelle von rechts („Einerstelle“) ist ${\displaystyle 10^{0}=1}$.
• Der Stellenwert der zweiten Stelle von rechts („Zehnerstelle“) ist ${\displaystyle 10^{1}=10}$.
• Der Stellenwert der dritten Stelle von rechts („Hunderterstelle“) ist ${\displaystyle 10^{2}=100}$, und so weiter.

Für das Weitere erweist sich als vorteilhaft, die Stellen nicht ab eins, sondern ab null zu nummerieren. Auf diese Weise hat dann die ${\displaystyle i}$-te Stelle gerade den Stellenwert ${\displaystyle b^{i}}$. Bei der Darstellung rationaler Zahlen werden auch negative Exponenten zugelassen.

Darstellung natürlicher Zahlen

Natürliche Zahlen werden in der ${\displaystyle b}$-adischen Darstellung durch eine endliche Folge von Ziffern in der Form

${\displaystyle \mathbf {a} _{n}\ldots \mathbf {a} _{2}\mathbf {a} _{1}\mathbf {a} _{0}}$

dargestellt. Dieser Ziffernfolge wird nun die Zahl mit dem Zahlenwert ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle Z=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\cdot b^{i}=a_{0}\cdot b^{0}+a_{1}\cdot b^{1}+a_{2}\cdot b^{2}+\dotsb +a_{n}\cdot b^{n}}$

zugeordnet, wobei ${\displaystyle a_{i}}$ der der Ziffer ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ zugewiesene Ziffernwert ist.

Es lässt sich zeigen, dass zu jeder natürlichen Zahl eine Folge von Ziffern existiert, deren zugeordneter Zahlenwert ${\displaystyle Z}$ ist. Im Allgemeinen gibt es sogar mehrere Folgen. Es genügt dazu, beliebig oft die Ziffer 0 = 0 auf höherwertigen Stellen voranzustellen. Werden Folgen mit führender 0 verboten, so lässt sich zeigen, dass diese Zuordnung sogar eineindeutig ist, das heißt zu jeder natürlichen Zahl existiert genau eine Folge, deren zugeordneter Wert ${\displaystyle Z}$ ist. Als Ausnahme von diesem Verbot wird der Zahl null nicht die leere Folge (also die Folge ohne ein einziges Glied) zugeordnet, sondern die Folge mit genau einer Ziffer, und zwar der, welcher der Wert 0 zugeordnet wird (also 0), um diese Zahl typografisch erkennbar zu machen.

Als Beispiel für die angegebene Zahlendarstellung betrachten wir die Ziffernfolge 694 im Dezimalsystem (${\displaystyle b=10}$). Sie steht für:

${\displaystyle 4\cdot 10^{0}+9\cdot 10^{1}+6\cdot 10^{2}=694.}$

Die Ziffernfolge 2B6 im Hexadezimalsystem (${\displaystyle b=16}$) steht für ${\displaystyle a_{0}+a_{1}\cdot b+a_{2}\cdot b^{2}}$ mit ${\displaystyle a_{0}}$ = 6 = 6; ${\displaystyle a_{1}}$ = B = 11; ${\displaystyle a_{2}}$ = 2 = 2.

Also hat die Folge 2B6 den Wert der Dezimalzahl

${\displaystyle 6+11\cdot 16+2\cdot 16^{2}=6+176+512=694.}$

Entsprechend hat die Ziffernfolge 1010110110 im Dualsystem (${\displaystyle b=2}$) den Wert der Dezimalzahl

${\displaystyle 0\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{5}+0\cdot 2^{6}+1\cdot 2^{7}+0\cdot 2^{8}+1\cdot 2^{9}=2+4+16+32+128+512=694.}$

Darstellung ganzer Zahlen

In einem System bestehend aus positiver Basis und rein nicht-negativem Ziffernvorrat lassen sich negative Zahlen nicht darstellen. Solchen Systemen wird ein Minuszeichen (–) beigefügt, das den Zahlzeichen ggf. vorangestellt wird. Dies geht mit einem geringen Verlust an Eineindeutigkeit einher, da die Zahl 0 als vorzeichenbehaftete Null in der Form +0, −0 oder auch ±0 geschrieben werden kann. Darstellungen von Zahlen verschieden von 0, denen kein Minuszeichen vorangestellt wird, werden als positive Zahlen interpretiert. Manchmal möchte man diese Positivität jedoch besonders hervorheben (bspw., wenn die Zahl als Inkrement kenntlich gemacht werden soll). In solchen Fällen wird in der Darstellung ein Pluszeichen (+) vorangestellt.

Darstellung rationaler Zahlen

Die Notation wird in die negativen Exponenten der Basis erweitert, indem man die entsprechenden Stellen rechts von einem zu diesem Zweck angefügten Trennzeichen in lückenloser Folge anschließt.

Im deutschsprachigen Raum (ausgenommen Schweiz) ist hierfür das Komma »,«, im englischsprachigen Raum dagegen der Punkt ».« gebräuchlich. Die Werte der Ziffern hinter dem Trennzeichen werden mit ${\displaystyle b^{-i}}$ multipliziert, wobei ${\displaystyle i}$ die Position hinter dem Komma angibt. Zum Beispiel wird die rationale Zahl 1+3/8 = 1,375 im 2-adischen Stellenwertsystem durch die Ziffernfolge 1,011 dargestellt. In der Tat ist

${\displaystyle 1\cdot 2^{0}+0\cdot 2^{-1}+1\cdot 2^{-2}+1\cdot 2^{-3}=1+0/2+1/4+1/8=1+3/8.}$

Nach der Hinzufügung des Trennzeichens lassen sich viele rationale Zahlen ${\displaystyle b}$-adisch darstellen, jedoch keineswegs alle, denn es kann vorkommen, dass zur Darstellung eine unendliche Folge von Nachkommastellen benötigt wird, die dann aber periodisch ist. Gewöhnlich wird diese Periode durch eine über die sich wiederholenden Ziffern gezogene Linie gekennzeichnet und so sie Länge der Periode markiert und eine (endliche) Aufschreibung ohne Pünktchen möglich.

Während die Zahl 1/5 = 0,2 im Dezimalsystem die endliche Ziffernfolge 0,2 hat, ist ihre Darstellung im Dualsystem periodisch:

0,00110011…₂ = 0,0011₂.

Dagegen bedeutet die Ziffernfolge 0,1 im 3-adischen (ternären) System die rationale Zahl 1·3⁻¹ = 1/3, die im Dezimalsystem einer unendlichen periodischen Ziffernfolge 0,333… = 0,3_dez entspricht.

Unter der Voraussetzung, dass 0 eine Ziffer ist und dass es zu jeder ganzen Zahl eine Ziffer gibt, deren Wert zu ihr ${\displaystyle {\text{mod }}b}$ kongruent ist (was bei Standardziffersystemen stets der Fall ist), gilt allgemein, dass ein Bruch genau dann eine endliche ${\displaystyle b}$-adische Darstellung hat, wenn nach dem Kürzen alle Primfaktoren seines Nenners auch Primfaktoren von ${\displaystyle b=:p_{1}^{\nu _{1}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}}$ (bei ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}\in \mathbb {P} }$ und ${\displaystyle \nu _{1},\ldots ,\nu _{k}\in \mathbb {N} }$) sind. (Für eine endliche Darstellung im Dezimalsystem muss der gekürzte Nenner also ein Produkt der Zahlen Zwei und Fünf sein. Genau dann ist der Bruch ein Dezimalbruch im engeren Sinne oder wird durch Erweitern zu einem solchen.)

Die endlichen Darstellungen bilden den Ring

${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}:=\{x\in \mathbb {Q} \mid \exists i\in \mathbb {N} _{0}:xb^{i}\in \mathbb {Z} \}=\mathbb {Z} b^{\mathbb {Z} }}$,

wobei ${\displaystyle S:=\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}\subset \mathbb {P} }$ für die Menge der Primfaktoren von ${\displaystyle b}$ steht. Bei diesen rationalen Zahlen hat in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nur Primteiler ${\displaystyle p_{i}\in S}$. Für jedes nichtleere ${\displaystyle S}$ liegt der Unterring ${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}}$ von ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (wie ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ selbst) dicht sowohl in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ wie in ${\displaystyle \mathbb {R} }$, d. h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus ${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}}$ approximieren.

Betrachtet man nur Darstellungen endlicher Länge, dann bezeichnen schon die Ziffernfolgen 1, 1,0, 1,000 im Dezimalsystem allesamt dieselbe rationale Zahl 1 (ganz zu schweigen von den Darstellungen 01, 0001 mit führenden Nullen). Diese Uneindeutigkeiten lassen sich durch Verbote führender und nachklappender Nullen noch unterdrücken. Gehören jedoch die unendlichen Darstellungen von Anfang an zum System, dann kommen die nicht-abbrechende Darstellung 1,000… = 1,0 und darüber hinaus die ganz anders aussehende Darstellung 0,999… = 0,9 (alle mit dem Wert 1) hinzu, siehe dazu den Artikel 0,999….

Normalerweise sind Missverständnisse nicht zu befürchten, sodass man beide Darstellungen zulassen kann. Eindeutigkeit ist jedoch z. B. bei der Z-Kurve gefordert, die ${\displaystyle Z\,\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{1}}$ injektiv abbildet und bei der zwei ${\displaystyle b}$-Ziffernfolgen alternierend in eine gepresst werden. Die Unstetigkeitsstellen der Funktion ${\displaystyle Z}$ sind übrigens genau die Argumente, die eine endliche ${\displaystyle b}$-adische Darstellung haben.

Die ${\displaystyle b}$-adische Darstellung eines gekürzten Bruchs ${\displaystyle q=:z/(m\cdot n)}$ mit ${\displaystyle z\in \mathbb {Z} ,m=p_{1}^{\mu _{1}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}}$ und ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ teilerfremd zur Basis ${\displaystyle b}$ hat für ${\displaystyle n=1}$ die Periodenlänge 0, ist also endlich. Andernfalls ist ${\displaystyle b}$ ein Element der primen Restklasse ${\displaystyle [b]\in \mathbb {Z} _{n}^{*}}$, sodass ${\displaystyle b^{\varphi (n)}\equiv 1{\text{ mod }}n}$ ist (mit ${\displaystyle \varphi }$ als der eulerschen φ-Funktion). Die ${\displaystyle b}$-adische Periodenlänge des gekürzten Bruchs ${\displaystyle q}$ ist dann der kleinste Exponent ${\displaystyle \operatorname {ord} _{n}(b):=e>0}$, für den ${\displaystyle n}$ ein Teiler von ${\displaystyle b^{e}-1}$ ist. (S. a. den Abschnitt Algorithmus für rationale Zahlen und den Artikel Rationale Zahl#Dezimalbruchentwicklung.)

Darstellung reeller Zahlen

Die Darstellung reeller Zahlen erfolgt prinzipiell genauso wie die von rationalen Zahlen durch b-adische Entwicklung. Bei rationalen Zahlen liefert diese eine abbrechende oder eine unendliche periodische Ziffernfolge.

Die b-adische Entwicklung einer irrationalen Zahl (wie π oder ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$) liefert dagegen stets eine unendliche nichtperiodische Ziffernfolge. Durch Verlängerung des Nachkommaanteils ist eine beliebig genaue Annäherung an die irrationale Zahl möglich.

Wie bei den rationalen Zahlen mit unendlich periodischer Ziffernfolge ist eine endliche Darstellung für irrationale Zahlen durch Einführung neuer Symbole möglich, so wie dies hier für die Beispiele π und ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ geschehen ist.

Trotzdem kann selbst mit beliebig, aber endlich vielen zusätzlichen Zeichen nicht jede reelle Zahl als endliche Zeichenfolge dargestellt werden. Dies liegt daran, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar, die Menge aller endlichen Darstellungen mit endlichem Zeichenvorrat aber nur abzählbar ist.

Wenn aber unter der „Darstellung“ einer reellen Zahl die bei der b-adischen Entwicklung entstehende Ziffernfolge verstanden wird, dann ist jede reelle Zahl als (ggf. unendlicher) b-adischer Bruch darstellbar, auch wenn nicht jeder solche Bruch tatsächlich aufschreibbar ist.

Berechnung eines Ziffernwertes

Die letzte Ziffer der ${\displaystyle b}$-adischen Darstellung einer natürlichen Zahl ${\displaystyle n}$ ist der Rest von ${\displaystyle n}$ bei Division durch ${\displaystyle b}$. Dieser Rest ist auch durch den Ausdruck

${\displaystyle n-b\left\lfloor {\frac {n}{b}}\right\rfloor }$

gegeben; dabei bezeichnet ${\displaystyle \lfloor {\cdot }\rfloor }$ die Gaußklammer. Allgemeiner ist die durch die letzten ${\displaystyle k}$ Ziffern von ${\displaystyle n}$ gebildete Zahl der Rest von ${\displaystyle n}$ bei Division durch ${\displaystyle b^{k}}$.

Die Ziffer ${\displaystyle z_{k}}$ an der ${\displaystyle k}$-ten Stelle (von rechts an der Einerstelle mit null beginnend und nach links fortschreitend gezählt) einer positiven reellen Zahl ${\displaystyle x}$ ist

${\displaystyle z_{k}=\left\lfloor {\frac {x}{b^{k}}}\right\rfloor -b\left\lfloor {\frac {x}{b^{k+1}}}\right\rfloor .}$

Dabei ist ${\displaystyle z_{k}\in \{0,1,\dotso ,b-1\}}$ ein Element des Standardziffernvorrats. Nimmt man negative ${\displaystyle k}$ hinzu, für die sich die entsprechende (negative) Nachkommastelle ergibt, dann hat man

${\displaystyle x=\sum _{k=-n}^{\infty }z_{-k}b^{-k}}$

mit hinreichend großem ${\displaystyle n:=\lfloor \log _{b}(x)\rfloor .}$

Algorithmus für rationale Zahlen

Für rationales ${\displaystyle 0<x=p/q<1}$ (und eine Basis ${\displaystyle b\in \mathbb {N} _{>1}}$) lässt sich die obige Formel in den folgenden Algorithmus einbetten:

function b_adic(b,p,q) // b ≥ 2; 0 < p < q
  static Ziffernvorrat = "0123..."; // bis zum Zeichen mit dem Wert b–1
begin
  s = "";  // die zu bildende Zeichenkette
  pos = 0; // hier sind alle Stellen rechts vom Komma
  while not defined(occurs[p]) do
    occurs[p] = pos;  // die Nummer der Stelle mit dem Rest p
    bp = b*p;
    z = floor(bp/q); // Index z der Ziffer im Vorrat: 0 ≤ z ≤ b-1
    p = bp − z*q;    // p ganzzahlig: 0 ≤ p < q
    if p = 0 then pl = 0; return (s); end if
    s = s.substring(Ziffernvorrat, z, 1);
          // Ziffer aus dem Ziffernvorrat dranhängen.
          // substring(s, 0, 1) ist die erste Ziffer nach dem Komma
    pos += 1;
  end while
  pl = pos - occurs[p]; // die Periodenlänge (0 < pl < q)
  // Markiere die Ziffern der Periode mit einem Überstrich:
  for i from occurs[p] to pos-1 do
    substring(s, i, 1) = overline(substring(s, i, 1));
  end for
  return (s);
end function

Die erste gelb hervorgehobene Zeile entspricht der Ziffernberechnung des vorigen Abschnitts.

Die darauf folgende Zeile berechnet den neuen Rest ${\displaystyle p'}$ der Division modulo des Nenners ${\displaystyle q}$. Die Gaußklammer floor bewirkt, dass

${\displaystyle bp/q-1\;\;<\;\;z=\lfloor bp/q\rfloor \;\;\leq \;\;bp/q.}$

Daraus folgt ${\displaystyle bp-q<zq\;\implies \;p':=bp-zq<q}$ und ${\displaystyle zq\leq bp\;\implies \;0\leq bp-zq=:p',}$ zusammengenommen ${\displaystyle 0\leq p'<q.}$ Da somit alle Reste ${\displaystyle p}$ ganzzahlig nicht-negativ und kleiner als ${\displaystyle q}$ sind, es also nur ${\displaystyle q}$ viele verschiedene von ihnen gibt, müssen sie sich in der while-Schleife wiederholen. Die Wiederkehr eines Restes ${\displaystyle p}$ wird über die Existenz des assoziativen Datenfeldes occurs[p] festgestellt.

Die Periode der Ziffern hat dieselbe Länge wie die Periode der Reste. (Genaueres zur Periodenlänge siehe oben.)

Berechnung der Stellenzahl

Die Anzahl ${\displaystyle a}$ der Ziffern der ${\displaystyle b}$-adischen Darstellung einer natürlichen Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ ist

${\displaystyle a={\begin{cases}1,&{\text{wenn }}n=0,\\\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1,&{\text{wenn }}n\geq 1.\end{cases}}}$

Hinzufügen einer Ziffer

• Hängt man an die ${\displaystyle b}$-adische Darstellung einer Zahl ${\displaystyle n}$ ganz rechts eine Ziffer ${\displaystyle z}$ an, so erhält man die ${\displaystyle b}$-adische Darstellung der Zahl ${\displaystyle n\cdot b+z}$.
• Stellt man die Ziffer ${\displaystyle z}$ hingegen ganz links ${\displaystyle n}$ voran, so erhält man die ${\displaystyle b}$-adische Darstellung der Zahl ${\displaystyle z\cdot b^{a}+n}$, wobei ${\displaystyle a}$ wie oben angegeben die Anzahl der Ziffern von ${\displaystyle n}$ ist.

Beispiel 1: Umwandlung einer Darstellung zur Basis 10 in eine Darstellung zur Basis 12

Eine Zahl hat die dezimale Darstellung 4711. Gesucht ist ihre Darstellung im Zwölfersystem.

Dazu dividiert man die gegebene Darstellung schrittweise durch die neue Basis 12. Die verbleibenden Reste liefern die Ziffernwerte zur Basis 12. Dabei liefert der erste Rest den Ziffernwert zum niedrigsten Stellenwert der gesuchten neuen Darstellung (in diesem Fall zum Stellenwert 12⁰), der zweite Rest liefert den Ziffernwert zum zweitniedrigsten Stellenwert (hier 12¹) usw. Die zugehörige Rechnung dazu lautet demnach:

• 4711 geteilt durch 12 ergibt 392 Rest 7 (das ist die Ziffer zum Stellenwert 12⁰ im Ergebnis)
• 0392 geteilt durch 12 ergibt 032 Rest 8 (das ist die Ziffer zum Stellenwert 12¹ im Ergebnis)
• 0032 geteilt durch 12 ergibt 002 Rest 8 (das ist die Ziffer zum Stellenwert 12² im Ergebnis)
• 0002 geteilt durch 12 ergibt 000 Rest 2 (das ist die Ziffer zum Stellenwert 12³ im Ergebnis)

Alternativ wird mit der Ziffer zum höchsten vorhandenen Stellenwert begonnen:

Als Duodezimaldarstellung der gegebenen Zahl ergibt sich 2887₁₂. Die Umwandlung in andere Stellenwertsysteme erfolgt analog.

Beispiel 2: Umwandlung einer Darstellung zur Basis 16 in eine Darstellung zur Basis 10

Bezüglich des Hexadezimalsystems mit den Ziffern 0, 1, …, 9, A (Wert 10), B (Wert 11), C (Wert 12), D (Wert 13), E (Wert 14) und F (Wert 15) habe eine Zahl die Darstellung AFFE. Gesucht ist die Darstellung dieser Zahl im Zehnersystem.

Dazu multipliziert man die Ziffern der gegebenen Darstellung mit den jeweiligen Stellenwerten und addiert die Ergebnisse auf. Die zugehörige Rechnung dazu lautet demnach:

• Ziffer A mal ${\displaystyle 16^{3}}$ ergibt 40960
• Ziffer F mal ${\displaystyle 16^{2}}$ ergibt 03840
• Ziffer F mal ${\displaystyle 16^{1}}$ ergibt 00240
• Ziffer E mal ${\displaystyle 16^{0}}$ ergibt 00014

Als Dezimaldarstellung der gegebenen Zahl ergibt sich ${\displaystyle 40\,960+3840+240+14=45\,054}$.

Alternativ wird schrittweise mit der Basis 16 multipliziert und die jeweils nächste Ziffer hinzugenommen:

Die Umwandlung in andere Stellenwertsysteme erfolgt analog.

Beispiel 3: Nachkommastellen

Bezüglich des Zehnersystems habe eine Zahl die Darstellung 0,1. Gesucht ist die Darstellung dieser Zahl im Dualsystem.

Hierzu wird der Nachkommaanteil wiederholt mit der Basis des Zielsystems multipliziert. Tritt dabei ein Wert größer 1 auf, wird dessen ganzzahliger Anteil der Reihe der Nachkommastellen hinzugefügt, andernfalls wird eine 0 den Nachkommastellen hinzugefügt. Tritt eine ganze Zahl als Multiplikationsergebnis auf, ist der Nachkommabetrag vollständig bestimmt, oft wird jedoch auch eine Periode auftreten.

Die zugehörige Rechnung dazu lautet demnach:

• 0,1 mal 2 ergibt 0,2 , die erste Nachkommastelle ist also die 0
• 0,2 mal 2 ergibt 0,4 , die zweite Nachkommastelle ist also die 0
• 0,4 mal 2 ergibt 0,8 , die dritte Nachkommastelle ist also die 0
• 0,8 mal 2 ergibt 1,6 , die vierte Nachkommastelle ist also die 1
• 0,6 mal 2 ergibt 1,2 , die fünfte Nachkommastelle ist also die 1
• 0,2 mal 2 (muss nicht mehr ausgeführt werden, da eine Periode aufgetreten ist)

Als Ergebnis erhalten wird somit 0,0001100110011…

Zahlensysteme mit gemischten Basen

Eine naheliegende Verallgemeinerung ist, verschiedene Basen für die verschiedenen Ziffernpositionen zu wählen. Man spricht dann von Zahlensystemen mit gemischten Basen. Ein paar interessante Beispiele sind:

• alternierend a oder b, wobei a und b zwei verschiedene natürliche Zahlen > 1 sind
• 2 oder 3, aber in der Reihenfolge, sodass ${\displaystyle e^{k}}$ am „relativ engsten“ approximiert wird mit dem Produkt der ersten k Basen
• als Basis werden die natürlichen Zahlen > 1 der Reihe nach genutzt („Fakultätsbasis“)

• die Primzahlen der Reihe nach oder jene (sich dann wiederholenden) Primzahlen, die mit jeder nächstgrößeren Primzahlpotenz auftreten (s. a. Darstellung der proendlichen Zahlen mit mehreren Basen)

In den beiden letzten Fällen hat man im Prinzip unendlich viele verschiedene Ziffernsymbole bereitzustellen.

Nicht-natürliche Zahlen als Basis

Die Basis ${\displaystyle b}$ muss nicht notwendigerweise eine natürliche Zahl sein. Sämtliche (auch komplexe) Zahlen mit Betrag größer 1 können als Basis eines Stellenwertsystems verwendet werden.

p-adische Zahlen

Die hier vorgestellten Stellenwertsysteme beruhen auf der Konvergenz in Bezug auf die Metrik des gewöhnlichen archimedischen Absolutbetrags. Die unendlichen Reihen – die hier immer, und zwar „rechts“ bei den kleinen Potenzen der Basis (Exponenten ${\displaystyle \searrow -\!\infty }$), konvergieren – sind dann reelle (oder komplexe) Zahlen. Es gibt aber für die rationalen Zahlen auch Metriken, die auf nichtarchimedischen Betragsfunktionen basieren und eine ganz ähnliche Notation mit Basis und Ziffernvorrat gestatten. Die unendlichen Reihen – die auch dort immer, und zwar der Konvention nach „links“ bei den großen Potenzen (Exponenten ${\displaystyle \nearrow +\!\infty }$), konvergieren – sind p-adische Zahlen.

Zwar stimmen endliche ${\displaystyle p}$-adische Ausdrücke mit derselben Ziffernfolge in (dann ebenfalls endlicher) ${\displaystyle p=:b}$-adischer Darstellung überein, es gibt aber gravierende Unterschiede zu den ansonsten hier vorgestellten (archimedischen) Systemen. Die wichtigsten sind:

1. Die ${\displaystyle p}$-adischen Darstellungen sind immer (umkehrbar) eindeutig.
2. Ein Vorzeichen wird nicht benötigt. Die Darstellung von ${\displaystyle -1}$ als unendliche Summe ist ${\textstyle -1=\sum _{i=0}^{\infty }(p-1)\cdot p^{i}}$.
3. Ein ${\displaystyle p}$-adischer Ring kann nicht angeordnet werden.
4. Ist ${\displaystyle p}$ zerlegbar, also keine Primzahl, dann enthält der ${\displaystyle p}$-adische Ring ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ Nullteiler (die allesamt nicht-abbrechende Darstellungen haben). Einzelheiten in Proendliche Zahl#10-adische Zahlen.
5. Die nicht-abbrechenden Reihen stellen in beiden Systemen Zahlobjekte mit völlig verschiedenen arithmetischen Eigenschaften dar. Die periodischen unter ihnen stellen in beiden Systemen rationale Zahlen dar.
6. Alle Algorithmen für die Grundrechenarten beginnen rechts bei den kleinen Exponenten (möglicherweise negativ, aber ${\displaystyle >-\!\infty }$) und laufen wie die Potenzen und Überträge in die gleiche Richtung nach links zu den großen Exponenten. Wenn die Rechnung abgebrochen wird, kann sofort die Größe des Fehlers angegeben werden.