Das Duodezimalsystem (auch Zwölfersystem) ist ein Stellenwertsystem zur Darstellung von Zahlen. Es verwendet die Basis Zwölf, ist also das „12-adische Stellenwertsystem“. Das bedeutet: Anders als beim üblichen Dezimalsystem (mit der Basis zehn) gibt es zwölf Ziffern, so dass erst für natürliche Zahlen ab zwölf eine zweite Stelle benötigt wird.

Im Duodezimalsystem bedeutet die Zahl 10 nicht zehn, sondern 1 Dutzend + 0 (also zwölf) und die Zahl 0,1 bedeutet nicht ein Zehntel, sondern ein Zwölftel.

Eigenschaften

Keine Zahl kleiner als Zwölf hat eine so gute Teilbarkeit. Die Zwölf hat vier nichttriviale Teiler, 2, 3, 4 und 6, sie ist eine hochzusammengesetzte Zahl. Das hat praktische Vorteile bei der Verwendung als Größeneinteilung. Die Zehn hat dagegen nur zwei nichttriviale Teiler, 2 und 5.

Die fünf elementarsten Brüche (¹⁄₄, ¹⁄₃, ¹⁄₂, ²⁄₃ und ³⁄₄) haben im Duodezimalsystem alle eine kurze, endliche Darstellung:

• ¹⁄₄=0,3₍₁₂₎
• ¹⁄₃=0,4₍₁₂₎
• ¹⁄₂=0,6₍₁₂₎
• ²⁄₃=0,8₍₁₂₎
• ³⁄₄=0,9₍₁₂₎

Im Dezimalsystem haben diese Brüche die Darstellungen:

• ¹⁄₄=0,25
• ¹⁄₃=0,33333…
• ¹⁄₂=0,5
• ²⁄₃=0,66666…
• ³⁄₄=0,75

Das Duodezimalsystem wurde vereinzelt als das „optimale Zahlensystem“ bezeichnet.

Verwendung

Es gibt nur wenige Kulturen, von denen ein Gebrauch des Duodezimalsystems bekannt ist. Die Einteilung und die Gruppierung in 12 ist zwar kulturell sehr weit verbreitet und zeigt sich etwa im Begriff des Dutzends, des Gros (12 Dutzend), in den zweimal 12 Stunden pro Tag, 12 Monaten pro Jahr, 12 Tierkreiszeichen, 12 Zeichen in der chinesischen Astrologie und der Einteilung alter Maßeinheiten (z. B. bei Zoll und Fuß). Sie ist jedoch noch kein Hinweis auf ein Duodezimalsystem.

Bei den römischen Zahlen basieren die Brüche auf der Basis 12. Der lateinische Name für ein Zwölftel ist Uncia – ein Wort, das später zum Gewichtsmaß „Unze“ wurde.

Die gesprochenen Zahlen der Plateau-Sprachen in Nigeria stellen echte Duodezimalsysteme dar. Auch die nepalesische Sprache Chepang und die Sprache Mahl der indigenen Bevölkerung des Atolls Minicoy verwenden ein Duodezimalsystem.

Im Deutschen und den anderen germanischen Sprachen sind die Wörter für Elf und Zwölf gegenüber den folgenden Zahlwörtern abweichend gebildet. Damit liegt zwar kein Duodezimalsystem vor, es wird aber als linguistischer Hinweis gedeutet, dass sich möglicherweise bei der Bildung der Zahlwörter das Dezimalsystem der Indogermanen mit einem zuvor maßgeblichen Duodezimalsystem vermischt hat.

Gruppierungen, die in moderner Zeit die Bekanntheit und Verwendung des Duodezimalsystems fördern wollen, sind unter anderem die Dozenal Society of America (gegründet 1944) und die Dozenal Society of Great Britain (gegründet 1959).

Aussprache

Da das Duodezimalsystem im Deutschen bis auf die Wörter Elf, Zwölf, Dutzend und Gros keine Zahlwörter kennt, können die Zahlen auch nicht analog zum Dezimalsystem ausgesprochen werden. Die Endung „-zehn“ für die Zahlen zwischen ${\displaystyle 13_{10}}$ und ${\displaystyle 19_{10}}$, sowie die Endung „-zig“ für die Zahlen ${\displaystyle 20_{10}}$ bis ${\displaystyle 90_{10}}$ finden sich nicht wieder, da sie zu Missverständnissen führen würden.

Stattdessen können die Zahlen so gebildet werden, wie es im deutschen Dezimalsystem bei den Zahlen ab ${\displaystyle 100_{10}}$ und in anderen Sprachen schon bei Zahlen ab ${\displaystyle 20_{10}}$ (selten auch schon früher) üblich ist, indem die höherwertigen Stellen zuerst genannt werden. Da das Duodezimalsystem allerdings im Alltag kaum verwendet wird, ist auch die Aussprache ungeläufig.

Duodezimales Zählen mit Fingergliedern

Im gewohnten Dezimalsystem (10er-System) zählt man mit den zehn Fingern (2 mal 5) beider Hände. In einigen Gegenden der Welt existierte aber ein Zählen mit Hilfe der Fingerglieder, das einhändig zur Zahl zwölf, zweihändig sogar zur Zahl 144 (156) führt.

Dazu werden mit dem Daumen der Haupt-Zählhand die Fingerglieder der Reihe nach von kleinen Finger bis zum Zeigefinger (4 Finger × jeweils 3 Fingerglieder) berührt. Mit der anderen Hand werden dazu dann die vollen Dutzend im selben System festgehalten.

Siehe ausführlich Ein- und zweihändiges Zählen mit Fingergliedern und Fingern.

Das Duodezimalzählsystem an einer Hand ist bezeugt in Indien, Indochina, Pakistan, Afghanistan, im Iran, in der Türkei, im Irak und in Ägypten.

Darstellung von Zahlen

Grundrechenarten

Ganz analog zu den Zahlen im Dezimalsystem lassen sich mit Duodezimalzahlen die gängigen arithmetischen Grundoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen. Die benötigten Algorithmen sind prinzipiell dieselben, nur werden durch die größere Anzahl von Ziffern das kleine Einmaleins und die Additionstabelle größer.

Teilbarkeit einer Zahl in Duodezimaldarstellung

Im 12er-System lässt sich die Teilbarkeit einer gegebenen mehrstelligen Zahl in vielen Fällen leichter bestimmen als in der Dezimalschreibweise. Ausnahmen bilden die Teiler 5 und 7, da sie zu 12 teilerfremd sind. Für Teiler von 2 bis 13₍₁₀₎ = 11₍₁₂₎ gelten die folgenden Regeln:

Eine Duodezimalzahl ist …

… durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer (rechts stehend, Einer-Stelle) gerade ist.

… durch 3 teilbar, wenn die letzte Ziffer durch 3 teilbar, also eine 0, 3, 6 oder 9 ist.

… durch 4 teilbar, wenn die letzte Ziffer gleich 0, 4 oder 8 ist.

… durch 5 teilbar, wenn die mithilfe der periodischen Folge (a_n) = (1 ; 2 ; -1 ; -2) gewichtete Quersumme durch 5 teilbar ist.

Beispiel: Die Quersumme der Zahl 37056₍₁₂₎ ergibt sich nach dieser Vorschrift aus 1 ${\displaystyle \cdot }$ 6 + 2 ${\displaystyle \cdot }$ 5 ${\displaystyle -}$ 1 ${\displaystyle \cdot }$ 0 ${\displaystyle -}$2 ${\displaystyle \cdot }$ 7 + 1 ${\displaystyle \cdot }$ 3 = 5

Die Ziffern der gegebenen Zahl werden dabei von rechts beginnend mit den Faktoren aus der Folge multipliziert, nach je vier Ziffern wiederholt sich die Folge. Die so gebildete Summe kann auch negativ sein. Wenn das Ergebnis – wie hier – durch 5 teilbar ist, ist auch die gegebene Zahl durch 5 teilbar. Die Faktoren der Folge können dabei auch modulo 5 variiert werden, d. h. die Folge (a_n) = (1 ; 2 ; 4 ; 3) wäre ebenso geeignet.

… durch 6 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 oder eine 6 ist.

... durch 7 teilbar, wenn die mithilfe der periodischen Folge (a_n) = (1 ; -2 ; 4 ; -1 ; 2 ; 3) gewichtete Quersumme durch 7 teilbar ist. (Erklärung siehe Teilbarkeit durch 5).

Beispiel:     2023₍₁₀₎ = 1207₍₁₂₎   --> 1 ${\displaystyle \cdot }$ 7 ${\displaystyle -}$ 2 ${\displaystyle \cdot }$ 0 + 4 ${\displaystyle \cdot }$ 2 ${\displaystyle -}$1 ${\displaystyle \cdot }$ 1 = 7 + 0 + 8 - 1  = 14   -->  1207₍₁₂₎ ist durch 7 teilbar.

… durch 8 teilbar, wenn ihre vorletzte Ziffer gerade und die letzte Ziffer eine 0 oder eine 8 ist, oder die vorletzte Ziffer ungerade und die letzte eine 4 ist.

… durch 9 teilbar in jedem der folgenden Fälle:

1. Vorletzte Ziffer = 0 mod 3, letzte Ziffer ${\displaystyle \in \{0,9\}}$

2. Vorletzte Ziffer = 1 mod 3, letzte Ziffer = 6

3. Vorletzte Ziffer = 2 mod 3, letzte Ziffer = 3. (Z. B. sind alle Zahlen, die auf …23, …53, …83. oder auf …${\displaystyle \varepsilon 3}$ enden, durch 9 teilbar).

… durch ${\displaystyle \varkappa }$₍₁₂₎ teilbar (d. h. hier durch die Zahl 10 des 10er-Systems), wenn sie durch 2 und durch 5 teilbar ist (siehe dort).

… durch ${\displaystyle \varepsilon }$ teilbar (= 11₍₁₀₎), wenn ihre (einfache) Quersumme durch 11 teilbar ist.

… durch 10₍₁₂₎ = 12₍₁₀₎ teilbar, wenn die letzte Ziffer = 0 ist.

… durch 11₍₁₂₎ = 13₍₁₀₎ teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 13 teilbar ist. Die Ziffern werden abwechselnd addiert und subtrahiert, d. h. sie werden mit der Folge (a_n) = (1 ; –1 ; 1 ; –1 ; … ) gewichtet, vgl. Teilbarkeit durch 5.

Umrechnen in andere Stellenwertsysteme

Die ersten natürlichen Zahlen werden im Duodezimalsystem so dargestellt:

328: 12 = 27 Rest 4,
 27: 12 = 2 Rest 3,
  2: 12 = 0 Rest 2.

Weblinks

• Dozenal Society of America
• Dozenal Society of Great Britain

Einzelnachweise

1. ↑ George Douros: Unicode Fonts for Ancient Scripts. Abgerufen am 19. Juni 2015. 
2. ↑ George Dvorsky: Why We Should Switch To A Base-12 Counting System. 18. Januar 2013, abgerufen am 21. Dezember 2013. 
3. ↑ Gerhardt, Ludwig (1987): Some remarks on the numerical systems of Plateau languages. In: Afrika und Übersee 70: 19–29.
4. ↑ Georges Ifrah: Universalgeschichte der Zahlen. Lizenzausgabe Zweitausendeins Auflage. Campus, Frankfurt am Main 1993, ISBN 978-3-86150-704-8, Das Sexagesimalsystem, S. 69–75 u. 90–92 (französisch: Histoire universelle des chiffres. Übersetzt von Alexander von Platen). 
5. ↑ Isaac Pitman (Hrsg.): A triple (twelve gross) Gems of Wisdom. London 1860.
6. 1 2 Karl Pentzlin: Proposal to encode Duodecimal Digit Forms in the UCS. (PDF; 276 kB) ISO/IEC JTC1/SC2/WG2, Document N4399, 30. März 2013, abgerufen am 29. Juni 2013 (englisch). 
7. ↑ Scott Pakin: The Comprehensive LaTeX Symbol List. (PDF; 21 MB) 5. Mai 2021, archiviert vom Original am 18. Juli 2021; abgerufen am 19. Juli 2021 (englisch, siehe Tabelle „tipx Phonetic Symbols“; der Originallink führt zu einem Spiegelserver des CTAN; zum Archivlink vergleiche Datei:Comprehensive LaTeX Symbol List.pdf).