Ein Vorzeichen oder Signum (von lateinisch signum Zeichen) ist ein Zeichen, das einer reellen Zahl vorangestellt wird, um sie als positiv oder negativ auszuweisen. Eine negative Zahl wird immer mit dem Minuszeichen versehen, während einer positiven Zahl ein Pluszeichen optional vorangestellt werden kann. Die Zahl Null wird meist als vorzeichenlos angesehen, bei der Zahldarstellung im Computer wird jedoch manchmal auch eine vorzeichenbehaftete Null verwendet.

Streng genommen muss das Vorzeichen, das immer unär ist, vom mathematischen Operator für Addition (binäres Plus) oder Subtraktion (binäres Minus) und vom Inversionsoperator der Addition (unäres Minus) unterschieden werden. Letzteres kommt dem Vorzeichen einer Zahlkonstanten noch am nächsten. Es gibt aber Programmiersprachen, die ein separates Sonderzeichen zur Kenntlichmachung negativer Zahlkonstanten kennen, beispielsweise APL.

Für das Vorzeichen gerichteter Größen, wie beispielsweise Drehwinkel und Richtungen, gibt es oft unterschiedliche Vorzeichenkonventionen.

Plus- und Minuszeichen

In der Arithmetik wird das Vorzeichen einer Zahl (genauer: einer reellen Zahlkonstanten) durch ein vorangestelltes Plus- oder ein Minuszeichen angezeigt. Hierbei werden dieselben Zeichen verwendet wie für die Addition und die Subtraktion zweier Zahlen. Das Vorzeichen wird dabei ohne Leerraum direkt an die erste Ziffer angeschlossen. Beispielsweise bezeichnen

${\displaystyle +3}$   und   ${\displaystyle -3}$

jeweils die positive und die negative Zahl(konstante) Drei. Wird kein Vorzeichen angegeben, wird die Zahlkonstante als nicht-negativ angesehen. In der Algebra wird das Minuszeichen auch als unäres Minus zur „Vorzeichenumkehr“ verwendet, wodurch die jeweilige Gegenzahl (einer Zahlkonstanten oder einer -variablen) erhalten wird. Beispielsweise gilt

${\displaystyle -(-x)=x}$

für alle ${\displaystyle x}$ in einer additiven Gruppe. Letztere muss dazu nicht angeordnet sein. Und wenn es eine angeordnete Gruppe ist, wird nichts über das Vorzeichen der Variablen ${\displaystyle x}$ ausgesagt.

Durch die Betragsfunktion wird das Vorzeichen einer negativen Zahl umgekehrt, während eine positive Zahl unverändert bleibt. Zum Beispiel sind

${\displaystyle |{-3}|=+3}$   und   ${\displaystyle |{+3}|=+3}$   und   ${\displaystyle |{-x}|=|{+x}|}$.

Ein Plusminuszeichen ${\displaystyle \pm 3}$ (oder das Minuspluszeichen ${\displaystyle \mp 3}$) wird einer Zahl vorangestellt, wenn die Aussage für beide Versionen (Plus und Minus) gelten soll. Kommt es in einer Gleichung vor einer Zahl (variabel oder konstant) mehr als einmal vor, bedeutet dies, dass überall entweder das obere Zeichen oder überall das untere Zeichen zu wählen ist. Im Beispiel

${\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos y\;\cos x\mp \sin x\;\sin y}$,

das zwei Gleichungen in einer Aufschreibung zusammenfasst, ist entweder (zuerst + dann −) oder (zuerst − dann +) zu nehmen.

Vorzeichen der Null

Die Zahl Null ist weder positiv noch negativ und hat demnach kein Vorzeichen. Die Gegenzahl der Zahl Null ist die Null selbst. Somit bezeichnen

${\displaystyle +0}$   und   ${\displaystyle -0}$

die gleiche Zahl Null. Bei Maschinenzahlen werden jedoch die positive und die negative Null manchmal als zwei verschiedene Zahlen angesehen. Beispiele sind das Einerkomplement ganzer Zahlen oder der IEEE 754-Standard für Gleitkommazahlen. In manchen Anwendungen ist auch die Notation ${\displaystyle -0}$ gebräuchlich, wenn eine negative Zahl auf Null gerundet wurde. In der Analysis wird die Schreibweise

${\displaystyle \lim _{x\to 0+}}$   oder   ${\displaystyle \lim _{x\to 0{-}}}$

bei der Bildung eines rechtsseitigen oder linksseitigen Grenzwerts verwendet.

Vorzeichenfunktion

Mit Hilfe der Vorzeichenfunktion oder Signumfunktion kann das Vorzeichen einer (reellen) Zahlvariablen ${\displaystyle x}$ ermittelt werden. Die Vorzeichenfunktion ist üblicherweise durch

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{falls }}x<0,\\~~\,0&{\text{falls }}x=0,\\~~\,1&{\text{falls }}x>0.\end{cases}}}$

definiert. Demnach ist ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=1}$, falls die Zahl ${\displaystyle x}$ positiv ist und ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=-1}$, falls sie negativ ist. Ist ${\displaystyle x\neq 0}$, dann kann die Signumfunktion auch mit Hilfe der Betragsfunktion durch

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {x}{|x|}}}$

definiert werden.

Vorzeichenkonventionen

Für viele gerichtete Größen erfolgt die Zuordnung eines Vorzeichens, das heißt welche Werte als positiv und welche als negativ angesehen werden, auf natürliche Weise. In manchen Fällen ist jedoch die Wahl des Vorzeichens willkürlich und wird höchstens aus Konsistenzgründen einheitlich gewählt. In diesen Fällen spricht man von einer Vorzeichenkonvention.

Siehe auch

• Vorzeichen (Permutation)
• Vorzeichentabelle
• Vorzeichentest
• Vorzeichenwechsel

Literatur

• Heinz-Dieter Ebbinghaus et al.: Zahlen. Springer, Berlin 1992, ISBN 3-540-55654-0. 

Bemerkungen

1. ↑ Dies macht eine Einklammerung der negativen Zahlkonstanten überflüssig.