Test auf Median

Mit Hilfe des Vorzeichentests können Hypothesen über den Median einer Verteilung geprüft werden.

Test auf Symmetrie

Der Vorzeichentest ist auch als Test auf Symmetrie einer Verteilung nutzbar: Ist das wahre arithmetische Mittel der Grundgesamtheit bekannt oder wird ein Schätzer als wahrer Wert angenommen, kann geprüft werden, ob das arithmetische Mittel mit dem Median zusammenfällt, d. h. ob 50 % der möglichen Werte rechts und 50 % links vom arithmetischen Mittel liegen, und somit, ob die Verteilung symmetrisch ist.

Test auf Mittelwert

Nimmt man wiederum Symmetrie der Verteilung an, dann ist der Populationsmittelwert gleich dem Populationsmedian, und der Vorzeichentest bietet die Möglichkeit, Hypothesen über das arithmetische Mittel der Grundgesamtheit zu prüfen.

Annahmen

• Die Beobachtungen ${\displaystyle x_{i},i=1,\ldots ,n}$ sind unabhängig voneinander.
• Die zugrundeliegende Zufallsvariable ist in der Grundgesamtheit stetig verteilt.
• Da Größenvergleiche zwischen Beobachtungen und hypothetischem Median durchgeführt werden, muss das untersuchte Merkmal mindestens auf ordinalem Niveau erhoben worden sein.

Hypothesen

Wird zweiseitig getestet, soll die Hypothese geprüft werden, dass der Median ${\displaystyle \theta }$ in der Grundgesamtheit gleich einem bestimmten hypothetischen Wert ${\displaystyle \theta _{0}}$ ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert größer dem hypothetischen Parameter ist, sollte dann 0,5 betragen, wenn er tatsächlich dem Median entspricht. Wird einseitig getestet, wird geprüft, ob der Median größer bzw. kleiner einem hypothetischen Wert ist, d. h. ob die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert größer dem hypothetischen Parameter ist, größer bzw. kleiner 0,5 ist.

	Einseitig		Zweiseitig
Nullhypothese ${\displaystyle \,H_{0}}$	${\displaystyle \,P(X\geq \theta _{0})\geq 1/2}$	${\displaystyle \,P(X\geq \theta _{0})\leq 1/2}$	${\displaystyle \,P(X\geq \theta _{0})=1/2}$
Alternativhypothese ${\displaystyle \,H_{1}}$	${\displaystyle \,P(X\geq \theta _{0})<1/2}$	${\displaystyle \,P(X\geq \theta _{0})>1/2}$	${\displaystyle \,P(X\geq \theta _{0})\neq 1/2}$
Nullhypothese ${\displaystyle \,H_{0}}$	${\displaystyle \,\theta \geq \theta _{0}}$	${\displaystyle \,\theta \leq \theta _{0}}$	${\displaystyle \,\theta =\theta _{0}}$
Alternativhypothese ${\displaystyle \,H_{1}}$	${\displaystyle \,\theta <\theta _{0}}$	${\displaystyle \,\theta >\theta _{0}}$	${\displaystyle \,\theta \neq \theta _{0}}$

Weitere äquivalente Formulierungen der Hypothesen sind möglich. Das Testprinzip ist unter Anpassung der Hypothesen und der Parameter der Verteilung der Teststatistik auf beliebige Quantile erweiterbar. Beim Test auf ein anderes Quantil als den Median ist die hypothetische Wahrscheinlichkeit (hier 1/2) entsprechend anzupassen (siehe Binomialtest).

Vorgehen

Die Stichprobenwerte, die größer als der hypothetische Median ${\displaystyle \theta _{0}}$ sind, bekommen ein "+" zugeordnet; Werte, die kleiner sind, ein "-". Das heißt, die Stichprobenvariable wird mediandichotomisiert. Die Anzahl der positiven Vorzeichen wird gezählt und dient als Teststatistik.

Annahmen

• Die ${\displaystyle n}$ Beobachtungspaare dürfen nicht voneinander abhängen, d. h. das Wertepaar ${\displaystyle (x_{1i},x_{2i})\,}$ muss unabhängig vom Wertepaar ${\displaystyle (x_{1j},x_{2j}),\forall \;i\neq j}$ sein.
• Die zugrundeliegende Zufallsvariable sind in der Grundgesamtheit stetig verteilt.
• Da paarweise Größenvergleiche zwischen den Beobachtungen durchgeführt werden, muss das untersuchte Merkmal mindestens auf ordinalem Niveau erhoben worden sein.

Hypothesen

Besitzen beide Grundgesamtheiten den gleichen Median, gilt P(X₁₁>X₁₂)=P(X₁₁<X₁₂). Folgende Hypothesen können mit dem Vorzeichentest geprüft werden:

	Einseitig		Zweiseitig
Nullhypothese ${\displaystyle \,H_{0}}$	${\displaystyle \,P(X_{1}\geq X_{2})\geq 1/2}$	${\displaystyle \,P(X_{1}\geq X_{2})\leq 1/2}$	${\displaystyle \,P(X_{1}\geq X_{2})=1/2}$
Alternativhypothese ${\displaystyle \,H_{1}}$	${\displaystyle \,P(X_{1}\geq X_{2})<1/2}$	${\displaystyle \,P(X_{1}\geq X_{2})>1/2}$	${\displaystyle \,P(X_{1}\geq X_{2})\neq 1/2}$

Vorgehen

Die Wertepaare der Stichproben, bei denen ${\displaystyle x_{i1}>x_{i2}}$ gilt, bekommen ein "+" zugeordnet; Wertepaare, für die ${\displaystyle x_{i1}<x_{i2}}$ gilt, ein "-". Die Anzahl der positiven Vorzeichen wird gezählt und dient als Teststatistik.

Exakte Verteilung

Die Teststatistik entspricht der Anzahl der positiven Vergleiche (Differenzen der Werte bzw. Ränge):

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n'}\mathrm {I} (x_{i1}>x_{i2})\sim B(\pi =0{,}5,n')}$

mit

${\displaystyle \mathrm {I} (x_{i1}>x_{i2})={\begin{cases}1,\quad {\text{wenn}}\;x_{i1}>x_{i2}\\0,\quad {\text{sonst}}\\\end{cases}}}$

Für das Einstichprobenproblem sind die Werte der zweiten Stichprobe durch den hypothetischen Median zu ersetzen. Bei Gültigkeit der Nullhypothese ${\displaystyle H_{0}}$ ist die Summe der positiven Differenzen binomialverteilt mit ${\displaystyle \pi =0{,}5}$, da der Median dem 50 %-Quantil entspricht. n' bezeichnet den nach Behandlung von Ties (Nulldifferenzen, Rangbindungen) verbleibenden Stichprobenumfang. Bei Gültigkeit der Nullhypothese ist die Verteilung der Prüfgröße symmetrisch.

Approximation durch die Normalverteilung

Mit ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ nähert sich die Binomialverteilung einer Normalverteilung mit ${\displaystyle N(np,np(1-p))}$. Eine Faustregel für eine brauchbare Approximation lautet ${\displaystyle np(1-p)\geq 9}$. Bei Gültigkeit der Nullhypothese ist ${\displaystyle p=1/2}$

Wenn also ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}n\geq 9}$ bzw. ${\displaystyle n\geq 36}$ gilt, ist die z-standardisierte Größe

${\displaystyle z_{V}={\frac {\sum _{i=1}^{n'}\mathrm {I} (x_{i1}>x_{i2})-{\frac {1}{2}}\cdot n'}{{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {n'}}}}\approx N(0,1)}$

näherungsweise standardnormalverteilt und die kritischen Werte zur Testentscheidung können aus der Tabelle der Standardnormalverteilung abgelesen werden.