Produktformel

Das Vorzeichen einer Permutation der ersten ${\displaystyle n}$ natürlichen Zahlen kann auch durch die Produktformel

${\displaystyle \operatorname {sgn}(\pi )=\prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}}$

dargestellt werden. Aufgrund der Bijektivität einer Permutation tritt hierbei jeder Term ${\displaystyle j-i}$ für ${\displaystyle 1\leq i<j\leq n}$ bis auf gegebenenfalls das Vorzeichen je einmal im Zähler und einmal Nenner eines Bruchs auf. Jeder Fehlstand führt dabei zu genau einem negativen Vorzeichen.

Beispiel

Das Signum der Permutation

${\displaystyle \pi ={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}}\in S_{3}}$

ist durch

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sgn}(\pi )&={\frac {\pi (2)-\pi (1)}{2-1}}\cdot {\frac {\pi (3)-\pi (1)}{3-1}}\cdot {\frac {\pi (3)-\pi (2)}{3-2}}\\&={\frac {1-3}{2-1}}\cdot {\frac {2-3}{3-1}}\cdot {\frac {2-1}{3-2}}\\&={\frac {2-1}{2-1}}\cdot {\frac {1-3}{3-1}}\cdot {\frac {2-3}{3-2}}\\&=(+1)\cdot (-1)\cdot (-1)=+1\end{aligned}}}$

gegeben. Die beiden Fehlstände ${\displaystyle (1,2)}$ und ${\displaystyle (1,3)}$ führen dabei zu jeweils einem Vorzeichenwechsel.

Verkettungseigenschaft

Für das Signum einer Verkettung zweier Permutationen ${\displaystyle \tau ,\pi \in S_{n}}$ gilt aufgrund der Produktdarstellung:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sgn}(\tau \circ \pi )&=\prod _{i<j}{\frac {\tau (\pi (j))-\tau (\pi (i))}{j-i}}=\prod _{i<j}{\frac {\tau (\pi (j))-\tau (\pi (i))}{\pi (j)-\pi (i)}}\cdot \prod _{i<j}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}=\\&=\prod _{\pi ^{-1}(i)<\pi ^{-1}(j)}{\frac {\tau (j)-\tau (i)}{j-i}}\cdot \prod _{i<j}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}=\operatorname {sgn}(\tau )\cdot \operatorname {sgn}(\pi )\end{aligned}}}$

Der letzte Schritt folgt daraus, dass in dem Produkt über ${\displaystyle \pi ^{-1}(i)<\pi ^{-1}(j)}$ die gleichen Faktoren, wie in dem Produkt über ${\displaystyle i<j}$ vorkommen, nur in anderer Reihenfolge. Für zwei durch ${\displaystyle \pi }$ vertauschte Zahlen ${\displaystyle i,j}$ kehrt sich dabei sowohl im Nenner und im Zähler das Vorzeichen um. Demnach ist die Verkettung zweier Permutationen genau dann gerade, wenn beide Permutationen das gleiche Signum aufweisen.

Darstellung über die Zahl der Transpositionen

Eine Transposition ${\displaystyle \tau _{kl}}$ mit ${\displaystyle k<l}$ ist eine Permutation, die lediglich die zwei Zahlen ${\displaystyle k}$ und ${\displaystyle l}$ vertauscht, das heißt ${\displaystyle k}$ auf ${\displaystyle l}$ sowie ${\displaystyle l}$ auf ${\displaystyle k}$ abbildet und die übrigen Zahlen festlässt. Für das Signum einer Transposition gilt

${\displaystyle \operatorname {sgn}(\tau _{kl})=-1}$,

denn jede Transposition lässt sich als Verkettung einer ungeraden Zahl von Nachbarvertauschungen der Form ${\displaystyle \tau _{k,k+1}}$ durch

${\displaystyle \tau _{kl}=(\tau _{l-1,l}\circ \tau _{l-2,l-1}\circ \cdots \circ \tau _{k+1,k+2})\circ (\tau _{k,k+1}\circ \cdots \circ \tau _{l-2,l-1}\circ \tau _{l-1,l})}$

darstellen. Hierbei wird zunächst die Zahl ${\displaystyle l}$ durch sukzessive Nachbarvertauschungen an die Stelle ${\displaystyle k}$ gebracht und dann die Zahl ${\displaystyle k}$ von der Stelle ${\displaystyle k+1}$ durch sukzessive Nachbarvertauschungen an die Stelle ${\displaystyle l}$. Nachdem jede dieser Nachbarvertauschungen genau einen Fehlstand erzeugt, ist die Gesamtzahl der Fehlstände einer Transposition

${\displaystyle |\operatorname {inv} (\tau _{kl})|=(l-k)+(l-k-1)=2(l-k)-1}$

und damit immer ungerade. Jede Permutation ${\displaystyle \pi \in S_{n}}$ lässt sich nun als Verkettung von höchstens ${\displaystyle n-1}$ Transpositionen darstellen. Jede dieser Transpositionen vertauscht dabei jeweils die kleinste Zahl ${\displaystyle k}$, für die ${\displaystyle \pi (k)\neq k}$ gilt, mit derjenigen Zahl ${\displaystyle l>k}$, für die ${\displaystyle \pi (l)=k}$ gilt. Ist ${\displaystyle M(\pi )}$ die Anzahl der dabei benötigten Transpositionen, dann gilt aufgrund der Verkettungseigenschaft

${\displaystyle \operatorname {sgn}(\pi )=(-1)^{M(\pi )}}$.

Es gibt natürlich noch weitere Möglichkeiten, eine Permutation als Verkettung von Transpositionen darzustellen. Handelt es sich dabei aber um eine gerade Permutation, dann ist die Zahl der benötigten Transpositionen immer gerade, handelt es sich um eine ungerade Permutation immer ungerade.

Beispiel

Die Permutation

${\displaystyle \pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&2&4&1\end{pmatrix}}\in S_{4}}$

lässt sich durch

${\displaystyle \pi =\tau _{34}\circ \tau _{14}={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&2&4&3\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&2&3&1\end{pmatrix}}}$

darstellen und ist damit gerade. Eine weitere Darstellung von ${\displaystyle \pi }$ als Verkettung von Transpositionen wäre etwa ${\displaystyle \pi =\tau _{23}\circ \tau _{12}\circ \tau _{23}\circ \tau _{34}}$.

Darstellung über die Zahl und Länge der Zyklen

Eine zyklische Permutation ${\displaystyle \sigma _{k_{1},\ldots ,k_{m}}}$ ist eine Permutation, die die Zahlen ${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{m}}$ zyklisch vertauscht, das heißt ${\displaystyle k_{1}}$ auf ${\displaystyle k_{2}}$ abbildet, ${\displaystyle k_{2}}$ auf ${\displaystyle k_{3}}$ bis hin zu ${\displaystyle k_{m}}$ auf ${\displaystyle k_{1}}$ und die übrigen Zahlen festlässt. Eine zyklische Permutation der Länge zwei entspricht gerade einer Transposition zweier Zahlen. Jede zyklische Permutation der Länge ${\displaystyle m>1}$ kann als Verkettung von ${\displaystyle m-1}$ Transpositionen geschrieben werden:

${\displaystyle \sigma _{k_{1},\ldots ,k_{m}}=\tau _{k_{1},k_{2}}\circ \cdots \circ \tau _{k_{m-1},k_{m}}}$.

Da Transpositionen ungerade sind, ist das Signum einer zyklischen Permutation der Länge ${\displaystyle m}$ aufgrund der Verkettungseigenschaft

${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma _{k_{1},\ldots ,k_{m}})=\operatorname {sgn}(\tau _{k_{1},k_{2}})\cdot \ldots \cdot \operatorname {sgn}(\tau _{k_{m-1},k_{m}})=(-1)^{m-1}}$.

Eine zyklische Permutation ist also genau dann gerade, wenn ihre Länge ungerade ist. Jede Permutation ${\displaystyle \pi \in S_{n}}$ lässt sich nun eindeutig als Verkettung von ${\displaystyle s\leq n}$ zyklischen Permutationen mit paarweise disjunkten Zyklen darstellen. Sind ${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{s}}$ die Längen dieser Zyklen, dann gilt aufgrund der Verkettungseigenschaft

${\displaystyle \operatorname {sgn}(\pi )=(-1)^{m_{1}-1}\cdot \ldots \cdot (-1)^{m_{s}-1}=(-1)^{m_{1}+\ldots +m_{s}-s}}$.

Das Signum kann daher direkt aus dem Zyklentyp der Permutation abgelesen werden. Eine Permutation ist demnach genau dann gerade, wenn die Summe der Längen der einzelnen Zyklen minus der Anzahl der Zyklen gerade ist. Da Zyklen ungerader Länge das Signum nicht verändern, ist eine Permutation genau dann gerade, wenn die Anzahl der Zyklen gerader Länge gerade ist. Nachdem sich die Ordnung einer Permutation aus dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen ihrer Zyklenlängen ergibt, ist eine Permutation mit ungerader Ordnung stets gerade.

Beispiel

Die Permutation

${\displaystyle \pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\3&6&4&1&5&2\end{pmatrix}}\in S_{6}}$

zerfällt in drei disjunkte Zyklen, in Zyklenschreibweise

${\displaystyle \pi =(1~3~4)(2~6)(5)}$.

Da die Summe ${\displaystyle 3+2+1-3}$ ungerade ist, ist die Permutation ebenfalls ungerade. Einerzyklen können in der Zyklenschreibweise und bei der Zählung auch weggelassen werden, ohne die Summe und damit das Signum zu verändern.

Darstellung über die Determinante der Permutationsmatrix

Ist ${\displaystyle P_{\pi }\in \{0,1\}^{n\times n}}$ die zu der Permutation ${\displaystyle \pi \in S_{n}}$ zugehörige Permutationsmatrix mit Einträgen

${\displaystyle (P_{\pi })_{ij}={\begin{cases}1,&{\text{falls }}\pi (i)=j\\0,&{\text{sonst,}}\end{cases}}}$

dann entspricht das Signum von ${\displaystyle \pi }$ gerade der Determinante von ${\displaystyle P_{\pi }}$, also

${\displaystyle \operatorname {sgn}(\pi )=\det(P_{\pi })}$.

Die Determinante einer Permutationsmatrix ist entweder +1 oder −1. Die folgende Methode zur Bestimmung der Determinante ist auch für große Matrizen praktikabel. Dazu wird für jede Spalte S der Matrix die Anzahl der Spalten ermittelt, die in der Matrix links von S stehen und bei denen die Eins tiefer steht als in S; diese Anzahl heißt Kennmarke. Ist die Summe der Kennmarken eine gerade Zahl dann ist die Determinante eins, sonst minus eins.

Beispiel

Die zur Permutation

${\displaystyle \pi ={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}}\in S_{3}}$

zugehörige Permutationsmatrix ist

${\displaystyle P_{\pi }={\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\\\end{pmatrix}}}$,

deren Determinante sich nach der Regel von Sarrus zu

${\displaystyle \det(P_{\pi })=(0+0+1)-(0+0+0)=+1}$

ergibt. Die Kennmarken lauten:

Die Summe der Kennmarken ist gerade, was obiges Ergebnis bestätigt.

Mächtigkeiten

Es gibt genau ${\displaystyle n!}$ verschiedene Permutationen der Menge ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$. Für ${\displaystyle n\geq 2}$ wird die Menge aller Permutationen durch die geraden und ungeraden Permutationen in zwei gleich große Hälften geteilt, denn es gibt gleich viele Möglichkeiten, die Vorzeichen im Zähler der Produktformel so zu wählen, dass das Produkt positiv bzw. negativ ist. Für die Mächtigkeit dieser beiden Mengen gilt demnach

${\displaystyle \#\{\pi \in S_{n}\mid \operatorname {sgn}(\pi )=+1\}=\#\{\pi \in S_{n}\mid \operatorname {sgn}(\pi )=-1\}={\frac {n!}{2}}}$.

Aus diesem Grund spricht man hier neben dem Signum auch von der Parität (von lateinisch paritas ‚Gleichheit‘) einer Permutation.

Inverse Permutationen

Für das Signum der inversen Permutation ${\displaystyle \pi ^{-1}}$ von ${\displaystyle \pi }$ gilt:

${\displaystyle \operatorname {sgn}(\pi ^{-1})=\prod _{i<j}{\frac {j-i}{\pi (j)-\pi (i)}}=\prod _{i<j}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}=\operatorname {sgn}(\pi )}$.

Durch Invertierung ändert sich also das Signum einer Permutation nicht, was mit der Verkettungseigenschaft auch direkt über

${\displaystyle \operatorname {sgn}(\pi ^{-1})\cdot \operatorname {sgn}(\pi )=\operatorname {sgn}(\pi ^{-1}\circ \pi )=\operatorname {sgn}(\operatorname {id} )=1}$

ersichtlich ist.

Signum-Homomorphismus

Aufgrund der Verkettungseigenschaft stellt die Abbildung

${\displaystyle \operatorname {sgn} \colon S_{n}\to \{+1,-1\}}$

einen Gruppenhomomorphismus von der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle (S_{n},\circ )}$ in die multiplikative Gruppe ${\displaystyle (\{+1,-1\},\cdot )}$ dar (dies ist gerade die zyklische Gruppe vom Grad 2). Diese Eigenschaft wird in der Theorie der Determinanten, beispielsweise der Leibniz-Formel verwendet. Der Kern dieses Homomorphismus ist die Menge der geraden Permutationen. Sie bildet einen Normalteiler von ${\displaystyle S_{n}}$, die alternierende Gruppe ${\displaystyle A_{n}}$. Die Menge der ungeraden Permutationen bildet jedoch keine Untergruppe von ${\displaystyle S_{n}}$, denn die Verkettung zweier ungerader Permutationen ergibt eine gerade Permutation.

Konjugierte Permutationen besitzen dasselbe Signum, wie aus den Eigenschaften des Signum-Homomorphismus folgt. Ist nämlich ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$, dann gilt für alle ${\displaystyle \pi \in S_{n}}$

${\displaystyle \operatorname {sgn}(\pi \circ \sigma \circ \pi ^{-1})=\operatorname {sgn}(\pi )\cdot \operatorname {sgn}(\sigma )\cdot \operatorname {sgn}(\pi ^{-1})=\operatorname {sgn}(\pi )\cdot \operatorname {sgn}(\pi )^{-1}\cdot \operatorname {sgn}(\sigma )=\operatorname {sgn}(\sigma )}$.