Neutralität

Bezeichnet ${\displaystyle 0_{K}\in K}$ das Nullelement des Körpers und ${\displaystyle 0_{V}\in V}$ den Nullvektor des Vektorraums, dann gilt für alle Vektoren ${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle 0_{K}\cdot v=0_{V}}$,

denn es gilt mit dem zweiten Distributivgesetz

${\displaystyle 0_{K}\cdot v+0_{K}\cdot v=(0_{K}+0_{K})\cdot v=0_{K}\cdot v}$

und deswegen muss ${\displaystyle 0_{K}\cdot v}$ der Nullvektor sein. Entsprechend gilt für alle Skalare ${\displaystyle \alpha \in K}$

${\displaystyle \alpha \cdot 0_{V}=0_{V}}$,

denn es gilt mit dem ersten Distributivgesetz

${\displaystyle \alpha \cdot 0_{V}+\alpha \cdot 0_{V}=\alpha \cdot (0_{V}+0_{V})=\alpha \cdot 0_{V}}$

und daher muss auch hier ${\displaystyle \alpha \cdot 0_{V}}$ der Nullvektor sein. Insgesamt erhält man so

${\displaystyle \alpha \cdot v=0_{V}\Leftrightarrow \alpha =0_{K}~{\text{oder}}~v=0_{V}}$,

denn aus ${\displaystyle \alpha \cdot v=0_{V}}$ folgt entweder ${\displaystyle \alpha =0_{K}}$ oder ${\displaystyle \alpha \neq 0_{K}}$ und dann ${\displaystyle v=\alpha ^{-1}\cdot 0_{V}=0_{V}}$, wobei ${\displaystyle \alpha ^{-1}}$ das multiplikativ inverse Element zu ${\displaystyle \alpha }$ ist.

Inverse

Bezeichnet nun ${\displaystyle -1}$ das additiv inverse Element zum Einselement ${\displaystyle 1}$ und ${\displaystyle -v}$ den inversen Vektor zu ${\displaystyle v}$, dann gilt

${\displaystyle (-1)\cdot v=-v}$,

denn mit der Neutralität der Eins erhält man

${\displaystyle 0_{K}=0_{K}\cdot v=(1-1)\cdot v=1\cdot v+(-1)\cdot v=v+(-1)\cdot v}$

und damit ist ${\displaystyle (-1)\cdot v}$ der inverse Vektor zu ${\displaystyle v}$. Ist nun allgemein ${\displaystyle -\alpha }$ das additiv inverse Element zu ${\displaystyle \alpha }$, dann gilt

${\displaystyle (-\alpha )\cdot v=-(\alpha \cdot v)=\alpha \cdot (-v)}$,

denn mit ${\displaystyle \beta =-1}$ erhält man durch das gemischte Assoziativgesetz

${\displaystyle (-\alpha )\cdot v=(\beta \alpha )\cdot v=\beta \cdot (\alpha \cdot v)=-(\alpha \cdot v)}$

sowie mit der Kommutativität der Multiplikation zweier Skalare

${\displaystyle (-\alpha )\cdot v=(\alpha \beta )\cdot v=\alpha \cdot (\beta \cdot v)=\alpha \cdot (-v)}$.

Koordinatenvektoren

Ist ${\displaystyle V=K^{n}}$ der Koordinatenraum und ${\displaystyle v=(v_{1},\ldots ,v_{n})^{T}\in K^{n}}$ ein Koordinatenvektor, so wird die Multiplikation mit einem Skalar ${\displaystyle \alpha \in K}$ komponentenweise wie folgt definiert:

${\displaystyle \alpha \cdot v=\alpha \cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha \cdot v_{1}\\\vdots \\\alpha \cdot v_{n}\end{pmatrix}}}$.

Bei der Skalarmultiplikation wird demnach jede Komponente des Vektors mit dem Skalar multipliziert. Im dreidimensionalen euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ erhält man beispielsweise

${\displaystyle 3\cdot {\begin{pmatrix}\,1\,\\4\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\,3\cdot 1\,\\3\cdot 4\\3\cdot 2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\,3\,\\12\\6\end{pmatrix}}}$.

Matrizen

Ist ${\displaystyle V=K^{m\times n}}$ der Matrizenraum und ${\displaystyle A=(a_{ij})\in K^{m\times n}}$ eine Matrix, so wird die Multiplikation mit einem Skalar ${\displaystyle \alpha \in K}$ ebenfalls komponentenweise definiert:

${\displaystyle \alpha \cdot A=\alpha \cdot {\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha \cdot a_{11}&\ldots &\alpha \cdot a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha \cdot a_{m1}&\ldots &\alpha \cdot a_{mn}\end{pmatrix}}}$.

Bei der Skalarmultiplikation wird also wiederum jeder Eintrag der Matrix mit dem Skalar multipliziert. Beispielsweise erhält man für eine reelle ${\displaystyle (2\times 2)}$-Matrix

${\displaystyle 3\cdot {\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\cdot 1&3\cdot 2\\3\cdot 4&3\cdot 3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&6\\12&9\end{pmatrix}}}$.

Polynome

Ist ${\displaystyle V=K[X]}$ der Vektorraum der Polynome in der Variablen ${\displaystyle X}$ mit Koeffizienten aus einem Körper ${\displaystyle K}$, so wird die Multiplikation eines Polynoms ${\displaystyle P\in K[X]}$ mit einem Skalar ${\displaystyle \alpha \in K}$ wiederum komponentenweise definiert:

${\displaystyle \alpha P=\alpha (a_{0}+a_{1}X+\dotsb +a_{n}X^{n})=(\alpha a_{0})+(\alpha a_{1})X+\dotsb +(\alpha a_{n})X^{n}}$.

Beispielsweise ergibt die Skalarmultiplikation der reellen Polynomfunktion ${\displaystyle p(x)=x^{n}-x}$ mit der Zahl ${\displaystyle 3}$ das Polynom

${\displaystyle (3p)(x)=3(x^{n}-x)=3x^{n}-3x}$.

Funktionen

Ist ${\displaystyle V=F(\Omega ,W)}$ ein linearer Funktionenraum und ${\displaystyle f\in F(\Omega ,W)}$ eine Funktion von einer nichtleeren Menge ${\displaystyle \Omega }$ in einen Vektorraum ${\displaystyle W}$, dann wird das Ergebnis der Skalarmultiplikation einer solchen Funktion mit einem Skalar ${\displaystyle \alpha \in K}$ definiert als die Funktion

${\displaystyle \alpha f\colon \Omega \to W,\quad x\mapsto (\alpha f)(x)=\alpha \cdot f(x)}$.

Betrachtet man beispielsweise den Vektorraum der linearen reellen Funktionen der Form ${\displaystyle f(x)=ax+b}$, dann erhält man durch Skalarmultiplikation mit einer reellen Zahl ${\displaystyle c}$ die Funktion

${\displaystyle (cf)(x)=c\cdot f(x)=c\cdot (ax+b)=cax+cb}$.

Durch die Skalarmultiplikation wird demnach jeder Funktionswert um den Faktor ${\displaystyle c}$ skaliert.