Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen Prozessen. Es ist zugleich eines der einfachsten nichtlinearen Dynamischen Systeme, welches chaotisches Verhalten zeigt. An die Masse ${\displaystyle m_{1}}$ eines Pendels mit der Länge ${\displaystyle L_{1}}$ wird ein weiteres Pendel der Länge ${\displaystyle L_{2}}$ mit Masse ${\displaystyle m_{2}}$ gehängt. Die Herleitung der Bewegungsgleichung zum Berechnen der Bewegung des Doppelpendels lässt sich vereinfachen, wenn man starre, masselose Pendelstangen und Reibungsfreiheit annimmt.

Ein Merkmal eines chaotischen Systems ist, dass es Anfangsbedingungen ${\displaystyle x_{i}}$ gibt, sodass ein weiteres Experiment mit nahezu identischen Anfangsbedingungen ${\displaystyle x_{i}+\Delta x}$, die sich nur um eine infinitesimale Störung ${\displaystyle \Delta x}$ unterscheiden, nach kurzer Zeit ein anderes Verhalten zeigt. Diese sensible Abhängigkeit lässt sich durch Berechnen von Ljapunow-Exponenten der Trajektorien charakterisieren.

Herleitung der Bewegungsgleichungen

Wenn ${\displaystyle l_{1}}$ und ${\displaystyle l_{2}}$ die Längen der (masselosen) Verbindungsstangen, ${\displaystyle m_{1}}$ und ${\displaystyle m_{2}}$ die Pendelmassen, ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2}}$ die Auslenkung vom Lot und ${\displaystyle g}$ die Erdbeschleunigung bezeichnet, dann findet man für die Positionen von ${\displaystyle m_{1}}$ und ${\displaystyle m_{2}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=l_{1}\sin(\theta _{1})\\y_{1}&=-l_{1}\cos(\theta _{1})\end{aligned}}}$

und

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=l_{1}\sin(\theta _{1})+l_{2}\sin(\theta _{2})\\y_{2}&=-l_{1}\cos(\theta _{1})-l_{2}\cos(\theta _{2}).\end{aligned}}}$

Damit lassen sich die Geschwindigkeiten der Massen, welche für den nächsten Schritt notwendig sind, bestimmen, wobei ${\displaystyle {\dot {\theta _{1}}}}$ die zeitliche Ableitung von ${\displaystyle \theta _{1}}$ ist:

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&={\frac {{\text{d}}x_{1}}{{\text{d}}t}}={\dot {\theta }}_{1}l_{1}\cos(\theta _{1})\\v_{1}&={\frac {{\text{d}}y_{1}}{{\text{d}}t}}={\dot {\theta }}_{1}l_{1}\sin(\theta _{1})\end{aligned}}}$

und

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{2}&={\frac {{\text{d}}x_{2}}{{\text{d}}t}}={\dot {\theta }}_{2}l_{2}\cos(\theta _{2})+u_{1}\\v_{2}&={\frac {{\text{d}}y_{2}}{{\text{d}}t}}={\dot {\theta }}_{2}l_{2}\sin(\theta _{2})+v_{1}.\end{aligned}}}$

Unter Verwendung des Lagrange-Formalismus ${\textstyle L=T-V}$ wobei ${\displaystyle T}$ die kinetische Energie der beiden Pendelmassen und ${\displaystyle V}$ ihre potentielle Energie im konstanten Gravitationsfeld ist, mit

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{1}&={\frac {1}{2}}m_{1}(u_{1}^{2}+v_{1}^{2})\\T_{2}&={\frac {1}{2}}m_{2}(u_{2}^{2}+v_{2}^{2})\\V_{1}&=m_{1}gy_{1}\\V_{2}&=m_{2}gy_{2}\end{aligned}}}$

erhält man

${\displaystyle {\begin{aligned}T&=T_{1}+T_{2}={\frac {1}{2}}m_{1}{\dot {\theta }}_{1}^{2}l_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}\left(m_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}l_{2}^{2}+m_{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}l_{1}^{2}+2m_{2}{\dot {\theta }}_{1}l_{1}{\dot {\theta }}_{2}l_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right)\\V&=V_{1}+V_{2}=-m_{1}gl_{1}\cos(\theta _{1})-m_{2}gl_{1}\cos(\theta _{1})-m_{2}gl_{2}\cos(\theta _{2}).\end{aligned}}}$

Damit ergibt sich für die Lagrange-Funktion dann

${\displaystyle {L={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2}){\dot {\theta }}_{1}^{2}l_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}l_{2}^{2}+m_{2}{\dot {\theta }}_{1}l_{1}{\dot {\theta }}_{2}l_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+(m_{1}+m_{2})gl_{1}\cos(\theta _{1})+m_{2}gl_{2}\cos(\theta _{2})}.}$

Unter Verwendung der Euler-Lagrange-Gleichung

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta _{i}}}}}-{\frac {\partial L}{\partial \theta _{i}}}=0}$

erhält man damit nach einigen Umformungen

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\theta }}_{1}&=-{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{\frac {l_{2}}{l_{1}}}({\ddot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2}))-{\frac {g}{l_{1}}}\sin(\theta _{1})\\{\ddot {\theta }}_{2}&=-{\frac {l_{1}}{l_{2}}}({\ddot {\theta }}_{1}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})-{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2}))-{\frac {g}{l_{2}}}\sin(\theta _{2})\end{aligned}}}$

die Winkelbeschleunigungen für ${\displaystyle \theta _{1}}$ und ${\displaystyle \theta _{2}}$, welche die Evolution des Pendels beschreiben.

In den Bewegungsgleichungen treten Winkelfunktionen ${\displaystyle (\sin ,\cos )}$ der Zustandsgrößen und auch Ableitungen auf. Es handelt sich also um ein nichtlineares System. Im Spezialfall kleiner Auslenkungen als Anfangsbedingungen ${\displaystyle \theta _{1}(t=0),\theta _{2}(t=0)\approx 0}$, lassen sich die Bewegungsgleichungen allerdings mittels der Kleinwinkelnäherung vereinfachen. Dann lassen sich beispielsweise weitere Spezialfälle wie ${\displaystyle m_{1}\ll m_{2}}$ oder ${\displaystyle m_{1}\gg m_{2}}$ mit analytischen Ansätzen betrachten, die eine näherungsweise harmonische Lösung haben; diese kann auch analytisch bestimmt werden.

Lösung der Bewegungsgleichungen

Die Bewegungsgleichungen für die generalisierten Koordinaten ${\textstyle {\theta _{1}}}$ und ${\textstyle {\theta _{2}}}$ stellen ein nichtlineares System von zwei gekoppelten Differentialgleichungen dar, welches analytisch nicht lösbar ist. Es kann bei vier bekannten Anfangswerten (${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},{\dot {\theta }}_{1},{\dot {\theta }}_{2}}$) mit numerischen Verfahren gelöst werden. Hierbei werden also die anfänglichen Auslenkungen (z. B. 30° und 30°) und die anfänglichen Geschwindigkeiten (z. B. ${\textstyle 0\mathrm {\frac {rad}{s}} }$ und ${\textstyle 0\mathrm {\frac {rad}{s}} }$) eingegeben und damit dann die Evolution des Pendels berechnet.

Mittels Trigonometrie können die Winkel ${\displaystyle \theta _{1}}$ und ${\displaystyle \theta _{2}}$ in die kartesischen Koordinaten ${\displaystyle (x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})}$ der Massenpunkte überführt werden.

Anwendungen

• Die Blide nutzt den energetischen Austausch zwischen den Massen der Pendel, um ein kleines Gewicht am äußeren Pendel durch die potentielle Energie eines großen Gewichtes am inneren Pendel zu beschleunigen.
• Eine Kirchenglocke mit Klöppel bildet ein Doppelpendel, allerdings mit zusätzlicher Beschränkung für den Winkel ${\displaystyle \theta _{2}}$.
• Der Golfschlag basiert auf der Bewegung eines Doppelpendels aus Armen und Händen sowie Schlägerschaft und Schlägerkopf.

Auswertung des chaotischen Verhaltens

Zur Betrachtung des chaotischen Verhaltens des Doppelpendels gibt es eine Reihe von Möglichkeiten. Oft kann mittels einfachster Berechnungen eine Aussage über chaotisches Verhalten getroffen werden. Beispiele sind der maximale Ljapunow-Exponent (MLE) oder Bifurkationsdiagramme.

Siehe auch

• Magnetisches Pendel
• Multipendel
• KAM-Theorem
• Kirchenglocke

Weblinks

• Java-Doppelpendel (englisch)
• Doppelpendel-Simulation in Java und Python (deutsch)
• Doppelpendel - Grenzen der Simulation zeigt, dass die Bewegung stets nur für eine kurze Zeitspanne simuliert werden kann
• Herleitung der Differentialgleichungen zur Beschreibung des Doppelpendels (englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ Wolf, A., Swift, J. B., Swinney, H. L., & Vastano, J. A. (1985). Determining lyapunov exponents from a time series. Physica D: Nonlinear Phenomena, Vol. 16 No. 3: 285 - 317