Generalisierte Koordinaten

Mittels Trigonometrie erhält man:

${\displaystyle x_{1}=l_{1}\sin \varphi _{1}}$

${\displaystyle y_{1}=-l_{1}\cos \varphi _{1}}$

${\displaystyle x_{2}=l_{1}\sin \varphi _{1}+l_{2}\sin \varphi _{2}}$

${\displaystyle y_{2}=-l_{1}\cos \varphi _{1}-l_{2}\cos \varphi _{2}}$

...

${\displaystyle x_{n}=l_{1}\sin \varphi _{1}+...+l_{n}\sin \varphi _{n}}$

${\displaystyle y_{n}=-l_{1}\cos \varphi _{1}-...-l_{n}\cos \varphi _{n}}$

Folglich können die kartesischen Koordinaten ${\displaystyle (x_{k}|y_{k})}$ der Massenpunkte ${\displaystyle m_{k}}$ für ${\displaystyle k}$ ∈ {1,...,${\displaystyle n}$} und ihre zeitlichen Ableitungen in folgender Form geschrieben werden:

${\displaystyle x_{k}=\sum _{i=1}^{k}l_{i}\sin \varphi _{i}}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=\sum _{i=1}^{k}l_{i}{\dot {\varphi }}_{i}\cos \varphi _{i}}$

${\displaystyle y_{k}=-\sum _{i=1}^{k}l_{i}\cos \varphi _{i}}$

${\displaystyle {\dot {y}}_{k}=\sum _{i=1}^{k}l_{i}{\dot {\varphi }}_{i}\sin \varphi _{i}}$

Lagrange-Funktion

Kinetische Energie ${\displaystyle T}$ und Potential ${\displaystyle V}$ ergeben:

${\displaystyle T(\varphi _{1},...,\varphi _{n},{\dot {\varphi }}_{1},...,{\dot {\varphi }}_{n})=\sum _{k=1}^{n}{\frac {m_{k}}{2}}({\dot {x}}_{k}^{2}+{\dot {y}}_{k}^{2})}$

${\displaystyle V(\varphi _{1},...,\varphi _{n})=g\sum _{k=1}^{n}m_{k}y_{k}}$

Somit ist die Lagrange-Funktion ${\displaystyle L=T-V}$:

${\displaystyle L(\varphi _{1},...,\varphi _{n},{\dot {\varphi }}_{1},...,{\dot {\varphi }}_{n})={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n}m_{k}\left[\left(\sum _{i=1}^{k}l_{i}{\dot {\varphi }}_{i}\cos \varphi _{i}\right)^{2}+\left(\sum _{i=1}^{k}l_{i}{\dot {\varphi }}_{i}\sin \varphi _{i}\right)^{2}\right]+g\sum _{k=1}^{n}\sum _{i=1}^{k}m_{k}l_{i}\cos \varphi _{i}}$

Bewegungsgleichungen

Die Bewegungsgleichungen des Multipendels n-ter Stufe ergeben sich aus

${\displaystyle {d \over dt}{\partial {L} \over \partial {{\dot {\varphi }}_{j}}}-{\partial {L} \over \partial {\varphi _{j}}}=0}$

bzw.

${\displaystyle {d \over dt}{\partial {T} \over \partial {{\dot {\varphi }}_{j}}}-{\partial {} \over \partial {\varphi _{j}}}(T-V)=0}$

für ${\displaystyle j}$ ∈ {1,...,${\displaystyle n}$}.

Die Bewegungsgleichungen für die generalisierten Koordinaten (${\displaystyle {\varphi _{1}},...,{\varphi _{n}}}$) stellen ein nichtlineares System von ${\displaystyle n}$ Differentialgleichungen zweiter Ordnung dar, welches für ${\displaystyle n>1}$ analytisch nicht lösbar ist.

Es kann bei ${\displaystyle 2n}$ bekannten Nebenbedingungen, beispielsweise den Startwerten

${\displaystyle \left(\varphi _{1}(t=0),...,\varphi _{n}(t=0),{\dot {\varphi }}_{1}(t=0),...,{\dot {\varphi }}_{n}(t=0)\right),}$

mittels numerischer Verfahren gelöst werden. Zwecks Vereinfachung der Bewegungsgleichungen können Kleinwinkelnäherungen vorgenommen werden.

Für Stufen ${\displaystyle n>1}$ entstehen chaotische Bewegungsmuster. Hier führen bereits geringfügige Änderungen der lokalen Koordinaten oder ihrer zeitlichen Ableitungen zu deutlichen Änderungen im weiteren Bewegungsablauf.

Mathematisches Pendel

Für ${\displaystyle n=1}$ ergibt sich der einfache Fall des mathematischen Pendels.

Hier ergeben sich kinetische Energie ${\displaystyle T}$ und Potential ${\displaystyle V}$ zu

${\displaystyle T(\varphi ,{\dot {\varphi }})={\frac {m}{2}}l^{2}{\dot {\varphi }}^{2}}$

${\displaystyle V(\varphi )=-mgl\cos \varphi }$

mit ${\displaystyle m:=m_{1},l:=l_{1},\varphi$ :=\varphi _{1}} .

Entsprechend ist die Bewegungsgleichung:

${\displaystyle {\ddot {\varphi }}+{\frac {g}{l}}\sin \varphi =0}$

Mit der Kleinwinkelnäherung ${\displaystyle \sin \varphi \approx \varphi }$ lässt sich die Gleichung vereinfachen:

${\displaystyle {\ddot {\varphi }}+{\frac {g}{l}}\varphi =0}$

Eine zweckmäßige Lösung der Bewegungsgleichung ist

${\displaystyle \varphi (t)=\varphi (0)\cos \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}t+\alpha \right)}$,

sodass bei bekannten Startbedingungen für den Parameter ${\displaystyle \alpha }$ gilt:

${\displaystyle \alpha =\arcsin \left(-{\frac {{\dot {\varphi }}(0)}{\varphi (0)}}{\sqrt {\frac {l}{g}}}\right)}$

Das Pendel schwingt entsprechend harmonisch mit der Periode:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}$

Doppelpendel

Der Fall ${\displaystyle n=2}$ stellt das Doppelpendel dar.

Hier ergeben sich kinetische Energie ${\displaystyle T}$ und Potential ${\displaystyle V}$ zu:

${\displaystyle T(\varphi _{1},\varphi _{2},{\dot {\varphi }}_{1},{\dot {\varphi }}_{2})={\frac {m_{1}}{2}}l_{1}^{2}{\dot {\varphi }}_{1}^{2}+{\frac {m_{2}}{2}}\left(l_{1}^{2}{\dot {\varphi }}_{1}^{2}+l_{2}^{2}{\dot {\varphi }}_{2}^{2}+2l_{1}l_{2}{\dot {\varphi }}_{1}{\dot {\varphi }}_{2}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right)}$

${\displaystyle V(\varphi _{1},\varphi _{2})=-(m_{1}+m_{2})gl_{1}\cos \varphi _{1}-m_{2}gl_{2}\cos \varphi _{2}}$

Entsprechend sind die Bewegungsgleichungen:

${\displaystyle m_{2}l_{2}{\ddot {\varphi }}_{2}\cos \left(\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)+\left(m_{1}+m_{2}\right)l_{1}{\ddot {\varphi }}_{1}+m_{2}l_{2}{\dot {\varphi }}_{2}^{2}\sin \left(\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)+\left(m_{1}+m_{2}\right)g\sin \varphi _{1}=0}$

und

${\displaystyle l_{2}{\ddot {\varphi }}_{2}+l_{1}{\ddot {\varphi }}_{1}\cos \left(\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)-l_{1}{\dot {\varphi }}_{1}^{2}\sin \left(\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)+g\sin \varphi _{2}=0}$

Ein Beispiel für ein Doppelpendel ist eine Glocke mit Klöppel.

Tripelpendel

Der Fall ${\displaystyle n=3}$ stellt das Tripelpendel dar.

Hier ergibt sich die kinetische Energie ${\displaystyle T}$ zu:

${\displaystyle T(\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},{\dot {\varphi }}_{1},{\dot {\varphi }}_{2},{\dot {\varphi }}_{3})={\frac {m_{1}+m_{2}+m_{3}}{2}}l_{1}^{2}{\dot {\varphi }}_{1}^{2}+{\frac {m_{2}+m_{3}}{2}}l_{2}^{2}{\dot {\varphi }}_{2}^{2}+{\frac {m_{3}}{2}}l_{3}^{2}{\dot {\varphi }}_{3}^{2}+(m_{2}+m_{3})l_{1}l_{2}{\dot {\varphi }}_{1}{\dot {\varphi }}_{2}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})}$

${\displaystyle +m_{3}l_{1}l_{3}{\dot {\varphi }}_{1}{\dot {\varphi }}_{3}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{3})+m_{3}l_{2}l_{3}{\dot {\varphi }}_{2}{\dot {\varphi }}_{3}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{3})}$

Für das Potential ${\displaystyle V}$ gilt:

${\displaystyle V(\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3})=-(m_{1}+m_{2}+m_{3})gl_{1}\cos \varphi _{1}-(m_{2}+m_{3})gl_{2}\cos \varphi _{2}-m_{3}gl_{3}\cos \varphi _{3}}$

Entsprechend sind die Bewegungsgleichungen:

${\displaystyle m_{3}l_{3}{\ddot {\varphi }}_{3}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{3})+(m_{2}+m_{3})l_{2}{\ddot {\varphi }}_{2}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+(m_{1}+m_{2}+m_{3})l_{1}{\ddot {\varphi }}_{1}+m_{3}l_{3}{\dot {\varphi }}_{3}^{2}\sin(\varphi _{1}-\varphi _{3})}$

${\displaystyle +(m_{2}+m_{3})l_{2}{\dot {\varphi }}_{2}^{2}\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})+(m_{1}+m_{2}+m_{3})g\sin \varphi _{1}=0}$

und

${\displaystyle m_{3}l_{3}{\ddot {\varphi }}_{3}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{3})+(m_{2}+m_{3})l_{2}{\ddot {\varphi }}_{2}+(m_{2}+m_{3})l_{1}{\ddot {\varphi }}_{1}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})-(m_{2}+m_{3})l_{1}{\dot {\varphi }}_{1}^{2}\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})}$

${\displaystyle +m_{3}l_{3}{\dot {\varphi }}_{3}^{2}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{3})+(m_{2}+m_{3})g\sin \varphi _{2}=0}$

und

${\displaystyle l_{3}{\ddot {\varphi }}_{3}+l_{2}{\ddot {\varphi }}_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{3})+l_{1}{\ddot {\varphi }}_{1}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{3})-l_{2}{\dot {\varphi }}_{2}^{2}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{3})-l_{1}{\dot {\varphi }}_{1}^{2}\sin(\varphi _{1}-\varphi _{3})+g\sin \varphi _{3}=0}$

Simulation der Trajektorien

• Simulation: ${\displaystyle n=1}$
• Simulation: ${\displaystyle n=2}$
• Simulation: ${\displaystyle n=3}$