Beispiele

Ein Algebro-Differentialgleichungssystem mit regulärer Matrix ${\displaystyle f_{\dot {x}}}$, das also algebraisch nach ${\displaystyle {\dot {x}}}$ umgestellt werden kann, hat den Differentiationsindex null.

Eine rein algebraische Gleichung

${\displaystyle F(x,t)=0}$

mit regulärer Jacobi-Matrix ${\displaystyle F_{x}(x,t)}$, die als Algebro-Differentialgleichung mit ${\displaystyle f({\dot {x}},x,t)=F(x,t)}$ interpretiert wird, hat Differentiationsindex eins: Nach einmaligem Differenzieren erhält man die Gleichung

${\displaystyle 0={\frac {d}{dt}}f({\dot {x}},x,t)=F_{t}(x,t)+F_{x}(x,t){\dot {x}}}$,

die nach ${\displaystyle {\dot {x}}}$ auflösbar ist:

${\displaystyle {\dot {x}}=-F_{x}(x,t)^{-1}F_{t}(x,t)}$.

Diese Tatsache wird manchmal zur Konstruktion von Homotopieverfahren genutzt.

Die Euler-Lagrange-Gleichungen für das mathematische Pendel (mit auf eins normierter Erdbeschleunigung und Pendellänge) lauten

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {x}}_{1}&=2x_{1}\lambda \\{\ddot {x}}_{2}&=2x_{2}\lambda -1\\0&=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1\end{aligned}}}$

Dieses Algebro-Differentialgleichungssystem hat den Differentiationsindex drei: Zweifache Zeitableitung der Zwangsbedingung (dritte Gleichung) nach der Zeit liefert

${\displaystyle 2\left(x_{1}{\ddot {x}}_{1}+{\dot {x}}_{1}^{2}+x_{2}{\ddot {x}}_{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}\right)=0}$.

Mit Hilfe der zwei Differentialgleichungen in den Euler-Lagrange-Gleichungen lassen sich die zweiten zeitlichen Ableitungen ${\displaystyle {\ddot {x}}_{1}}$ und ${\displaystyle {\ddot {x}}_{2}}$ ersetzen, was

${\displaystyle 2\left(2x_{1}^{2}\lambda +{\dot {x}}_{1}^{2}+2x_{2}^{2}\lambda -x_{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}\right)=0}$

liefert. Mit ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1}$ erhält man daraus die Gleichung

${\displaystyle \lambda =-{\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}x_{2}}$.

Durch Zeitableitung dieser Gleichung (das ist die dritte Zeitableitung) kommt man dann auf die fehlende Differentialgleichung für ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\lambda }}&=-{\dot {x}}_{1}{\ddot {x}}_{1}-{\dot {x}}_{2}{\ddot {x}}_{2}+{\frac {1}{2}}{\dot {x}}_{2}\\&=-2\lambda ({\dot {x}}_{1}x_{1}+{\dot {x}}_{2}x_{2})+{\frac {3}{2}}{\dot {x}}_{2}\\&={\frac {3}{2}}{\dot {x}}_{2}\end{aligned}},}$

wobei wieder die Differentialgleichungen aus den Euler-Lagrange-Gleichungen genutzt wurden, um ${\displaystyle {\ddot {x}}_{1}}$ und ${\displaystyle {\ddot {x}}_{2}}$ zu ersetzen, und außerdem berücksichtigt wurde, dass ${\displaystyle 2({\dot {x}}_{1}x_{1}+{\dot {x}}_{2}x_{2})={\frac {d}{dt}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)={\frac {d}{dt}}(1)=0}$ gilt.

Beispiel

Die durch die Gleichung

${\displaystyle f({\dot {x}},x):={\begin{pmatrix}x_{3}\\{\dot {x}}_{1}-\cos(x_{2})\\{\dot {x}}_{3}-\sin(x_{2})\end{pmatrix}}}$

definierte Funktion und die zugehörige Algebro-Differentialgleichung dienen im folgenden Text als mitlaufendes Beispiel.

Im Beispiel gibt es für alle Punkte ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{3}}$, die nicht in der durch ${\displaystyle x_{3}=0}$ definierten Ebene liegen, keine Paare ${\displaystyle (x,v)\in N}$. Also verlaufen in diesem Beispiel außerhalb dieser Ebene keine Lösungen der Algebro-Differentialgleichung.

Es ergibt sich ${\displaystyle M_{1}=\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid x_{3}=0\}}$ und ${\displaystyle TM_{1}=\{(x,v)\in \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\mid x_{3}=v_{3}=0\}}$ und damit

${\displaystyle N\cap TM_{1}=\left\{(x,v)\in \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\mid x_{3}=0,\,v_{1}=\cos(x_{2}),\,v_{3}=\sin(x_{2}),\,v_{3}=0\right\}.}$

Wie man sieht, liegt der durch ${\displaystyle N}$ vorgegebene Tangentialvektor ${\displaystyle (x,v)}$ (des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$) für Werte ${\displaystyle x_{2}\neq k\pi }$ mit ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ wegen ${\displaystyle v_{3}=\sin(x_{2})\neq 0}$ nicht im Tangentialraum ${\displaystyle TM_{1}}$, kann also nicht zu einer Lösung des Algebro-Differentialgleichungssystems korrespondieren. Damit ergibt sich

${\displaystyle M_{2}=\operatorname {pr} _{1}(N\cap TM_{1})=\left\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid k\in \mathbb {Z} ,\,x_{2}=k\pi ,x_{3}=0\right\}}$

Wir erhalten

${\displaystyle TM_{2}=\{(x,v)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\mid k\in \mathbb {Z} ,\,x_{2}=k\pi ,\,x_{3}=0,\,v_{2}=v_{3}=0\}}$

und die Menge

${\displaystyle N\cap TM_{2}=\{(x,v)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\mid k\in \mathbb {Z} ,\,x_{2}=k\pi ,\,x_{3}=0,\,v_{2}=v_{3}=0,\,v_{1}=(-1)^{k}\}}$

ordnet jedem Punkt ${\displaystyle x}$ aus der Menge ${\displaystyle M_{3}=\operatorname {pr} _{1}(N\cap TM_{2})}$ (die hier gerade gleich ${\displaystyle M_{2}}$ ist) genau einen Tangentialvektor zu. Bei der Menge ${\displaystyle N\cap TM_{1}}$ ist das noch nicht der Fall, da bei Tangentialvektoren aus dieser Menge die Komponente ${\displaystyle v_{2}}$ noch nicht eingeschränkt ist.

Der geometrische Index des Algebro-Differentialgleichungssystems in diesem Beispiel ist also gleich zwei.

Ist ${\displaystyle M_{1}}$ eine Mannigfaltigkeit, so kann diese mit Hilfe einer Funktion ${\displaystyle g_{1}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m_{1}}}$ in der Form

${\displaystyle M_{1}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid g_{1}(x)=0\}}$

dargestellt werden. Die einschränkenden Gleichungen ${\displaystyle g_{1}(x)=0}$ in dieser Darstellung werden als Zwangsbedingungen der Algebro-Differentialgleichung bezeichnet.

Im Beispiel: ${\displaystyle g_{1}(x)=x_{3}}$.

Darüber hinaus kann für ${\displaystyle k=2,3,\dotsc }$ die Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M_{k}}$ mit Hilfe einer Funktion ${\displaystyle g_{k}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m_{k}}}$ aus der Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M_{k-1}}$ ausgesondert werden: ${\displaystyle M_{k}=\{x\in M_{k-1}\mid g_{k}(x)=0\}}$. Die Gleichungen ${\displaystyle g_{k}(x)=0}$ mit ${\displaystyle k=2,3,\dotsc }$ werden auch als verdeckte Zwangsbedingungen der Algebro-Differentialgleichung bezeichnet (engl.: hidden constraints).

Im Beispiel: ${\displaystyle g_{2}(x)=\sin(x_{2})}$.

Bemerkungen

• Dass in diesem Abschnitt nur autonome Algebro-Differentialgleichungen betrachtet werden, erleichtert die geometrische Interpretation und ist nicht wirklich eine Einschränkung, da jede zeitabhängige Algebro-Differentialgleichung ${\displaystyle f({\dot {x}},x,t)=0}$ durch Einführen einer zusätzlichen Variable ${\displaystyle x_{n+1}:=t}$ und einer zusätzlichen Differentialgleichung ${\displaystyle {\dot {x}}_{n+1}=1}$ in eine autonome Algebro-Differentialgleichung umgeschrieben werden kann.
• In diesem Abschnitt wurde vorausgesetzt, dass ${\displaystyle M_{k+1}:=\operatorname {pr} _{1}(N\cap TM_{k})}$ eine Untermannigfaltigkeit des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ist. Falls dies nicht der Fall ist, ist für die betreffende Algebro-Differentialgleichung der geometrische Index nicht erklärt.
• Es existieren auch Algebro-Differentialgleichungen, bei denen der geometrische Index unendlich ist.