Notation

Es werden die Methoden der Vektoranalysis (und damit verbunden Oberflächenintegral, Kurvenintegral) verwendet. ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$ bezeichnet den Nabla-Operator. Die Differentialoperatoren bedeuten:

• ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}\equiv \operatorname {div} {\vec {E}}}$ bezeichnet die Divergenz von ${\displaystyle {\vec {E}}}$
• ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\equiv \operatorname {rot} {\vec {E}}}$ bezeichnet die Rotation von ${\displaystyle {\vec {E}}}$

Mikroskopische Maxwell-Gleichungen

Die mikroskopischen Maxwell-Gleichungen verknüpfen die elektrische Feldstärke ${\displaystyle {\vec {E}}}$ und die magnetische Flussdichte ${\displaystyle {\vec {B}}}$ mit der Ladungsdichte ${\displaystyle \,\rho }$ (Ladung pro Volumen) und der elektrischen Stromdichte ${\displaystyle {\vec {\jmath }}}$ (Strom pro durchflossene Fläche).

Name	SI	Physikalischer Inhalt
Gaußsches Gesetz	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$	Elektrische Feldlinien divergieren voneinander unter Anwesenheit elektrischer Ladung; die Ladung ist Quelle des elektrischen Feldes.
Gaußsches Gesetz für Magnetfelder	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0}$	Magnetische Feldlinien divergieren nicht, das Feld der magnetischen Flussdichte ist quellenfrei; es gibt keine magnetischen Monopole.
Induktionsgesetz	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}$	Änderungen der magnetischen Flussdichte führen zu einem elektrischen Wirbelfeld. Das Minuszeichen schlägt sich in der Lenzschen Regel nieder.
Erweitertes Durchflutungsgesetz	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {\jmath }}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}$	Elektrische Ströme – einschließlich des Verschiebungsstroms – führen zu einem magnetischen Wirbelfeld.

Dabei kann auch ${\displaystyle \mu _{0}\varepsilon _{0}={\frac {1}{c^{2}}}}$ eingesetzt werden.

Makroskopische Maxwell-Gleichungen

Bei Anwesenheit von Materie sind die mikroskopischen Maxwell-Gleichungen einerseits unhandlich, da schließlich jeder Ladungsträger in jedem Atom des Mediums berücksichtigt werden muss. Andererseits können die magnetischen Eigenschaften (beispielsweise von einem Permanentmagneten) prinzipiell nicht ohne zusätzliche physikalische Erkenntnisse der Quantenmechanik aus den mikroskopischen Maxwell-Gleichungen abgeleitet werden.

Die makroskopischen Maxwell-Gleichungen berücksichtigen die Eigenschaften der Materie in Form von Materialparametern, wobei dem leeren Raum die Parameter Permittivität ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ und Permeabilität ${\displaystyle \mu _{0}}$ zugeordnet werden. Maxwell selbst ging nicht von einem leeren Raum, sondern – wie zu seiner Zeit üblich – von dem mit einem sogenannten „Äther“ erfüllten Raum aus. Die Bezeichnung „makroskopisch“ kommt dadurch zustande, dass die Eigenschaften der Materie letztlich örtlich gemittelte Eigenschaften der Materie kennzeichnen. Im Hinblick auf die Ladungen wird dabei zwischen freien Ladungsträgern (etwa Leitungselektronen im elektrischen Leiter) und gebundenen Ladungsträgern (etwa Hüllenelektronen) unterschieden, und es wird davon ausgegangen, dass die gebundenen Ladungsträger durch mikroskopische Prozesse zu einer makroskopischen Polarisation ${\displaystyle {\vec {P}}}$ bzw. Magnetisierung ${\displaystyle {\vec {M}}}$ führen.

Die Anwesenheit von Materie erfordert, dass das elektrische und das magnetische Feld jeweils durch zwei zusätzliche Vektorfelder beschrieben werden, die elektrische Flussdichte ${\displaystyle {\vec {D}}:={\varepsilon _{0}}{\vec {E}}+{\vec {P}}}$ und die magnetische Feldstärke ${\displaystyle {\vec {H}}:={\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {B}}-{\vec {M}}}$ .

Name	SI	Physikalischer Inhalt
Gaußsches Gesetz	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=\rho _{\text{frei}}}$	Die Ladung ist Quelle des elektrischen Feldes.
Gaußsches Gesetz für Magnetfelder	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0}$	Das Feld der magnetischen Flussdichte ist quellenfrei; es gibt keine magnetischen Monopole.
Induktionsgesetz	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}$	Änderungen des magnetischen Feldes führen zu einem elektrischen Wirbelfeld.
Erweitertes Durchflutungsgesetz	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\vec {\jmath }}_{\text{frei}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}}$	Elektrische Ströme – einschließlich des Verschiebungsstroms – führen zu einem magnetischen Wirbelfeld.

und es ist z. B. ${\displaystyle \rho _{\mathrm {frei} }=\rho -\rho _{\mathrm {pol} }=\rho +\operatorname {div} {\vec {P}}\,.}$

Übersicht

Hier werden u. a. die Maxwell-Gleichungen in SI-Einheiten angegeben. Formulierungen in anderen Einheitensystemen sind am Schluss aufgeführt bzw. werden durch Bemerkungen im Text erläutert.

Die im Folgenden in der rechten Spalte im Zentrum von einfachen oder zweifachen Integralen angegebenen Symbole betonen, dass man es mit geschlossenen  Kurven bzw. Flächen zu tun hat.

Maxwell-Gleichungen in SI-Einheiten

differentielle Form	verknüpfender Integralsatz			Integralform
Physikalisches gaußsches Gesetz Das ${\displaystyle {\vec {D}}}$-Feld ist ein Quellenfeld. Die Ladung (Ladungsdichte ${\displaystyle \rho }$) ist Quelle des elektrischen Feldes.		Gauß	Der (elektrische) Fluss durch die geschlossene Oberfläche ${\displaystyle \partial V}$ eines Volumens ${\displaystyle V}$ ist direkt proportional zu der elektrischen Ladung in seinem Inneren.
${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {D}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=\rho }$		${\displaystyle \Longleftrightarrow }$	${\displaystyle \oint _{\partial V}{\vec {D}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}=\iiint _{V}\rho \ \mathrm {d} V=Q(V)}$
Quellenfreiheit des B-Feldes Das ${\displaystyle {\vec {B}}}$-Feld ist quellenfrei. Es gibt keine magnetischen Monopole.		Gauß	Der magnetische Fluss durch die geschlossene Oberfläche eines Volumens ist gleich der magnetischen Ladung in seinem Inneren, nämlich Null, da es keine magnetischen Monopole gibt.
${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0}$		${\displaystyle \Longleftrightarrow }$	${\displaystyle \oint _{\partial V}{\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}=0}$
Induktionsgesetz Jede Änderung des ${\displaystyle {\vec {B}}}$-Feldes führt zu einem elektrischen Gegenfeld. Die Wirbel des elektrischen Feldes sind von der zeitlichen Änderung der magnetischen Flussdichte abhängig.		Stokes	Die (elektrische) Zirkulation über der Randkurve ${\displaystyle \partial A}$ einer Fläche ${\displaystyle A}$ ist gleich der negativen zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses durch die Fläche.
${\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {E}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}$		${\displaystyle \Longleftrightarrow }$	${\displaystyle \oint _{\!\partial A}\!\!\!{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=-\!\!\iint _{A}\!{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}$
Durchflutungsgesetz Die Wirbel des Magnetfeldes hängen von der Leitungsstromdichte ${\displaystyle \textstyle {\vec {\jmath }}_{\mathrm {l} }}$ und von der elektrischen Flussdichte ${\displaystyle \textstyle {\vec {D}}}$ ab. Die zeitliche Änderung von ${\displaystyle {\vec {D}}}$ wird auch als Verschiebungsstromdichte ${\displaystyle {\vec {\jmath }}_{\mathrm {v} }}$ bezeichnet und ergibt als Summe mit der Leitungsstromdichte die totale Stromdichte ${\displaystyle {\vec {\jmath }}_{\,{\text{total}}}={\vec {\jmath }}_{\mathrm {l} }+{\vec {\jmath }}_{\mathrm {v} }}$		Stokes	Die magnetische Zirkulation über der Randkurve ${\displaystyle \partial A}$ einer Fläche ${\displaystyle A}$ ist gleich der Summe aus dem Leitungsstrom und der zeitlichen Änderung des elektrischen Flusses durch die Fläche.
${\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {H}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\vec {\jmath }}_{\mathrm {l} }\;+\;{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}}$		${\displaystyle \Longleftrightarrow }$	${\displaystyle \oint _{\!\partial A}\!\!\!{\vec {H}}\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=\iint _{A}\!{\vec {\jmath }}_{\mathrm {l} }\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}\;\;+\;\;\iint _{A}\!{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}$

Erläuterungen

Zu beachten ist, dass alle Größen aus einem beliebigen, aber für alle Größen gleichen Inertialsystem gemessen werden müssen. Soll mithilfe der o. g. Gleichungen beispielsweise die induzierte Spannung in einer bewegten Leiterschleife betrachtet werden, so ist es günstig, die Größen in den bewegten Teilen des Systems mithilfe der Lorentztransformation in das Ruhesystem umzurechnen.

In diesem Zusammenhang sei erwähnt, dass manche Lehrbücher anstelle des Induktionsgesetzes folgende Näherung notieren:

${\displaystyle \oint _{\partial A}{\vec {E}}'\cdot {\text{d}}{\vec {s}}=-\iint _{A}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}+\oint _{\partial A}{\vec {v}}\times {\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}\qquad \left(=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\iint _{A}{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}\,\right),}$

wobei die Feldstärke ${\displaystyle {\vec {E}}'}$ jeweils in einem Bezugssystem gemessen wird, in dem das Linienelement ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {s}}}$ ruht. Diese Gleichung gilt nur für Geschwindigkeiten, die klein sind im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit, ${\displaystyle |{\vec {v}}|\ll c.}$

Erläuterung zu den Maxwell-Gleichungen mit Materie

Die in allen drei Bereichen auftretenden Materialgleichungen werden nicht direkt zu den Maxwell-Gleichungen gezählt, sondern die drei Gleichungssätze:

• Maxwell-Gleichungen
• Materialgleichungen der Elektrodynamik
• Kontinuitätsgleichungen der Elektrodynamik

stellen gemeinsam und unter gegenseitiger Ergänzung das Fundament der elektrodynamischen Feldtheorie dar. Die Materialgleichungen gelten in der allgemeinen Form sowohl für den leeren Raum als auch für mit Materie ausgefüllte Raumbereiche.

Aus historischen Gründen, und manchmal auch um bestimmte Berechnungsvorgänge spezifisch darzustellen, werden die Materialgleichungen und die darin auftretenden drei Leitfähigkeiten jeweils in den Anteil des leeren Raumes ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ bzw. ${\displaystyle \mu _{0}}$ und den Anteil der Leitfähigkeit, welcher durch die Materie verursacht wird, ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }}$ und ${\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }}$ aufgespalten.

Für das elektrische Feld ergibt sich durch die Aufspaltung der dielektrischen Leitfähigkeit die Möglichkeit zur Einführung eines weiteren Vektorfeldes, der elektrischen Polarisation ${\displaystyle {\vec {P}}}$ (eigentlich dielektrische Polarisation, die aber auch als elektrische Polarisation bezeichnet wird, da dem elektrischen Feld zugewiesen).

Analog dazu beschreibt die magnetische Polarisation ${\displaystyle {\vec {J}}}$ die von den Eigenschaften des leeren Raumes losgelösten Verhältnisse in Materie für das magnetische Feld. Aus der magnetischen Polarisation ergibt sich die Magnetisierung ${\displaystyle {\vec {M}}={\tfrac {\vec {J}}{\mu _{0}}}}$. (Im gaußschen CGS-System sind die Verhältnisse verwirrender: ${\displaystyle {\vec {J}}}$ und ${\displaystyle {\vec {M}}}$ werden dort gleich bezeichnet, als cgs-Magnetisierung, und unterscheiden sich nur um einen Faktor ${\displaystyle 4\pi }$, je nachdem ob ${\displaystyle {\vec {B}}}$ oder ${\displaystyle {\vec {H}}}$ gemeint ist.)

Grundsätzlich kann ohne Verlust auf die Einführung der Vektorfelder der elektrischen Polarisation ${\displaystyle {\vec {P}}}$ und der magnetischen Polarisation ${\displaystyle {\vec {J}}}$ (bzw. der dazu äquivalenten Magnetisierung ${\displaystyle {\vec {M}}}$) verzichtet werden. Stattdessen werden die Abhängigkeiten in den Materialgleichungen und den entsprechend allgemein gefassten Leitfähigkeiten in Form von Tensoren höherer Ordnung berücksichtigt. Weiterhin können die Leitfähigkeiten auch Funktionen darstellen, um nichtlineare Eigenschaften der Materie erfassen zu können. Diese können sogar von der Vorbehandlung abhängen, also explizit zeitabhängig sein. Diese Vorgangsweise empfiehlt sich auch für einen systematischen Zugang, wenn dieser über das SI-Einheitensystem erfolgt. Aus historischen Gründen, aber auch in bestimmten Teilbereichen der Physik, wird allerdings manchmal sehr intensiv von den ${\displaystyle {\vec {P}}}$- und ${\displaystyle {\vec {J}}}$- (bzw. ${\displaystyle {\vec {M}}}$-)Vektorfeldern Gebrauch gemacht, weshalb im Folgenden dieser Sachverhalt näher dargestellt wird.

In Materie gilt allgemein

${\displaystyle {\vec {D}}=\varepsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}}$

sowie

${\displaystyle {\vec {H}}={\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {B}}-{\vec {M}}}$

bzw.

${\displaystyle {\vec {B}}=\mu _{0}({\vec {H}}+{\vec {M}})=\mu _{0}{\vec {H}}+{\vec {J}}\,,}$ mit der oben eingeführten „magnetischen Polarisation“ ${\displaystyle {\vec {J}}=\mu _{0}{\vec {M}}}$,

wobei sich im Spezialfall der Linearität bei Isotropie oder bei kubischen Systemen noch folgende Vereinfachung ergibt:

${\displaystyle {\vec {D}}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }\,{\vec {E}}}$

und

${\displaystyle {\vec {B}}=\mu _{0}\mu _{\mathrm {r} }\,{\vec {H}}}$.

In homogenen isotropen Materialien (d. h. die Größen ${\displaystyle \varepsilon \,\,(=\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} })\,}$ und ${\displaystyle \mu \,\,(=\mu _{0}\mu _{\mathrm {r} })}$ sind skalar und konstant) erhält man für die Maxwell-Gleichungen

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}=\varepsilon \,{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}+\sigma \,{\vec {E}}}$

${\displaystyle -{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=\mu \,{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}}$

${\displaystyle \varepsilon \,{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=\rho }$

${\displaystyle \mu \,{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {H}}=0}$.

In anisotroper nicht-kubischer linearer Materie werden die Skalare ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }}$ und ${\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }}$ zu Tensoren 2. Stufe, wobei die Beziehungen weiterhin Gültigkeit behalten. In nichtlinearen Materialien hängen die Leitfähigkeiten von den jeweiligen Momentanwerten der Feldstärken oder im allgemeinsten Fall von deren gesamter Geschichte ab (siehe Hysterese). Die ${\displaystyle {\vec {P}}}$- und ${\displaystyle {\vec {J}}}$-Felder, elektrische bzw. magnetische Polarisation genannt, verschwinden außerhalb der Materie, was in den genannten Spezialfällen gleichwertig mit der Aussage ist, dass ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }=\mu _{\mathrm {r} }=1}$ wird.

Die dielektrische Polarisation ist dann mit der elektrischen Suszeptibilität ${\displaystyle \chi _{\mathrm {e} }}$, bzw. der relativen Permittivität ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ und der Vakuum-Permittivität (Dielektrizitätskonstante) ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ folgendermaßen verknüpft:

${\displaystyle {\vec {P}}=\varepsilon _{0}\chi _{\mathrm {e} }{\vec {E}}=\varepsilon _{0}\cdot ({\varepsilon _{\mathrm {r} }}-1){\vec {E}}}$,

mit

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }=1+\chi _{\mathrm {e} }}$.

Für die magnetische Polarisation ${\displaystyle {\vec {J}}}$ bzw. die Magnetisierung ${\displaystyle {\vec {M}}={\tfrac {\vec {J}}{\mu _{0}}}}$ gilt eine entsprechende Gleichung mit der magnetischen Suszeptibilität ${\displaystyle \chi _{\mathrm {m} }}$ bzw. der relativen Permeabilität ${\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }}$ und der Vakuum-Permeabilität (magnetische Feldkonstante) ${\displaystyle \mu _{0}}$ mit der Einheit ${\displaystyle \mathrm {\tfrac {V\,s}{A\,m}} }$:

${\displaystyle {\vec {J}}=\mu _{0}\,\chi _{\mathrm {m} }\,{\vec {H}}=\mu _{0}\cdot \left(\mu _{\mathrm {r} }-1\right)\,{\vec {H}}}$,

mit

${\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }=1+\chi _{\mathrm {m} }}$.

(Anmerkung: Im Gaußschen CGS-System sind ${\displaystyle \chi _{\mathrm {e} }}$ und ${\displaystyle \chi _{\mathrm {m} }}$ mit ${\displaystyle 4\pi }$ zu multiplizieren.)

Weiter ergibt sich die Definition des Brechungsindex mit

${\displaystyle n:={\sqrt {\varepsilon _{\mathrm {r} }\,\mu _{\mathrm {r} }}}}$

und der Zusammenhang zwischen Lichtgeschwindigkeit und elektrischer und magnetischer Feldkonstante

${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\,\mu _{0}}}}}$.

Dies bringt die Ausbreitung von Licht in Materie mit den Konstanten des Mediums in Verbindung. So ist die Phasengeschwindigkeit im Medium

${\displaystyle c_{p}={\frac {c}{n}}={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{\mathrm {r} }\,\mu _{\mathrm {r} }}}}}$,

die ohne Dispersion gleich der Gruppengeschwindigkeit ist.

Zusammenfassung

Maxwell-Gleichungen in Materie in SI-Einheiten

Durchflutungsgesetz	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}+{\vec {\jmath }}}$
Induktionsgesetz	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}$
Gaußsches Gesetz	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=\rho }$
Gaußsches Gesetz des Magnetismus	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0}$
Materialgesetz	${\displaystyle {\vec {D}}=\varepsilon _{0}\,{\vec {E}}+{\vec {P}}\quad }$ oder auch⁠1) ${\displaystyle \,{\vec {D}}=\varepsilon \,{\vec {E}}}$
Materialgesetz	${\displaystyle {\vec {B}}=\mu _{0}\,({\vec {H}}+{\vec {M}})\quad }$ oder auch⁠1) ${\displaystyle \,{\vec {B}}=\mu \,{\vec {H}}}$

Traditionell werden die beiden zuletzt angegebenen Materialgesetze sowie das ohmsche Gesetz ${\displaystyle {\vec {\jmath }}=\sigma \,{\vec {E}}}$ (${\displaystyle \sigma }$ ist hier der spezifische elektrische Leitwert) meist nicht in die Maxwell-Gleichungen miteinbezogen. Die Kontinuitätsgleichung ${\displaystyle {\tfrac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} \,{\vec {\jmath }}=0\,}$ als Beschreibung der Ladungserhaltung folgt aus den Maxwell-Gleichungen.

Die elektrischen Feldstärken ${\displaystyle {\vec {E}}}$ sowie die magnetischen Flussdichten ${\displaystyle {\vec {B}}}$ werden als physikalisch vorhandene Kraftfelder interpretiert. Schon Maxwell verband diese Kraftfelder mit dem elektrischen Potenzialfeld ${\displaystyle \,\phi }$ und dem Vektorpotential ${\displaystyle {\vec {A}}}$:

${\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\,\phi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\,,}$

${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}\,.}$

Der Zusammenhang zwischen Feldstärken und Potentialen ist zwar nur bis auf Eichtransformationen definiert, den Potentialen kommt aber in der Quantentheorie eine fundamentale Bedeutung zu (→ Aharonov-Bohm-Effekt).

Der dreidimensionale Ansatz

In diesem dreidimensionalen Ansatz wird die Zeit als äußerer Parameter behandelt, wie aus der klassischen Mechanik gewohnt.

Der vierdimensionale Ansatz

${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ sei eine glatte Mannigfaltigkeit der Dimension 4 und ${\displaystyle {\mathcal {M}}\subset {\mathcal {N}}}$ eine glatte Untermannigfaltigkeit der Dimension 3 (aus dem 3-dimensionalen Ansatz) und ${\displaystyle g\in {\mathcal {T}}_{2}^{0}({\mathcal {N}})}$ der metrische Tensor mit Koeffizientendarstellung.

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\left(\operatorname {diag} (-1,1,1,1)\right)_{\mu \nu }\quad }$ (Minkowski-Metrik)

(Es gibt viele äquivalente Formen, die man z. B. durch Multiplikation mit einer Zahl vom Betrag 1 erhalten kann.)

Die Metrik muss lediglich festgelegt werden, damit man das nun folgende Viererpotential ${\displaystyle A\in \Lambda ^{1}({\mathcal {N}})}$ explizit hinschreiben kann (Physik: „kontravariante Größen“), ohne den Umweg über die Koeffizienten eines Vektorfeldes (Physik: „kovariante Größen“) ${\displaystyle {\mathcal {A}}\in {\mathcal {X}}({\mathcal {N}})}$ zu gehen mit

${\displaystyle A=g({\mathcal {A}},\cdot )\quad {\text{wobei}}\quad {\mathcal {A}}=a^{\mu }\partial _{\mu }}$.

Die Festlegung auf den Minkowskiraum, die man u. a. benötigt um „raumartige“ und „zeitartige“ Vektor- bzw. Tensorkomponenten zu unterscheiden, oder bei der Definition der Dualitätsoperation (siehe unten), ist also hier nicht erforderlich. Man könnte die Metrik auch frei wählen, dann sehen die Komponenten der Einsform

${\displaystyle A=a_{\mu }\mathrm {d} x^{\mu }\quad }$ (Viererpotential)

nur anders aus, denn

${\displaystyle a_{\mu }=g_{\mu \nu }a^{\nu }\quad }$ (Transformation zwischen Vektorfeld und Differentialform).

Sei also ab hier die Mannigfaltigkeit der flache Minkowskiraum, das heißt o. B. d. A. ${\displaystyle {\mathcal {N}}=M^{4}=(\mathbb {R} ^{4},g)}$. Dann ist das Vektorpotential gegeben durch

${\displaystyle A=-{\frac {\phi }{c}}\ \mathrm {d} t+a_{1}\ \mathrm {d} x+a_{2}\ \mathrm {d} y+a_{3}\ \mathrm {d} z\quad }$ für das Vektorfeld ${\displaystyle \quad {\mathcal {A}}=+{\frac {\phi }{c}}\ \partial _{t}+a^{1}\ \partial _{x}+a^{2}\ \partial _{y}+a^{3}\ \partial _{z}}$.

Maxwell-Gleichungen für konstante Frequenzen ω in komplexer Schreibweise

Die in den Maxwell-Gleichungen auftretenden Feldvektoren sind im Allgemeinen nicht nur Funktionen des Ortes, sondern auch der Zeit, beispielsweise ${\displaystyle {\vec {H}}(x,\,y,\,z,\,t)}$. In den partiellen Differentialgleichungen tritt dann neben den Ortsvariablen auch die Zeitvariable auf. Zur vereinfachten Lösung dieser Differentialgleichungen beschränkt man sich in der Praxis oft auf harmonische (sinusförmige) Vorgänge. Diese Darstellung ist für die praktische Feldberechnung, beispielsweise bei der Berechnung von elektromagnetischen Schirmen oder für die Antennentechnik, von wesentlicher Bedeutung.

Mit Hilfe der komplexen Schreibweise lässt sich die Zeitabhängigkeit bei harmonischen Vorgängen vermeiden, da sich der komplexe Zeitfaktor ${\displaystyle e^{\mathrm {j} \,\omega \,t}}$ dabei heraushebt und so aus den Maxwell-Gleichungen eine Helmholtz-Gleichung wird. Die in den Maxwell-Gleichungen auftretenden Feldgrößen sind dann komplexe Amplituden und nur noch Funktionen des Ortes. An Stelle der partiellen Differentiation nach der Zeit tritt die Multiplikation mit dem imaginären Faktor ${\displaystyle \mathrm {j} \,\omega }$. Der Faktor ${\displaystyle \omega }$ wird auch als Kreisfrequenz bezeichnet.

Wie in der Elektrotechnik üblich, wird die imaginäre Einheit mit ${\displaystyle \mathrm {j} }$ bezeichnet (sie sollte nicht mit der häufig für die Stromdichte verwendeten Variable ${\displaystyle {\vec {\jmath }}}$ verwechselt werden) – in der Mathematik und theoretischen Physik wird sie meist ${\displaystyle \mathrm {i} }$ geschrieben.

In komplexer Form – komplexe Größen sind zur Unterscheidung unterstrichen – lauten die Maxwell-Gleichungen in Differentialform:

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\underline {\vec {D}}}=\rho }$

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\underline {\vec {B}}}=0}$

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\underline {\vec {E}}}=-\mathrm {j} \,\omega \,{\underline {\vec {B}}}}$

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\underline {\vec {H}}}={\underline {\vec {\jmath }}}+\mathrm {j} \,\omega {\underline {\vec {D}}}=\left(\sigma +\mathrm {j} \,\omega \,\varepsilon \right)\,{\underline {\vec {E}}}}$

Kovariante Formulierung der Maxwell-Gleichungen

In diesem Absatz wird, wie im übrigen Artikel, das SI-Einheitensystem verwendet. Dieses und die damit verbundenen Faktoren ${\displaystyle \,\mu _{0}}$, ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ etc. empfinden viele Theoretiker gerade bei der kovarianten Formulierung der Elektrodynamik als unnatürlich und verwenden andere Systeme, etwa Gauß-Einheiten oder Heaviside-Lorentz-Einheiten, in denen die Grundgrößen der Elektrodynamik anders definiert werden (→ siehe Elektromagnetische Maßeinheiten). In der Literatur können deshalb, verglichen mit dieser Darstellung, Vorfaktoren wegfallen, hinzukommen oder an andere Stellen rücken.

Die Elektrodynamik, wie sie durch die Maxwell-Gleichungen beschrieben wird, ist im Gegensatz zur newtonschen Mechanik verträglich mit der speziellen Relativitätstheorie. Dazu gehört, dass die Maxwell-Gleichungen in jedem Inertialsystem gelten, ohne dass sich beim Wechsel des Bezugssystems ihre Form ändert. Das spielte historisch für die Entwicklung der Relativitätstheorie durch Albert Einstein eine wichtige Rolle.

Technischer formuliert sind die Maxwell-Gleichungen relativistisch kovariant oder forminvariant, das heißt, dass sie ihre Gestalt unter Lorentz-Transformationen nicht ändern.

Diese Eigenschaft ist den Maxwell-Gleichungen in der oben beschriebenen Form jedoch nicht ohne weiteres anzusehen. Es kann deshalb nützlich sein, durch eine Umformulierung der Theorie die Forminvarianz herauszuarbeiten, anders ausgedrückt: die Theorie „manifest kovariant“ zu schreiben.

Dazu ist es zweckmäßig, die oben auftretenden Größen ${\displaystyle {\vec {E}}}$, ${\displaystyle {\vec {B}}}$ usw. durch Größen ausdrücken, die ein klar definiertes, einfaches Transformationsverhalten unter Lorentz-Transformationen haben, also durch Lorentz-Skalare, Vierervektoren und Vierer-Tensoren höherer Stufen.

Ausgangspunkt für diese Umformulierung bilden die elektromagnetischen Potentiale ${\displaystyle \,\phi }$ (skalares Potential) und ${\displaystyle {\vec {A}}}$ (Vektorpotential), aus denen man die elektrischen und magnetischen Felder durch

${\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi -\partial _{t}{\vec {A}}}$

${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}}$

erhält (siehe auch Elektrodynamik). Diese Größen lassen sich zu einem Vierervektor, dem Viererpotential

${\displaystyle A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {A}}\right)}$

zusammenfassen. Ebenso kann man aus Ladungsdichte ${\displaystyle \,\rho }$ und Stromdichte ${\displaystyle {\vec {\jmath }}}$ die Viererstromdichte zusammensetzen, mit

${\displaystyle j^{\mu }=(c\rho ,{\vec {\jmath }})}$.

Aus dem Viererpotential wird der elektrodynamische Feldstärketensor abgeleitet, dessen Komponenten bis auf Vorzeichen und konstante Vorfaktoren, die vom Einheitensystem abhängen, gerade die der elektrischen und magnetischen Felder sind. Er hat die Form

${\displaystyle F^{\alpha \beta }=\partial ^{\alpha }A^{\beta }-\partial ^{\beta }A^{\alpha }={\begin{pmatrix}0&-{\frac {E_{x}}{c}}&-{\frac {E_{y}}{c}}&-{\frac {E_{z}}{c}}\\{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\\\end{pmatrix}}}$.

Man definiert nun den Vierergradienten, die relativistische Form der Ableitung, als

${\displaystyle \partial ^{\alpha }=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\vec {\nabla }}\right)}$, also  ${\displaystyle \partial _{\alpha }=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},+{\vec {\nabla }}\right)}$

sowie die Differentiale ${\displaystyle \,\mathrm {d} x^{\alpha }=(c\mathrm {d} t,\mathrm {d} x,\mathrm {d} y,\mathrm {d} z)}$, die bei der Behandlung der Maxwell-Gleichungen im Artikel Differentialformen benötigt werden, der an dieser Stelle auch empfohlen wird.

Mit diesen Größen kann man die beiden inhomogenen Maxwell-Gleichungen im Vakuum durch die kovariante Gleichung

${\displaystyle \,\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}j^{\beta }}$

ersetzen. Dabei wird, wie üblich, die einsteinsche Summenkonvention benutzt, das heißt, über doppelt auftretende Indizes in Produkten (hier ${\displaystyle \alpha }$) wird summiert. Ferner erfolgt wie üblich das Herauf- und Herunterziehen von Indizes mit dem metrischen Tensor

${\displaystyle {\overset {\leftrightarrow }{\eta }}={\begin{pmatrix}+1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}}$.

Man beachte, dass wegen der Antisymmetrie des Feldstärketensors auch die Kontinuitätsgleichung (Verschwinden der Vierer-Divergenz) folgt

${\displaystyle \mu _{0}(\partial _{t}\rho +\operatorname {div} {\vec {\jmath }})=\mu _{0}\partial _{\beta }j^{\beta }=\partial _{\alpha }\partial _{\beta }F^{\alpha \beta }=-\partial _{\alpha }\partial _{\beta }F^{\beta \alpha }=-\partial _{\beta }\partial _{\alpha }F^{\beta \alpha }=0}$.

Die beiden homogenen Maxwell-Gleichungen erhalten im Vakuum die manifest kovariante Form

${\displaystyle \,\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }=0}$

Das wird auch häufig mit dem Levi-Civita-Symbol kompakter geschrieben als

${\displaystyle \varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\partial _{\alpha }F_{\gamma \delta }=0}$

oder

${\displaystyle \partial _{\alpha }{\tilde {F}}^{\alpha \beta }=0}$

mit dem dualen Feldstärketensor

${\displaystyle {\tilde {F}}^{\alpha \beta }:={\frac {1}{2}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }F_{\gamma \delta },}$

dessen Komponenten man auch aus denen von ${\displaystyle \,F^{\alpha \beta }}$ erhalten kann, indem man die Vektoren ${\displaystyle {\vec {E}}/c}$ durch ${\displaystyle {\vec {B}}}$ und ${\displaystyle {\vec {B}}}$ durch ${\displaystyle -{\vec {E}}/c}$ ersetzt. Also

${\displaystyle {\tilde {F}}^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&{\frac {E_{z}}{c}}&-{\frac {E_{y}}{c}}\\B_{y}&-{\frac {E_{z}}{c}}&0&{\frac {E_{x}}{c}}\\B_{z}&{\frac {E_{y}}{c}}&-{\frac {E_{x}}{c}}&0\\\end{pmatrix}}}$.

Differentialformen ermöglichen eine besonders übersichtliche Darstellung der Maxwell-Gleichungen, die damit automatisch auch kovariant sind. Das Viererpotential wird durch die 1-Form ${\displaystyle {\vec {A}}}$ und die Viererstromdichte durch die 1-Form ${\displaystyle {\vec {\jmath }}}$ dargestellt. Der Feldstärketensor wird durch eine 2-Form gemäß ${\displaystyle {\vec {F}}=\mathrm {d} {\vec {A}}}$ und sein Dual durch die 2-Form ${\displaystyle *{\vec {F}}}$ dargestellt. Das Symbol ${\displaystyle \mathrm {d} }$ steht, wie bei Differentialformen üblich, für die Cartan-Ableitung. Der * steht für den Hodge-Stern-Operator.

Die Maxwell-Gleichungen im Vakuum lauten dann

${\displaystyle *\mathrm {d} *{\vec {F}}=\mu _{0}{\vec {\jmath }}}$

und

${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {F}}=0}$.

Maxwell-Gleichungen unter Berücksichtigung hypothetischer magnetischer Monopole

Magnetische Monopole treten in einigen GUT-Theorien als mögliche oder notwendige Bestandteile auf. Mit ihnen ließe sich die Quantelung der elektrischen Ladung erklären, wie Paul Dirac schon 1931 erkannte. Bislang wurden magnetische Monopole nur als Quasiteilchen beobachtet. Reale Teilchen als Monopole wurden nicht gefunden. Daher wird in den oben genannten Maxwell-Gleichungen auch angenommen, dass keine magnetischen Monopole (magnetische Ladungen) existieren.

Sollten in der Zukunft dennoch solche magnetischen Ladungen gefunden werden, so lassen sich diese in den Maxwell-Gleichungen problemlos berücksichtigen.

Setzt man ${\displaystyle \rho _{m}}$ für die Monopolladungsdichte, ${\displaystyle {\vec {\jmath }}_{m}=\rho _{m}{\vec {v}}_{m}}$ für die Stromdichte und ${\displaystyle {\vec {v}}_{m}}$ für die Geschwindigkeit der sich bewegenden magnetischen Monopolladungen, so ändern sich nur zwei der vier oben genannten Gleichungen in differentieller Form zu

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {B}}=\rho _{m}\,\,.}$

Interpretation: Die Feldlinien der magnetischen Flussdichte beginnen und enden in einer magnetischen Ladung.

${\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {E}}=-\left({\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {B}}+{\vec {\jmath }}_{m}\right)\,.}$

Interpretation: Sich zeitlich ändernde magnetische Flussdichten oder das Vorhandensein von magnetischen Stromdichten führen zu elektrischen Wirbelfeldern.

Die anderen beiden Gleichungen bleiben unverändert, während sich aber natürlich für die beiden neuen differentiellen (d. h. lokalen) Gleichungen auch neue integrale (d. h. globalen) Darstellungen ergeben, die aber ohne weiteres mit den Integralsätzen von Gauß und Stokes berechnet werden können.

Der Fall der verschwindenden Monopole ${\displaystyle \rho _{m}=0}$ führt wieder auf die bekannten, oben angegebenen Gleichungen zurück.

Maxwell-Gleichungen und Photonmasse

Die Photonmasse verschwindet gemäß der Maxwell-Gleichungen. Diese Gleichungen sind der Grenzfall ${\displaystyle m=0}$ der allgemeineren Maxwell-Proca-Gleichungen mit einer nicht negativen Masse ${\displaystyle m}$ der Austauschteilchen (im elektromagnetischen Fall der Photonen). Statt des Coulomb-Potentials ${\displaystyle {\tfrac {q}{r}}}$ bewirkt in der Maxwell-Proca-Theorie eine Punktladung ${\displaystyle q}$ das Yukawa-Potential ${\displaystyle {\tfrac {q}{r}}\,\mathrm {e} ^{-m\,c\,r/\hbar }}$, und hat nur noch eine Reichweite von etwa der Compton-Wellenlänge ${\displaystyle \lambda _{m}=h/{m\,c}}$.

Natürliche Einheitensysteme

In natürlichen Einheitensystemen fallen die Naturkonstanten weg.

Gaußsches Einheitensystem

Da das Gaußsche Einheitensystem auf dem CGS-System basiert, können nicht alle Naturkonstanten gekürzt werden.

In einer verbreiteten Version des gaußschen CGS-Systems lauten die Maxwell-Gleichungen:

Maxwell-Gleichungen im gaußschen cgs-System

Durchflutungsgesetz	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}=4\pi {\frac {\vec {\jmath }}{c}}+{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}}$
Induktionsgesetz	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}$
Gaußsches Gesetz	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=4\pi \rho }$
Gaußsches Gesetz des Magnetismus	${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0}$

So werden die Maxwell-Gleichungen zum Beispiel im bekannten Lehrbuch von Jackson (das daneben noch das Internationale Einheitensystem (SI) benutzt) geschrieben. Daneben gibt es auch Versionen des gaußschen cgs-Systems, die eine andere Definition der Stromstärke benutzen und in denen das Durchflutungsgesetz lautet (z. B. im verbreiteten Lehrbuch von Panofsky und Phillips:)

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}=4\pi {\vec {\jmath }}+{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}}$

Für die Potenziale wird im cgs-System gesetzt:

${\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\,\phi -{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}}$ sowie ${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}\,.}$

Ferner gilt

${\displaystyle {\vec {D}}={\vec {E}}+4\pi {\vec {P}}}$ und ${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {H}}+4\pi {\vec {M}}\,.}$