Die Lorentzkraft ist die Kraft, die eine Ladung in einem magnetischen oder elektrischen Feld erfährt. Ein Magnetfeld übt dabei Kraft auf bewegte Ladungen aus, während ein elektrisches Feld auf bewegte und unbewegte Ladungen gleichermaßen wirkt. Sie ist nach dem niederländischen Mathematiker und Physiker Hendrik Antoon Lorentz benannt. Oft wird nur die magnetische Komponente als Lorentzkraft bezeichnet.

Die magnetische Komponente der Kraft ist am größten, wenn die Bewegungsrichtung der Ladung senkrecht zu den magnetischen Feldlinien verläuft, und gleich Null, wenn sich die Ladung entlang einer Feldlinie bewegt. Sie wirkt immer senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladung und zu den Magnetfeldlinien. Ihre Wirkungsrichtung kann mit der Drei-Finger-Regel bestimmt werden. Für negative Ladungen verwendet man die linke, für positive Ladungen die rechte Hand.

Eine Erklärung der magnetischen Komponente, die letztlich auf die elektrostatische Anziehung zurückgeführt wird, liefert die Spezielle Relativitätstheorie.

Doppeldeutige Bezeichnung

Die Bezeichnung „Lorentzkraft“ wird nicht einheitlich verwendet. Ältere Lehrwerke unterscheiden meist zwischen der Lorentzkraft im engeren Sinne ${\displaystyle {\vec {F_{\text{L}}}}}$ und der Coulombkraft ${\displaystyle {\vec {F_{\text{C}}}}}$. Erstere wird von magnetischen Feldern auf bewegte Ladungen ausgeübt, letztere von elektrischen Feldern auf bewegte oder unbewegte Ladungen.

Die neuere Literatur fasst beide Kräfte meist als magnetische Komponente ${\displaystyle {\vec {F_{\text{B}}}}}$ und elektrische Komponente ${\displaystyle {\vec {F_{\text{E}}}}}$ der Gesamtkraft ${\displaystyle {\vec {F_{\text{B}}}}+{\vec {F_{\text{E}}}}}$, der Lorentzkraft im weiteren Sinne, auf.

Geschichte

Die Form des Induktionsgesetzes in On physical lines of force (1861) oder Eine dynamische Theorie des elektromagnetischen Feldes (1864) von James Clerk Maxwell enthält aus heutiger Sicht einen Anteil, der als Vorläufer der Lorentzkraft betrachtet werden kann. Die eigentliche Behandlung der auf bewegte Punktladungen in Magnetfeldern wirkenden Kräfte erfolgte erst 1881 durch J. J. Thomson. Bei ihm tritt noch ein fehlerhafter Vorfaktor ½ auf. Die korrekte Form der Lorentzkraft leiteten Oliver Heaviside (1889) und Hendrik Antoon Lorentz (1895) ab.

Allgemeine Definition

Bewegt sich eine elektrische Ladung ${\displaystyle q}$ mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$ durch ein elektromagnetisches Feld, ist die insgesamt auf die Ladung wirkende Lorentzkraft im weiteren Sinne:

${\displaystyle {\vec {F}}={\vec {F_{\text{E}}}}+{\vec {F_{\text{B}}}}=q{\vec {E}}+q{\vec {v}}\times {\vec {B}}}$

${\displaystyle {\vec {F_{\text{E}}}}}$ und ${\displaystyle {\vec {F_{\text{B}}}}}$ sind dabei die elektrische und magnetische Komponente der Lorentzkraft im weiteren Sinne, ${\displaystyle {\vec {E}}}$ die elektrische Feldstärke, ${\displaystyle {\vec {B}}}$ die magnetische Flussdichte und das Zeichen ${\displaystyle \times }$ das des Vektor- oder Kreuzprodukts der beteiligten Vektoren.

Der resultierende Vektor eines Kreuzprodukts steht stets senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren, und das Skalarprodukt orthogonaler Vektoren ist gleich 0. Daraus ergibt sich für den Fall eines nicht vorhandenen äußeren elektrischen Felds (${\displaystyle E=0}$):

• Bei der Ablenkung eines Teilchens der Ladung ${\displaystyle q}$ im räumlich und zeitlich konstanten Magnetfeld wird im Gegensatz zur Ablenkung im elektrischen Feld keinerlei Arbeit verrichtet, die kinetische Energie und damit die Bahngeschwindigkeit bleiben also unverändert, denn

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} W_{\text{kin}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {m}{2}}\,{\frac {\mathrm {d} ({\vec {v}}^{2})}{\mathrm {d} t}}=m{\vec {v}}\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {v}}\cdot \left(m{\vec {a}}\right)={\vec {v}}\cdot {\vec {F}}=q\,{\vec {v}}\cdot {\bigl (}{\vec {v}}\times {\vec {B}}{\bigr )}=0}$.

Dies gilt auch für relativistische Teilchen. Tatsächlich jedoch emittieren die Teilchen wegen ihrer Ablenkung Bremsstrahlung und geben dadurch Energie ab.

• Verlaufen die Vektoren ${\displaystyle {\vec {v}}}$ und ${\displaystyle {\vec {B}}}$ parallel oder antiparallel zueinander, wird ${\displaystyle {\vec {F}}}$ gleich 0. Bewegt sich eine Ladung ${\displaystyle q}$ in Feldlinienrichtung eines Magnetfelds oder genau entgegengerichtet, findet also keinerlei Ablenkung statt.

Betrachtet man dagegen, wie in älteren Physik-Lehrbüchern üblich, als Lorentzkraft im engeren Sinne allein die magnetische Komponente der obigen Gesamtkraft ${\displaystyle {\vec {F}}}$, gilt für ihre Berechnung entsprechend die Formel:

${\displaystyle {\vec {F}}_{\text{L}}=q{\vec {v}}\times {\vec {B}}}$

Die in solchem Fall ebenfalls separat betrachtete elektrische Komponente der Lorentzkraft im weiteren Sinne wird dann als Coulombkraft bezeichnet und wie folgt berechnet:

${\displaystyle {\vec {F}}_{\text{C}}=q{\vec {E}}}$

Die Formelzeichen ${\displaystyle {\vec {F_{\text{B}}}}}$ und ${\displaystyle {\vec {F_{\text{L}}}}}$ bzw. ${\displaystyle {\vec {F_{\text{E}}}}}$ und ${\displaystyle {\vec {F_{\text{C}}}}}$ bezeichnen dabei jeweils einander Entsprechendes, wobei man der Klarheit der Schreibweise wegen nach Möglichkeit die eine oder die andere Konvention beibehalten sollte.

Lorentzkraft auf bewegte Punktladungen

Als bewegte Punktladungen werden kleine freie Ladungen wie etwa Elektronen, Protonen oder andere geladene Elementarteilchen sowie Alphateilchen und andere Ionen betrachtet, die sich frei im Raum, z. B. im Vakuum oder in einer Salzlösung, bewegen können.

Da die Richtung der Lorentzkraft vom Vorzeichen der Ladung ${\displaystyle q}$ abhängt, werden entgegengesetzt geladene Punktladungen gleicher Bewegungsrichtung in entgegengesetzte Richtungen abgelenkt. Bewegen sich die entgegengesetzt geladenen Punktladungen dagegen außerdem (z. B. in einer Salzlösung, an die man eine elektrische Spannung gelegt hat) in entgegengesetzte Richtungen, ist die Richtung ihrer magnetischen Ablenkung wieder dieselbe (siehe nebenstehende Abbildungen).

Der Betrag der Lorentzkraft ergibt sich dabei aus

${\displaystyle |{\vec {v}}\times {\vec {B}}|=|{\vec {v}}|\,|{\vec {B}}|\,\sin \alpha }$

zu

${\displaystyle |{\vec {F}}_{\text{L}}|=|q|\,|{\vec {v}}|\,|{\vec {B}}|\,\sin \alpha }$

mit ${\displaystyle \alpha }$ als dem Winkel zwischen der Bewegungsrichtung von q und der Richtung des Magnetfelds bzw. seiner Flussdichte ${\displaystyle {\vec {B}}}$.

Bewegt sich die Punktladung genau senkrecht zum Magnetfeld, gilt ${\displaystyle \sin \alpha =1}$, also:

${\displaystyle |{\vec {F}}_{\text{L}}|=|q|\,|{\vec {v}}|\,|{\vec {B}}|}$

• Magnetische Ablenkung der Ionen versetzt eine stromdurchflossene Salzlösung in Rotation.
• Der Geschwindigkeits­filter nach Wien beruht auf Kräftegleichgewicht zwischen Lorentzkraft und Coulombkraft.

Lorentzkraft am stromdurchflossenen Leiter

Die Lorentzkraft ist das zentrale Bindeglied zwischen Elektrizität und Mechanik. Fließt Strom durch einen Leiter, der quer oder schräg zu den Feldlinien eines ihn umgebenden Magnetfelds liegt, dann lässt sich eine Kraftwirkung auf den Leiter feststellen. Die Auslenkung im Leiterschaukelversuch oder die Messungen beim Stromwaagen-Experiment verdeutlichen dies. Die Kraftwirkung leitet sich dabei aus der auf eine bewegte Punktladung wirkenden Lorentzkraft her; diese wirkt auf die einzelnen Ladungsträger im Leiter.

Um die genannten Vorgänge rechnerisch zu erfassen, werde der Einfachheit halber zunächst ein gerades Stück Draht der gerichteten Länge ${\displaystyle {\vec {\ell }}}$ betrachtet, das in einem zeitlich konstanten homogenen äußeren Magnetfeld der Flussdichte ${\displaystyle B}$ liegt. Durch den Draht fließe ein ebenfalls zeitlich konstanter Strom der Stärke ${\displaystyle I}$, sodass seine Leitungselektronen sich mit der gleichbleibenden Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$ durch den Draht bewegen und dabei in der Laufzeit ${\displaystyle t}$ die Gesamtladung

${\displaystyle q=I\,t}$

mit der Geschwindigkeit

${\displaystyle {\vec {v}}={\frac {\vec {\ell }}{t}}}$

transportieren. Wegen ${\displaystyle q\,{\vec {v}}=I\,{\vec {\ell }}}$ ist damit die Summe der Lorentzkräfte auf alle am Stromfluss beteiligten Leitungselektronen und damit auf das Drahtstück als Ganzes

${\displaystyle {\vec {F_{\text{L}}}}=q\,({\vec {v}}\times {\vec {B}})=I\,({\vec {\ell }}\times {\vec {B}}).}$

Die zugehörige Betragsgleichung lautet dann

${\displaystyle |{\vec {F}}_{\text{L}}|=|I|\,|{\vec {\ell }}|\,|{\vec {B}}|\,\sin \alpha }$

mit ${\displaystyle \alpha }$ als dem Winkel zwischen der Längsrichtung des Drahtes und der Richtung der magnetischen Flussdichte ${\displaystyle {\vec {B}}}$.

Verläuft der Draht genau senkrecht zum Magnetfeld, ist ${\displaystyle \sin \alpha =1}$ und die Gleichung vereinfacht sich zu

${\displaystyle |{\vec {F}}_{\text{L}}|=|I|\,|{\vec {\ell }}|\,|{\vec {B}}|.}$

Für gekrümmte Leiter muss die Kraftwirkung durch Integration berechnet werden, indem das Magnetfeld nur für infinitesimal kleine Stücke ${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\vec {\ell }}}}$ des Leiters als konstant angesehen wird. Damit ergibt sich folgende Formel:

${\displaystyle {\vec {F_{\text{L}}}}=I\int \mathrm {d} {\boldsymbol {\vec {\ell }}}\times {\vec {B}}}$

Elektromagnetische Induktion

Des Weiteren erklärt die Lorentzkraft die Umwandlung mechanischer Bewegung in elektrische Spannung. Dabei ergibt sich mittels der Lorentzkraft eine alternative Herleitung der elektromagnetischen Induktion statt über die Flussänderung.

Der Einfachheit halber sei wieder ein gerades Stück Draht der Länge ${\displaystyle l}$ betrachtet, das nun mit der konstanten Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$ quer durch ein senkrecht zu ihm verlaufendes zeitlich konstantes homogenes äußeres Magnetfeld der Flussdichte ${\displaystyle B}$ geschoben werde, also so, dass die Längsrichtung des Drahtes dabei außerdem senkrecht auf ${\displaystyle {\vec {v}}}$ steht.

Wie weiter oben erläutert, halten sich in diesem Fall zwei Kräfte die Waage, zum einen die Lorentzkraft ${\displaystyle {\vec {F_{\text{L}}}}}$, die die Leitungselektronen des Drahtes in Richtung eines seiner beiden Enden verschiebt, zum anderen die auf die Leitungselektronen wirkende Coulombkraft ${\displaystyle {\vec {F_{\text{C}}}}}$ aufgrund der durch die Ladungstrennung zwischen beiden Leiterenden induzierten elektrischen Spannung:

${\displaystyle {\vec {F}}_{\text{L}}+{\vec {F}}_{\text{C}}=0\Leftrightarrow {\vec {F}}_{\text{C}}=-{\vec {F}}_{\text{L}}\Leftrightarrow q\,{\vec {E}}=-q\,({\vec {v}}\times {\vec {B}})}$

Herauskürzen der, wie zu sehen, hier gänzlich unerheblichen Gesamtladung ${\displaystyle q}$ und skalare Multiplikation mit dem Vektor der gerichteten Leiterlänge ${\displaystyle {\vec {\ell }}}$ liefert schlussendlich die Gleichung für die gesuchte Induktionsspannung ${\displaystyle U_{\text{ind}}}$:

${\displaystyle U_{\mathrm {ind} }={\vec {\ell }}\cdot {\vec {E}}=-{\vec {\ell }}\cdot ({\vec {v}}\times {\vec {B}})=({\vec {\ell }}\times {\vec {B}})\cdot {\vec {v}}}$

Sind die drei Vektoren, wie eingangs verlangt, paarweise senkrecht zueinander, vereinfacht sich das Spatprodukt l·(v×B), sodass sich die bekannte Formel

${\displaystyle U_{\text{ind}}=-|{\vec {\ell }}|\,|{\vec {v}}|\,|{\vec {B}}|}$

ergibt (siehe dazu auch den Artikel Leiterschaukel).

Lenzsche Regel

Überbrückt man nun beide Enden des bewegten Leiters mit einem ohmschen Widerstand der Größe R, der dagegen nicht gegenüber dem Magnetfeld bewegt wird, entsteht eine geschlossene Leiterschleife, über die sich die Induktionsspannung ausgleichen kann, sodass diese und das Produkt ${\displaystyle I_{\text{ind}}\cdot R}$ also gemäß der Kirchhoffschen Maschenregel die Summe 0 liefern:

${\displaystyle U_{\mathrm {ind} }+I_{\text{ind}}\cdot R=0\ \Leftrightarrow \ {I_{\text{ind}}}={\frac {-U_{\text{ind}}}{R}}={\frac {{\vec {\ell }}\cdot ({\vec {v}}\times {\vec {B}})}{R}}={\frac {-({\vec {\ell }}\times {\vec {B}})\cdot {\vec {v}}}{R}}}$

Der durch den geschlossenen Stromkreis fließende Strom erzeugt nun eine weitere Lorentzkraft F_L2, die der ursprünglichen Bewegungsrichtung entgegenwirkt:

${\displaystyle F_{\text{L2}}={I_{\text{ind}}}\cdot {\vec {\ell }}\times {\vec {B}}=-{\frac {{\ell }^{2}\cdot B^{2}}{R}}\cdot {\vec {v}}}$

Ist der Widerstand R der Leiterschleife dabei unendlich groß, z. B. der Stromkreis offen, ist keine Gegenkraft F_L2 zu spüren – wird R dagegen, z. B. in Supraleitern, unendlich klein, verhindert sie damit praktisch jegliche Bewegung.

Die Lorentzkraft erklärt somit nicht nur die Ladungstrennung, mit der die Induktionsspannung entsteht, sondern das Zustandekommen der Gegenkraft als Essenz der Lenzschen Regel.

In gleicher Weise erzeugen Generatoren Spannung und lassen Ströme fließen, wodurch sie mechanische in elektrische Energie umformen, während beim Elektromotor umgekehrt Spannung und Strom so gerichtet sind, dass elektrische Energie aufgenommen und als verrichtete mechanische Arbeit wieder abgegeben wird.

Wirkungsprinzip

Die Lorentzkraft ergibt sich in der lagrangeschen Formulierung der Bewegung eines geladenen Teilchens der Ladung ${\displaystyle q}$ und der Masse ${\displaystyle m}$ aus der Lagrangefunktion

${\displaystyle {\mathcal {L}}({\vec {x}},{\vec {v}},t)=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\vec {v}}^{2}}{c^{2}}}}}+q\,{\vec {v}}\cdot {\vec {A}}-q\,\Phi }$.

Hierbei sind ${\displaystyle \Phi ({\vec {x}},t)}$ und ${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {x}},t)}$ das skalare Potential und das Vektorpotential, die zu der elektrischen Feldstärke

${\displaystyle {\vec {E}}=-\nabla \Phi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}}$

und der magnetischen Flussdichte

${\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}}$

gehören.

Das Prinzip der stationären Wirkung führt auf die Euler-Lagrange-Gleichungen

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\nabla _{\vec {v}}{\mathcal {L}}-\nabla _{\vec {x}}{\mathcal {L}}=0}$.

Die Auswertung der in den Nabla-Operatoren vorkommenden partiellen Ableitungen liefert:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m\,{\vec {v}}}{\sqrt {1-{\frac {{\vec {v}}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\,{\vec {A}}\right)-q\,\nabla \left({\vec {v}}\cdot {\vec {A}}\right)+q\,\nabla \Phi =0}$

Dabei ist der erste Term in den runden Klammern der (kinetische) Impuls (während der gesamte Ausdruck in den ersten runden Klammern den generalisierten Impuls beschreibt) eines sich mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$ bewegenden Teilchens:

${\displaystyle {\vec {p}}={\frac {m\,{\vec {v}}}{\sqrt {1-{\frac {{\vec {v}}^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Die totale zeitliche Ableitung des Vektorpotentials, das explizit von der Zeit und von allen Ortskoordinaten abhängig ist, lautet unter Benutzung der Vektorrelation ${\displaystyle {\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {A}})=\nabla ({\vec {v}}\cdot {\vec {A}})-({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {A}}}$:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {A}}=\sum _{i}{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial x_{i}}}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}=({\vec {v}}\cdot \nabla )\mathbf {A} +{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}=-{\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {A}})+\nabla ({\vec {v}}\cdot {\vec {A}})+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}}$

Eingesetzt ergibt sich:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}-\underbrace {q\,{\vec {v}}\times \left(\nabla \times {\vec {A}}\right)} _{q\,{\vec {v}}\times {\vec {B}}}+\underbrace {q\,\nabla \Phi +q\,{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}} _{-q\,{\vec {E}}}=0}$

Somit erhält man die Bewegungsgleichung in Abhängigkeit von E und B:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {F}}=q\,({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})}$

Beispiele

Einzelnachweise

1. ↑ Dieter Meschede: Gerthsen Physik. 23. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-25421-8. 
2. ↑ Thomson: On the electric and magnetic effect produced by the motion of electrified bodies, Philosophical Magazine, Band 11, 1881, S. 229–249
3. ↑ Heaviside: On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a Dielectric, Philosophical Magazine, 1889, S. 324
4. ↑ Lorentz: Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern, 1895
5. ↑ Darrigol: Electrodynamics from Ampère to Einstein, Oxford UP, 2000, S. 429ff
6. ↑ Klassische Elektrodynamik. Vorlesung an der Universität Heidelberg, abgerufen am 18. Dezember 2016.
7. ↑ Vladimir Dyakonov: Einführung in die Physik II für Studierende der Naturwissenschaften und Zahnheilkunde, Sommersemester 2007. (Memento vom 19. Dezember 2013 im Internet Archive) Abschnitt Erinnerung: Rotierender Elektrolyt. (PDF; 317 kB).
8. ↑ Der deutschsprachige Ausdruck „Ampèresches Kraftgesetz“ kommt in der aktuellen Literatur und Lehre vor, siehe z. B. Dietmar Petrascheck, Franz Schwabl: Elektrodynamik. (Springer, 2. Auflage, 2014) oder Das Ampere’sche Gesetz. (Skript auf der Website der Humboldt-Universität zu Berlin), allerdings vergleichsweise selten, denn eine Google-Suche nach dem Begriff ergab z. B. nur 58 Treffer. Das englische Pendant „Ampère’s force law“ dagegen ist viel gebräuchlicher, der Ausdruck liefert über 2000 Treffer und hat einen eigenen (englischen) Wikipedia-Artikel. Jeweils abgerufen am 19. Mai 2016.
9. ↑ Paul A. Tipler, Gene Mosca: Physik für Wissenschaftler und Ingenieure. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 2004, ISBN 3-8274-1164-5, S. 907 ff. 
10. ↑ Grüninger, Landesbildungsserver: Die lenzsche Regel. (Nicht mehr online verfügbar.) 2011, archiviert vom Original am 19. Dezember 2013; abgerufen am 18. Dezember 2013.  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.schule-bw.de 

Siehe auch

• Induktionsgesetz
• Reluktanzkraft

Weblinks

• Java-Applet zum Experimentieren mit der Lorentzkraft
• Ein weiteres Modell, bei dem ${\displaystyle q,\,v}$ und ${\displaystyle B}$ variiert werden können
• Versuche und Aufgaben zur Lorentzkraft (LEIFI)
• MIT-News-Artikel über Lorentzkraft-Injektor