Vierergeschwindigkeit

Der Vierervektor ${\displaystyle u^{\mu }}$ der Geschwindigkeit ergibt sich durch Differentiation des Ortsvektors ${\displaystyle x^{\mu }}$ nach der Eigenzeit ${\displaystyle d\tau }$:

${\displaystyle u^{\mu }={\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}}$

mit der Eigenzeit ${\displaystyle \tau }$, die über die Zeitdilatation mit der Koordinatenzeit ${\displaystyle t}$ verknüpft ist:

${\displaystyle \mathrm {d} \tau ={\frac {1}{\gamma }}\,\mathrm {d} t,}$

mit dem Lorentzfaktor ${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\dfrac {\mathbf {v} }{c}}\right)^{2}}}}.}$

Daraus folgt für die Vierergeschwindigkeit:

${\displaystyle u^{\mu }=\gamma \ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(c\ t,\ x,\ y,\ z)=\gamma \ \left(c,\ {\dot {x}},\ {\dot {y}},\ {\dot {z}}\right)=\gamma \ (c,\ \mathbf {v} )}$

Die Norm der Vierergeschwindigkeit ergibt sich sowohl in der speziellen als auch in der allgemeinen Relativitätstheorie zu

${\displaystyle |u^{\mu }|={\sqrt {u^{\mu }\ u^{\nu }\ \eta _{\mu \nu }}}={\sqrt {u_{\mu }\ u^{\mu }}}={\sqrt {\gamma ^{2}\ (c^{2}\ -\ \mathbf {v} ^{2})}}=c}$ .

Viererimpuls

Der Viererimpuls wird analog zum klassischen Impuls definiert als

${\displaystyle p^{\mu }\ =\ m\ u^{\mu }=(\gamma \ m\ c,\ \gamma \ m\ \mathbf {v} ),}$

wobei ${\displaystyle m}$ die Masse des Körpers ist. Im Vergleich mit der Newtonschen Mechanik wird die Kombination ${\displaystyle \gamma m}$ zuweilen als „dynamisch zunehmende Masse“ interpretiert und ${\displaystyle m}$ als „Ruhemasse“ bezeichnet, was allerdings leicht zu falschen Schlussfolgerungen durch eine hier unangemessene klassische Betrachtungsweise führen kann. Im konsequenten Viererkalkül ohne Bezug auf die nicht-relativistische Physik ist nur die koordinatenunabhängige Masse ${\displaystyle m}$ von praktischer Bedeutung.

Mit der Äquivalenz von Masse und Energie ${\displaystyle E\ =\ \gamma \ m\ c^{2}}$ kann der Viererimpuls geschrieben werden als

${\displaystyle p^{\mu }\ =\ \left(E/c,\ \mathbf {p} \right)}$

mit dem relativistischen räumlichen Impuls ${\displaystyle \mathbf {p} \ =\ \gamma \ m\ \mathbf {v} }$, der sich vom klassischen Impulsvektor um den Lorentzfaktor ${\displaystyle \gamma }$ unterscheidet.

Da der Viererimpuls die Energie und den räumlichen Impuls vereinigt, wird er auch als Energie-Impuls-Vektor bezeichnet.

Aus dem Quadrat der Norm des Viererimpulses ${\displaystyle p_{\mu }\ p^{\mu }}$ ergibt sich die Energie-Impuls-Beziehung

${\displaystyle E^{2}\ -\ \mathbf {p} ^{2}\ c^{2}\ =\ m^{2}\ c^{4},}$

aus der eine zeit- und ortsunabhängige Hamilton-Funktion für freie, relativistische Teilchen abgeleitet werden kann.

Viererbeschleunigung

Durch nochmaliges Ableiten der Vierergeschwindigkeit ${\displaystyle u^{\mu }\ =\ {\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}}$ nach ${\displaystyle \tau }$ erhält man die Viererbeschleunigung.

Die 0-te Komponente der Viererbeschleunigung bestimmt sich zu

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u^{0}}{\mathrm {d} \tau }}\ =\ c\ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}\ \gamma \ =\ c\ {\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}\ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\gamma \ =\ c\ \gamma \ \cdot \ {\frac {\gamma ^{3}}{c^{2}}}\ \left(\mathbf {v} \ \cdot \ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right)\ =\ {\frac {\gamma ^{4}}{c}}\ \left(\mathbf {v} \ \cdot \ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right).}$

Die räumlichen Komponenten der Viererbeschleunigung lauten

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u^{j}}{\mathrm {d} \tau }}\ =\ {\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}\ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\gamma \ \mathbf {v} \right)\ =\ \gamma \ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\gamma \ \mathbf {v} \right)\ =\ {\frac {\gamma ^{4}}{c^{2}}}\ \left(\mathbf {v} \ \cdot \ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right)\ \cdot \ \mathbf {v} \ +\ \gamma ^{2}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}.}$

Insgesamt erhält man für die Viererbeschleunigung das Ergebnis

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}\ =\ {\frac {\gamma ^{4}}{c^{2}}}\ \mathbf {v} \ \cdot \ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\ (c,\ \mathbf {v} )\ +\ \gamma ^{2}\ \left(0,\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right).}$

Die Viererbeschleunigung besteht aus einem Teil mit Faktor ${\displaystyle {\frac {\gamma ^{4}}{c^{2}}}}$ und einem Teil mit ${\displaystyle \gamma ^{2}}$. Man erhält also für Beschleunigungen parallele und orthogonal zu ${\displaystyle \mathbf {v} }$ unterschiedliche Viererbeschleunigungen. Mit der Graßmann-Identität

${\displaystyle \mathbf {v} \ \times \ \left(\mathbf {v} \ \times \ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right)\ =\ \mathbf {v} \ \left(\mathbf {v} \ \cdot \ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right)\ -\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\ \left(\mathbf {v} \ \cdot \ \mathbf {v} \right)}$

kann man den Ausdruck für den räumlichen Teil des Vierervektors umformen. Man findet, dass

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\ +\ {\frac {1}{c^{2}}}\ \left(\mathbf {v} \ \times \ \left(\mathbf {v} \ \times \ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right)\right)\ =\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\ \left(1\ -\ {\frac {\mathbf {v} ^{2}}{c^{2}}}\right)\ +\ {\frac {1}{c^{2}}}\ \mathbf {v} \ \left(\mathbf {v} \ \cdot \ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right)\ =\ {\frac {1}{\gamma ^{2}}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\ +\ {\frac {1}{c^{2}}}\ \mathbf {v} \ \left(\mathbf {v} \ \cdot \ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right)}$

ist. Es folgt

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u^{j}}{\mathrm {d} \tau }}\ =\ \gamma ^{4}\ \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\ +\ {\frac {1}{c^{2}}}\ \left(\mathbf {v} \ \times \ \left(\mathbf {v} \ \times \ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right)\right)\right).}$

und somit insgesamt

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}\ =\ \gamma ^{4}\ \left({\frac {1}{c}}\ \mathbf {v} \ \cdot \ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}},\ \ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\ +\ {\frac {1}{c^{2}}}\ \left(\mathbf {v} \ \times \ \left(\mathbf {v} \ \times \ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right)\right)\right)}$

Viererkraft und Bewegungsgleichung

Wie bereits beim Viererimpuls kann eine Viererkraft, auch Minkowskikraft genannt, analog zur entsprechenden newtonschen Kraft definiert werden:

${\displaystyle K^{\mu }={\frac {\mathrm {d} p^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}=\gamma {\frac {\mathrm {d} p^{\mu }}{\mathrm {d} t}}}$

Dies ist die Bewegungsgleichung der speziellen Relativitätstheorie. Sie beschreibt beschleunigte Bewegungen in einem Inertialsystem.

Weiter kann die Viererkraft mit der newtonschen Kraft ${\displaystyle \mathbf {F} }$ in Beziehung gesetzt werden: In dem Inertialsystem, in dem die Masse annähernd ruht (sie ruhe zum Zeitpunkt ${\displaystyle t=0}$, dann gilt für genügend kleines ${\displaystyle t}$ wegen der beschränkten Beschleunigung:${\displaystyle v\ll c}$), muss die klassische Newtonsche Gleichung gelten:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\\mathbf {F} \end{pmatrix}}={\frac {\mathrm {d} p^{\mu }}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{\gamma }}{\frac {\mathrm {d} p^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}\Rightarrow \mathbf {F} ={\frac {1}{\gamma }}K^{i}\Leftrightarrow K^{i}=\gamma \,\mathbf {F} }$

mit dem räumlichen Teil ${\displaystyle K^{i}=(K^{1},K^{2},K^{3})}$ der Viererkraft.

In einem beliebigen Inertialsystem gilt

${\displaystyle {\begin{pmatrix}K^{0}\\K^{1}\\K^{2}\\K^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{c}}\mathbf {u} \mathbf {F} \\\mathbf {F} _{\perp \mathbf {u} }+\gamma \mathbf {F} _{\|\mathbf {u} }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{c}}\mathbf {u} \mathbf {F} \\\left(\mathbf {F} -{\frac {\mathbf {u} \mathbf {F} }{u}}{\frac {\mathbf {u} }{u}}\right)+\gamma {\frac {\mathbf {u} \mathbf {F} }{u}}{\frac {\mathbf {u} }{u}}\end{pmatrix}}}$,

wobei ${\displaystyle \mathbf {u} =\gamma \mathbf {v} }$ der räumliche Anteil der Vierergeschwindigkeit ist. Das heißt, der Raumanteil der Minkowskikraft ist die Newtonsche Kraft, wobei der zur Geschwindigkeit parallele Anteil mit ${\displaystyle \gamma }$ multipliziert ist.

Die durch die Beschleunigung mit ${\displaystyle K^{\mu }}$ übertragene Leistung ist ${\displaystyle cK^{0}}$.

In dem Spezialfall, dass eine Newton’sche Kraft ${\displaystyle \mathbf {F} }$ allein parallel zur Geschwindigkeit wirkt, folgt aus der Bewegungsgleichung für Vierervektoren der Zusammenhang zwischen Newton’scher Kraft und räumlicher Beschleunigung:

${\displaystyle \mathbf {F} =\gamma ^{3}m\mathbf {a} }$

Für räumliche Kräfte senkrecht zur Bewegungsrichtung folgt hingegen

${\displaystyle \mathbf {F} =\gamma m\mathbf {a} }$.

Der bei Impulsbetrachtungen zuweilen eingeführte Begriff einer „dynamischen“ relativistischen Masse für den Term ${\displaystyle \gamma m}$ ist daher im Vergleich mit der Newton’schen Bewegungsgleichung missverständlich. Denn für beliebige Raumrichtungen ist der Zusammenhang zwischen den räumlichen Größen ${\displaystyle \mathbf {F} }$ und ${\displaystyle \mathbf {a} }$ zwar linear, aber keine einfache Proportionalität.