Darstellung

In der Achsenabschnittsform wird eine Gerade in der Ebene durch zwei reelle Zahlen ${\displaystyle x_{0}}$ und ${\displaystyle y_{0}}$ folgendermaßen über eine lineare Gleichung beschrieben. Eine Gerade besteht dann aus denjenigen Punkten, deren Koordinaten ${\displaystyle (x,y)}$ die Gleichung

${\displaystyle {\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}=1}$

erfüllen. Hierbei sind ${\displaystyle (x_{0},0)}$ und ${\displaystyle (0,y_{0})}$ die Schnittpunkte der Gerade mit den beiden Koordinatenachsen, die auch als Spurpunkte bezeichnet werden. Wird die Gleichung nach ${\displaystyle y}$ aufgelöst, ergibt sich

${\displaystyle y=-{\frac {y_{0}}{x_{0}}}\cdot x+y_{0}}$,

wobei das Verhältnis ${\displaystyle -y_{0}/x_{0}}$ der Steigung der Geraden entspricht. Verläuft die Gerade parallel zu einer der Koordinatenachsen, dann fällt der jeweilige Spurpunkt und damit auch der entsprechende Term in der Achsenabschnittsform weg. Die Achsenabschnittsform ist nicht definiert, wenn die Gerade durch den Koordinatenursprung verläuft.

Beispiel

Ein Beispiel für eine Geradengleichung in Achsenabschnittsform ist

${\displaystyle {\frac {x}{6}}+{\frac {y}{3}}=1}$

Jede Wahl von ${\displaystyle (x,y)}$, die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise ${\displaystyle (2,2)}$ oder ${\displaystyle (4,1)}$, entspricht genau einem Geradenpunkt. Die beiden Spurpunkte der Geraden sind ${\displaystyle (6,0)}$ und ${\displaystyle (0,3)}$ und ihre Steigung ist ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}}$.

Berechnung

Aus der Koordinatenform einer Geradengleichung mit den Parametern ${\displaystyle a,b}$ und ${\displaystyle c}$ lassen sich die Parameter der Achsenabschnittsform mittels Division durch ${\displaystyle c}$ direkt angeben:

${\displaystyle x_{0}={\frac {c}{a}},~y_{0}={\frac {c}{b}}}$.

Aus den weiteren Formen von Geradengleichungen, der Normalenform, der Hesseschen Normalform, der Parameterform und der Zweipunkteform, wird zunächst die zugehörige Koordinatenform der Gerade ermittelt (siehe Berechnung der Koordinatenform) und daraus dann die Achsenabschnittsform.

Darstellung

Analog wird eine Ebene im dreidimensionalen Raum in der Achsenabschnittsform durch drei reelle Zahlen ${\displaystyle x_{0}}$, ${\displaystyle y_{0}}$ und ${\displaystyle z_{0}}$ beschrieben. Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten, deren Koordinaten ${\displaystyle (x,y,z)}$ die Gleichung

${\displaystyle {\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}+{\frac {z}{z_{0}}}=1}$

erfüllen. Hierbei sind ${\displaystyle (x_{0},0,0)}$, ${\displaystyle (0,y_{0},0)}$ und ${\displaystyle (0,0,z_{0})}$ die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen. Diese Achsenabschnitte werden wiederum Spurpunkte genannt, ihre Verbindungsstrecken liegen im Allgemeinfall auf den Spurgeraden und bilden das Spurdreieck. Liegt die Ebene parallel zu einer oder zwei Koordinatenachsen, dann fallen die jeweiligen Spurpunkte und damit auch die entsprechenden Terme in der Achsenabschnittsform weg. Die Achsenabschnittsform ist nicht definiert, wenn die Ebene den Koordinatenursprung enthält.

Beispiel

Ein Beispiel für eine Ebenengleichung in Achsenabschnittsform ist

${\displaystyle {\frac {x}{2}}+{\frac {y}{3}}-z=1}$

Jede Wahl von ${\displaystyle (x,y,z)}$, die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise ${\displaystyle (4,0,1)}$ oder ${\displaystyle (4,3,2)}$, entspricht genau einem Ebenenpunkt. Die drei Spurpunkte der Ebene sind ${\displaystyle (2,0,0)}$, ${\displaystyle (0,3,0)}$ und ${\displaystyle (0,0,-1)}$.

Berechnung

Aus der Koordinatenform einer Ebenengleichung mit den Parametern ${\displaystyle a,b,c}$ und ${\displaystyle d}$ lassen sich die Parameter der Achsenabschnittsform mittels Division direkt angeben:

${\displaystyle x_{0}={\frac {d}{a}},~y_{0}={\frac {d}{b}},~z_{0}={\frac {d}{c}}}$.

Hat eine Ebene keinen Achsenabschnitt, da sie parallel zu einer Achse liegt, führt diese Rechnung zu einer Division durch Null.

Aus den weiteren Formen von Ebenengleichungen, der Normalenform, der Hesseschen Normalform, der Parameterform und der Dreipunkteform, wird zunächst die zugehörige Koordinatenform der Ebene ermittelt (siehe Berechnung der Koordinatenform) und daraus dann die Achsenabschnittsform.