Konsistenz

Sei ${\displaystyle y(x)}$ eine beliebige, in einer Umgebung eines Punktes ${\displaystyle x}$ definierte und einmal stetig differenzierbare Funktion. Diese erfülle die triviale Differentialgleichung ${\displaystyle y'(x)=f(x,y)=y(x)}$. Für diese kann der Fehler erster Ordnung des Mehrschrittverfahrens als

${\displaystyle T_{h}(x)={\frac {1}{h}}\sum _{j=0}^{m}a_{j}\,y(x-j\,h)-\sum _{j=0}^{m}b_{j}\,y'(x-jh)}$

bestimmt werden. Man definiert dann:

Ein lineares Mehrschrittverfahren heißt konsistent, falls

${\displaystyle \lim _{h\to 0}|T_{h}(x)|=0}$

für beliebige Wahlen von ${\displaystyle x}$ und der Funktion ${\displaystyle y}$. Es heißt konsistent der Ordnung ${\displaystyle p}$, falls in Landau-Notation

${\displaystyle |T_{h}(x)|=O(h^{p})}$

gilt, das heißt ${\displaystyle h^{-p}\,|T_{h}(x)|}$ immer nach oben beschränkt ist.

Man prüft dies unter Zuhilfenahme der Taylor-Entwicklung. So ist für eine ${\displaystyle p}$-fach differenzierbare Differentialgleichung die Lösung ${\displaystyle p+1}$ mal differenzierbar und es gilt

${\displaystyle y(x_{k+j})=y(x_{k}+j\,h)=y(x_{k})+jh\,y'(x_{k})+{\frac {(jh)^{2}}{2}}y''(x_{k})+\dots +{\frac {(jh)^{p}}{p!}}\,y^{(p)}(x_{k})+O(h^{p+1})}$

wobei ${\displaystyle y^{(l)}(x_{k})}$ die ${\displaystyle l}$-te Ableitung an der Stelle ${\displaystyle x_{k}}$ bezeichnet. Dies führt man für alle im linearen Mehrschrittverfahren auftretenden Terme durch und setzt dies in ${\displaystyle T_{h}(x_{k})}$ ein. Es ist ausreichend, dies für die Exponentialfunktion und ihre Differentialgleichung zu untersuchen.

Stabilität

Man definiert zwei sogenannte assoziierte Polynome ${\displaystyle \rho ,\sigma }$

${\displaystyle \rho (\lambda )=\sum _{i=0}^{m}a_{i}\,\lambda ^{m-i}}$

${\displaystyle \sigma (\lambda )=\sum _{i=0}^{m}b_{i}\,\lambda ^{m-i}\,.}$

Ein lineares Mehrschrittverfahren wird durch diese beiden Polynome vollständig charakterisiert, so dass man anstelle von obiger Schreibweise des linearen Mehrschrittverfahrens auch von einem „LMV (${\displaystyle \rho ,\sigma }$)“ spricht.

Sei ${\displaystyle \lambda _{0}}$ eine Nullstelle von ${\displaystyle \rho }$. Ein LMV (${\displaystyle \rho ,\sigma }$) ist nullstabil, wenn für jede Nullstelle ${\displaystyle \lambda _{0}}$ gilt:

• sie liegt entweder im Innern des Einheitskreises, ${\displaystyle |\lambda _{0}|<1}$ oder
• auf dem Rand des Einheitskreises, ${\displaystyle |\lambda _{0}|=1}$, wobei sie dann eine einfache Nullstelle sein muss. Ein allgemeinerer Fall wird im Artikel Stabilitätsfunktion diskutiert.

Bezüglich der A-Stabilität gilt die Zweite Dahlquist-Barriere, dass ein A-stabiles lineares Mehrschrittverfahren nicht mehr als Ordnung zwei haben kann.

Explizite Verfahren

Ein explizites Verfahren bedeutet in diesem Zusammenhang, dass zur Berechnung der Näherungswerte nur Werte herangezogen werden, die zeitlich vor dem zu Berechnenden liegen. Das wohl bekannteste explizite lineare Mehrschrittverfahren ist die ${\displaystyle (s+1)}$-Schritt-Adams-Bashforth-Methode (nach John Couch Adams und Francis Bashforth). Diese hat die Form:

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{j=0}^{s}b_{j}\,f(t_{n-j},y_{n-j})}$

mit

${\displaystyle b_{j}={(-1)^{j} \over j!(s-j)!}\int _{0}^{1}\prod _{i=0,i\neq j}^{s}(u+i)\,\mathrm {d} u,\quad j=0,\ldots ,s.}$

z. B.:

${\displaystyle s=1}$

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\left({3 \over 2}f(t_{n},y_{n})-{1 \over 2}f(t_{n-1},y_{n-1})\right)}$

${\displaystyle s=2}$

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\left({23 \over 12}f(t_{n},y_{n})-{16 \over 12}f(t_{n-1},y_{n-1})+{5 \over 12}f(t_{n-2},y_{n-2})\right)}$

usw.

Implizite Verfahren

Bei impliziten Verfahren wird zur Berechnung auch der zu berechnende Wert selbst benutzt. Im Beispiel taucht so auf beiden Seiten der Gleichung ${\displaystyle y_{n+1}}$ auf. Eine bekannte Klasse von impliziten Mehrschrittverfahren sind die Adams-Moulton-Verfahren (nach Forest Ray Moulton und John Couch Adams). Diese haben die Form:

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{j=-1}^{s-1}b_{j}f(t_{n-j},y_{n-j}),\quad 0\leq s\leq n}$

mit

${\displaystyle b_{j}={(-1)^{j+1} \over (j+1)!(s-j-1)!}\int _{0}^{1}\prod _{i=-1,i\neq j}^{s-1}(u+i)\,\mathrm {d} u,\quad j=-1,0,\ldots ,s-1}$

z. B.:

${\displaystyle s=2}$

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\left({1 \over 12}{\Big (}5f(t_{n+1},y_{n+1})+8f(t_{n},y_{n})-f(t_{n-1},y_{n-1}){\Big )}\right)}$

Darüber hinaus sind insbesondere die BDF-Verfahren für steife Anfangswertprobleme im Einsatz, da diese bessere Stabilitätseigenschaften haben. BDF-2 ist A-stabil, die weiteren noch ${\displaystyle A(\alpha )}$-stabil, ab BDF-7 allerdings instabil.

Startwerte

Oftmals hat man es in der Praxis mit Problemen der Art

${\displaystyle y'(x)=f\left(x,y(x)\right),\quad y(0)=y_{0}}$

zu tun. Hier fehlt es an Startwerten. Diese werden zunächst durch Einschrittverfahren (z. B. das klassische Runge-Kutta-Verfahren) gewonnen.

Prädiktor-Korrektor-Methode

Mit dem Gedanken, die im Vergleich um 1 höhere Konsistenzordnung der impliziten linearen Mehrschrittverfahren zu nutzen, umgeht man das Lösen der nichtlinearen Gleichungen durch die sog. Prädiktor-Korrektor-Methode. Es wird der in der impliziten Methode benötigte Wert für ${\displaystyle y_{n+1}}$ durch eine explizite Methode berechnet, wonach durch Iteration der Wert für ${\displaystyle y_{n+1}}$ zu verbessern versucht wird. Dazu gibt es verschiedene Verfahren, die geläufigsten sind: