Lagrange-Darstellung

Eine Möglichkeit für die Darstellung des Interpolationspolynoms ${\displaystyle q_{k}}$ ist die Lagrange-Darstellung. Dabei sind die Lagrange-Basispolynome mit den ${\displaystyle k+1}$ Stützstellen ${\displaystyle x_{n},\dots ,x_{n+k}}$ definiert durch

${\displaystyle l_{j}(x_{n+i})=\delta _{ji}={\begin{cases}1&{\text{falls }}j=i,\\0&{\text{falls }}j\neq i.\end{cases}}}$

wobei ${\displaystyle \delta _{ji}}$ das Kronecker-Delta ist. Damit folgt wegen ${\displaystyle q_{k}(x_{n+i})=\sum _{j=0}^{k}l_{j}(x_{n+i})y_{n+j}=y_{n+i}}$ direkt die Darstellung

${\displaystyle q_{k}(x)=\sum _{j=0}^{k}l_{j}(x)y_{n+j}}$.

Mit der Forderung ${\displaystyle q_{k}'(x_{n+k})=f(x_{n+k},y_{n+k})}$ erhält man nun die lineare Rekursionsformel für die BDF-Verfahren:

${\displaystyle \sum _{j=0}^{k}\alpha _{j}y_{n+j}=f(x_{n+k},y_{n+k})}$,

wobei die Koeffizienten ${\displaystyle \alpha _{j}}$ gegeben sind durch

${\displaystyle \alpha _{j}=l_{j}'(x_{n+k}),\quad j=0,\dots ,k}$.

Alternative Lagrange-Darstellung

Alternativ betrachten wir die Lagrange-Basispolynome definiert durch

${\displaystyle L_{j}(-s)=\delta _{js}={\begin{cases}1&{\text{falls }}j=s,\\0&{\text{falls }}j\neq s.\end{cases}}}$

Damit folgt die Darstellung

${\displaystyle q_{k}(x_{n+k}+sh)=\sum _{j=0}^{k}L_{k-j}(s)y_{n+j}}$.

Dabei ist ${\displaystyle h=x_{i+1}-x_{i}}$ der Abstand der Stützstellen und die konstante Schrittweite des Verfahrens. Mit der Forderung ${\displaystyle q_{k}'(x_{n+k})=f(x_{n+k},y_{n+k})}$, wobei hier

${\displaystyle q_{k}'(x)={\frac {d}{dx}}q_{k}(x)={\frac {d}{d(sh)}}q_{k}(x_{n+k}+sh)={\frac {1}{h}}{\frac {d}{ds}}q_{k}(x_{n+k}+sh)}$

gilt, erhält man nun für die Berechnung der Koeffizienten ${\displaystyle \alpha _{j}}$

${\displaystyle \alpha _{j}=L_{k-j}'(0),\quad j=0,\dots ,k}$

und damit die Rekursionsformel

${\displaystyle \sum _{j=0}^{k}L_{k-j}'(0)y_{n+j}=hf(x_{n+k},y_{n+k})}$

Newton-Darstellung

Die Newton-Darstellung des Interpolationspolynoms ${\displaystyle q_{k}}$ verwendet Rückwärtsdifferenzen, welche rekursiv definiert sind durch

${\displaystyle \nabla ^{0}y_{i}=y_{i},\quad \nabla ^{j+1}y_{i}=\nabla ^{j}y_{i}-\nabla ^{j}y_{i-1}.}$

Damit lässt sich ${\displaystyle q_{k}}$ schreiben als

${\displaystyle q_{k}\left(x_{n+k}+sh\right)=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {-s}{j}}\nabla ^{j}y_{n+k}}$.

Diese Formel führt wegen ${\displaystyle \left.{\frac {d}{ds}}(-1)^{j}{\binom {-s}{j}}\right|_{s=0}={\frac {1}{j}}}$ für ${\displaystyle j=1,\dots ,k}$ auf die Darstellung

${\displaystyle \sum \limits _{j=1}^{k}{\frac {1}{j}}\nabla ^{j}y_{n+k}=hf(x_{n+k},y_{n+k})}$

der BDF-Verfahren.