Ein Annuitätendarlehen ist ein Tilgungsdarlehen mit konstanten Rückzahlungsbeträgen (Raten). Im Gegensatz zum Ratenkredit bleibt die Höhe der zu zahlenden Rate über die gesamte Laufzeit gleich (sofern eine Zinsbindungsfrist über die gesamte Laufzeit vereinbart wurde). Die Annuitätenrate oder kurz Annuität setzt sich aus einem Zins- und einem Tilgungsanteil zusammen. Da mit jeder Rate ein Teil der Restschuld getilgt wird, verringert sich der Zinsanteil zugunsten des Tilgungsanteils. Am Ende der Laufzeit ist die Kreditschuld vollständig getilgt.

Der Zinssatz wird bei Abschluss eines Annuitätendarlehens über einen vertraglich vereinbarten Zeitraum festgeschrieben. Dieser Zeitraum kann sich auch über die komplette Kreditlaufzeit erstrecken. Die Tilgung sollte im ersten Jahr mindestens 1 Prozent der Kredit(rest)summe betragen. Sie steigt dann mit fortschreitender Ratenzahl bis auf theoretisch 100 % der Kreditrestsumme im letzten Jahr.

Bestimmung der Annuität

Die Höhe ${\displaystyle R}$ der Annuität eines Kredites mit der Kreditsumme ${\displaystyle S_{0}}$ bei einem Zinssatz von ${\displaystyle i}$ (z. B. 3 Prozent ${\displaystyle \Rightarrow i=0{,}03}$) und einer Laufzeit von ${\displaystyle n}$ Jahren lässt sich mittels

${\displaystyle R=S_{0}\cdot {\frac {(1+i)^{n}\cdot i}{(1+i)^{n}-1}}=S_{0}\cdot {\frac {q^{n}\cdot i}{q^{n}-1}}}$

berechnen, wobei ${\displaystyle q=1+i}$ gilt. ${\displaystyle {\frac {q^{n}\cdot i}{q^{n}-1}}}$ heißt dabei Wiedergewinnungs-, beziehungsweise Annuitätenfaktor (${\displaystyle WGF_{n,i}^{n}}$, bzw. ${\displaystyle ANF_{n,i}^{n}}$) und ist gleich dem Kehrwert des Rentenbarwertfaktors.

Die Annuitätenformel in Worten besagt:

${\displaystyle \mathrm {Annuit{\ddot {a}}t} ={\text{Kreditsumme}}\cdot {\frac {(1+{\text{Zinssatz}})^{\text{Laufzeit}}\cdot {\text{Zinssatz}}}{(1+{\text{Zinssatz}})^{\text{Laufzeit}}-1}}}$

Beispiel bei einem Zinssatz von 3 % und einer Laufzeit von 5 Jahren:

${\displaystyle \mathrm {Annuit{\ddot {a}}t} ={\text{Kreditsumme}}\cdot {\frac {1{,}03^{5}\cdot 0{,}03}{1{,}03^{5}-1}}}$

Bestimmung der Laufzeit

Will man die Laufzeit in Abhängigkeit von ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle S_{0}}$ und ${\displaystyle R}$ berechnen, so muss man lediglich die obige Formel für die Annuität nach ${\displaystyle n}$ auflösen. Man erhält hierbei

${\displaystyle n=-{\frac {\ln(1-{\frac {i\cdot S_{0}}{R}})}{\ln(q)}}.}$

Findet die Zahlung der Raten mehrmals im Jahr statt, ergibt sich die leicht veränderte Formel

${\displaystyle n={\frac {\ln(1+{\frac {i}{t}})}{\ln(1+{\frac {i}{m}})}}}$

für die Gesamtzahl der Raten (nicht Jahre). Hierbei entspricht ${\displaystyle m}$ der Anzahl der Raten pro Jahr und ${\displaystyle t}$ ist dabei die sogenannte Anfangstilgung, die die Minderungsrate des Darlehens nach der ersten Ratenzahlung angibt. Sie ergibt sich aus der Formel

${\displaystyle 1-t={\frac {S_{0}(1+i)-R}{S_{0}}}}$,

woraus sich

${\displaystyle t={\frac {R}{S_{0}}}-i}$

ergibt.

Die Berechnungen gelten für einen angenommenen, über die gesamte Laufzeit gleichbleibenden, Zinssatz. Die tatsächliche Laufzeit kann deshalb in der Praxis unter Umständen erheblich von der vorausberechneten abweichen.

Bestimmung der Tilgungsraten

Bei Analyse eines Tilgungsplans lässt sich erkennen, dass die Tilgungsraten ${\displaystyle T_{t}}$ eine geometrische Folge mit dem Zinsfaktor ${\displaystyle q}$ bilden:

${\displaystyle T_{t}=T_{1}\cdot q^{t-1}}$

Somit lassen sich die Tilgungsraten aller Perioden auf die erste Tilgungsrate ${\displaystyle T_{1}}$ zurückführen. Diese lässt sich leicht über zwei alternative Möglichkeiten bestimmen:

Bei bekannter Annuität ${\displaystyle R}$	Bei bekannter Laufzeit ${\displaystyle n}$
Annuität ist als Summe von Tilgungsrate und Zins definiert, daher gilt für die erste Tilgungsrate: ${\displaystyle T_{1}=R-Z_{1},}$ wobei ${\displaystyle Z_{1}=S_{0}\cdot i}$	Die Summe aller Tilgungsraten ${\displaystyle T_{t}}$ über die Laufzeit ${\displaystyle n}$ muss der Kreditsumme ${\displaystyle S_{0}}$ entsprechen, also: ${\displaystyle S_{0}=\sum _{t=1}^{n}T_{t}=\sum _{t=1}^{n}T_{1}\cdot q^{t-1}=T_{1}\sum _{t=1}^{n}q^{t-1}}$ Die Summe lässt sich mit Hilfe der Summenformel für geometrische Reihen in folgenden geschlossenen Ausdruck überführen: ${\displaystyle S_{0}=T_{1}{\frac {q^{n}-1}{q-1}}}$ Nach ${\displaystyle T_{1}}$ aufgelöst, ergibt sich schließlich ${\displaystyle T_{1}=S_{0}\cdot {\frac {q-1}{q^{n}-1}}}$
Nun kann ${\displaystyle T_{1}}$ in der obigen Formel durch den jeweiligen Ausdruck ersetzt werden:
${\displaystyle T_{t}=(R-S_{0}\cdot i)q^{t-1}}$	${\displaystyle T_{t}=S_{0}\cdot {\frac {q-1}{q^{n}-1}}q^{t-1}}$

Weitere Formeln

Die Restschuld ${\displaystyle S_{t}}$ nach ${\displaystyle t}$ Perioden lässt sich berechnen durch

${\displaystyle S_{t}=S_{0}\cdot {\frac {q^{n}-q^{t}}{q^{n}-1}}.}$

Wenn statt der Laufzeit ${\displaystyle n}$ die Annuität ${\displaystyle R}$ bekannt ist, dann lässt sich die Restschuld ${\displaystyle S_{t}}$ nach ${\displaystyle t}$ Perioden berechnen durch:

${\displaystyle S_{t}=S_{0}\cdot q^{t}-R\cdot {\frac {q^{t}-1}{i}}.}$

Die Zinszahlung der ${\displaystyle t}$-ten Periode (${\displaystyle Z_{t}}$) ergibt sich aus der Restschuld am Ende der vorhergehenden Periode multipliziert mit dem Zinssatz ${\displaystyle i}$:

${\displaystyle Z_{t}=S_{t-1}\cdot i=S_{0}\cdot {\frac {q^{n}-q^{t-1}}{q^{n}-1}}\cdot i.}$

Interessant ist auch die Summe der geleisteten Zinszahlungen nach ${\displaystyle t}$ Perioden:

${\displaystyle Z_{cum,t}=\sum _{x=1}^{t}Z_{x}=S_{0}\left(t{\frac {q-1}{q^{n}-1}}q^{n}-{\frac {q^{t}-1}{q^{n}-1}}\right)=t\cdot R-\left(R-S_{0}\cdot i\right)\cdot {\frac {q^{t}-1}{q-1}}.}$

Daraus ergibt sich die Summe der zu leistenden Zinszahlungen bis zur Tilgung des Annuitätendarlehens (${\displaystyle n}$ Perioden):

${\displaystyle Z_{cum,n}=\sum _{x=1}^{n}Z_{x}=S_{0}\left(n{\frac {q-1}{q^{n}-1}}q^{n}-1\right).}$

Die Tilgungsrate in der ${\displaystyle t}$-ten Periode (${\displaystyle T_{t}}$) ist gegeben durch die Differenz zwischen Annuität ${\displaystyle R}$ und Zinszahlung ${\displaystyle Z_{t}}$:

${\displaystyle T_{t}=R-Z_{t}=S_{0}\cdot {\frac {q^{t-1}}{q^{n}-1}}\cdot i.}$

Bei Annuitätentilgung nimmt die Tilgung exponentiell zu.

Annuitätenrechnung der Banken

Bei der Anwendung der oben genannten Formeln stellt man im Vergleich mit Angeboten einer Bank oder mit Online-Annuitätenrechnern häufig Unterschiede fest. In diesem Abschnitt wird beschrieben, wie diese Unterschiede zustande kommen. Um diesen Sachverhalt möglichst anschaulich zu beschreiben, erfolgt eine Beschränkung auf den Fall der monatlichen Ratenzahlung. Alle anderen Fälle wie vierteljährliche oder halbjährliche Ratenzahlungen sind analog zu betrachten. In der folgenden Tabelle sind alle Bezeichnungen der Größen dargestellt, die im Folgenden verwendet werden.

Bezeichnung	Bedeutung	Einheit
${\displaystyle S}$	Kreditsumme	EUR
${\displaystyle R}$	Jährliche Rate	EUR
${\displaystyle i}$	Jährlicher Zins	-
${\displaystyle t}$	Anfangstilgung	-
${\displaystyle n}$	Laufzeit	Jahre
${\displaystyle S_{k}}$	Restschuld nach ${\displaystyle k}$ Monaten	EUR
${\displaystyle r}$	Monatliche Rate	EUR
${\displaystyle i_{\text{M}}}$	Monatlicher Zins	-
${\displaystyle {\widehat {i}}}$	Nominalzins nach Definition der Banken	-
${\displaystyle {\widehat {t}}}$	Anfangstilgung nach Definition der Banken	-
${\displaystyle {\widehat {R}}}$	Jährliche Rate nach Definition der Banken	EUR

Unterjährige Annuitätentilgung

Mit den Formeln der unterjährigen Annuitätentilgung lassen sich auch die Darlehensfälle berechnen, bei denen die Zahlung der Annuität mehrmals jährlich, zum Beispiel monatlich oder vierteljährlich, statt nur einmal am Jahresende stattfindet.

Ist ${\displaystyle m}$ die Anzahl der Zahlungstermine pro Jahr, werden die ${\displaystyle m-1}$ ersten Zahlungen innerhalb des Jahres dabei für gewöhnlich nur als Tilgung betrachtet, enthalten also noch keinen Zinsanteil, der erst der letzten Zahlung zum Jahresende für das gesamte zurückliegende Jahr in Gänze zugeschlagen wird.

Die Höhe der ${\displaystyle m}$-mal jährlich zu zahlenden Einzelannuitäten ${\displaystyle r}$ errechnet sich dabei gemäß den Formeln für die lineare Verzinsung bei unterjährigen Laufzeiten aus der Jahresannuität ${\displaystyle R}$, die sich ihrerseits wie bei der jährlichen Annuitätentilgung als Produkt der Kreditsumme und des Annuitätenfaktors ergibt, also eine stets nachschüssige Jahresrente ist.

Ist ${\displaystyle i}$ der effektive Zinssatz p. a. und ${\displaystyle n}$ die Gesamtlaufzeit des Darlehens in Jahren, beträgt ${\displaystyle r}$ damit bei vorschüssiger Ratenzahlung

${\displaystyle r={\frac {R}{m+{\frac {i}{2}}\cdot (m+1)}}=S_{0}\cdot {\frac {(1+i)^{n}\cdot i}{(1+i)^{n}-1}}\ /\ (m+{\frac {i}{2}}\cdot (m+1))}$.

Bei nachschüssiger Ratenzahlung hingegen gilt:

${\displaystyle r={\frac {R}{m+{\frac {i}{2}}\cdot (m-1)}}=S_{0}\cdot {\frac {(1+i)^{n}\cdot i}{(1+i)^{n}-1}}\ /\ (m+{\frac {i}{2}}\cdot (m-1))}$

Soll daraus, was für den Vergleich verschiedener Kreditangebote von Interesse sein kann, der vom Kreditgeber zugrundegelegte Zinsfaktor ${\displaystyle q}$ bestimmt werden, ergibt dieser sich für eine nachschüssige Zahlung der Raten ${\displaystyle r}$ nach Umstellung der letztgenannten Formel als die maximale der Lösungen nachstehenden Polynoms (das als triviale Lösung auch stets den Wert ${\displaystyle q=1}$ besitzt):

${\displaystyle \left(S_{0}-r\cdot {\frac {m-1}{2}}\right)\cdot q^{n+1}-\left(S_{0}+r\cdot {\frac {m+1}{2}}\right)\cdot q^{n}+r\cdot {\frac {m-1}{2}}\cdot q+r\cdot {\frac {m+1}{2}}=0}$.

Prozentannuitäten-Tilgung

Eine Sonderform der Annuitäten-Tilgung ist die sogen. Prozentannuität, bei der die Höhe der ersten Tilgungsrate nicht über die Differenz zwischen Annuität und Sollzinsen, sondern – von letzteren unabhängig – als fixer Prozentsatz des Darlehensbetrages definiert wird.

Anwendungsgebiete

Privatdarlehen von Banken werden oft als Annuitätendarlehen vergeben, da die gleich bleibende Rate eine gute Kalkulationsgrundlage für den Kunden bietet.

Das Annuitätendarlehen ist eine Form der Immobilienfinanzierung. In Deutschland wird der Zinssatz üblicherweise für fünf, zehn oder fünfzehn Jahre festgeschrieben. Danach kann der Vertrag gekündigt werden bzw. ein neuer Zinssatz für die Weiterführung des Vertrages muss verhandelt werden.

Alternativ kann auch ein variabler Zinssatz vereinbart werden, der in regelmäßigen Abständen aktualisiert wird, etwa in Abhängigkeit vom EURIBOR oder einem anderen Index. Eine weitere Option ist es, die Annuitäten durch gleich bleibende Monatsraten zu ersetzen, bei denen jeweils ein Zwölftel des nominalen Jahreszinssatzes zu zahlen ist. Diese Kombination (monatliche Tilgung bei gleich bleibenden Raten, die jedoch jährlich von Zinsänderungen betroffen werden können) ist etwa in Spanien die üblichste Form.

Siehe auch Hypothek und Grundschuld.

Vergleich mit anderen Darlehensarten

Tilgungspläne für die drei gängigsten Darlehensarten: Kapital: 100.000 Euro, Zinssatz: 3,00 % p. a., Laufzeit: 5 Jahre, Zins und Tilgung jährlich nachschüssig

Einzelnachweise

1. ↑ Bernd Luderer, Uwe Würker; Einstieg in die Wirtschaftsmathematik; 9. Auflage, Springer-Verlag, 2014; S. 112–113.
2. ↑ Manfred Precht, Karl Voit, Roland Kraft; Mathematik 2 für Nichtmathematiker; Oldenbourg Verlag, 2005, S. 114.