Die Apéry-Konstante ist eine mathematische Konstante, die als Wert der Reihe

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}={\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\dotsb }$

definiert ist. Das ist der Wert ${\displaystyle \zeta (3)}$ der riemannschen ζ-Funktion an der Stelle 3.

Grundlegendes

Ein Näherungswert ist

${\displaystyle \zeta (3)=1{,}20205{\text{ }}69031{\text{ }}59594{\text{ }}28539{\text{ }}97381{\text{ }}61511{\text{ }}44999{\text{ }}07649{\text{ }}86292{\text{ }}34049{\text{ }}\dotso }$ (Folge A002117 in OEIS).

Derzeit (Stand August 2020) sind 1.200.000.000.100 dezimale Nachkommastellen bekannt, ihre Berechnung wurde von Seungmin Kim am 26. Juli 2020 vollendet.

Die Konstante wurde schon 1735 von Euler betrachtet. Sie ist nach Roger Apéry benannt, der 1979 bewies, dass sie irrational ist. Ob sie auch transzendent ist, ist bisher nicht bekannt, auch nicht, ob sie normal ist oder ob ${\displaystyle \zeta (3)/\pi ^{3}}$ irrational ist (mit Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$). Über die Werte der Zetafunktion bei weiteren ungeraden natürlichen Zahlen weiß man – im Gegensatz zu den Werten bei geraden Zahlen – wenig: Es müssen unendlich viele der Zahlen ${\displaystyle \zeta (2n+1),\,n=1,2,3,\dotsc }$ irrational sein, dabei mindestens eine von ${\displaystyle \zeta (5),\zeta (7),\zeta (9)}$ und ${\displaystyle \zeta (11)}$.

Für das Irrationalitätsmaß ${\displaystyle \operatorname {r} (\zeta )=\inf R}$, wobei ${\displaystyle R}$ die Menge der positiven reellen Zahlen ${\displaystyle \rho }$ ist, für die höchstens endlich viele Paare positiver ganzer Zahlen ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ mit ${\displaystyle \textstyle 0<{\mathopen {|}}\zeta -{\frac {p}{q}}{\mathclose {|}}<{\frac {1}{q^{\rho }}}}$ existieren, sind die Schranken ${\displaystyle 2\leq r(\zeta (3))<5{,}513891}$ bekannt, insbesondere ist ${\displaystyle \zeta (3)}$ nicht liouvillesch.

Der Kehrwert ${\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta (3)}}=0{,}83190\,73725\,80707\,46868\dotso }$ (Folge A088453 in OEIS) ist die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass drei ganze Zahlen teilerfremd sind, und ebenso die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass eine ganze Zahl kubikfrei (nicht durch eine Kubikzahl größer 1 teilbar) ist. Dies sind Spezialfälle davon, dass ${\displaystyle n}$ ganze Zahlen mit asymptotischer Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta (nk)}}}$ keine ${\displaystyle k}$-te Potenz größer 1 als gemeinsamen Teiler haben.

Reihendarstellungen

Apéry verwendete die Formel

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{3}{\binom {2n}{n}}}}.}$

Ein bereits Euler bekanntes Resultat ist

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{2}}}}$

mit den harmonischen Zahlen ${\displaystyle H_{n}}$. Zahlreiche verwandte Formeln wie

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{ij(i+j)}}}$

führen ebenfalls zur Apéry-Konstante. Aus ${\displaystyle \zeta (z)/2^{z}=\lambda (z)/(2^{z}-1)=\eta (z)/(2^{z}-2)}$ mit der dirichletschen λ- und η-Funktion erhält man

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {8}{7}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{3}}}={\frac {4}{3}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{3}}}.}$

Eine schnell konvergierende Reihe stammt von Tewodros Amdeberhan und Doron Zeilberger (1997):

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{24}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {A(n)\cdot (2n+1)!^{3}\cdot (2n)!^{3}\cdot n!^{3}}{(3n+2)!\cdot (4n+3)!^{3}}}}$

mit ${\displaystyle A(n)=126392n^{5}+412708n^{4}+531578n^{3}+336367n^{2}+104000n+12463}$.

Nach Matyáš Lerch (1900):

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {7\pi ^{3}}{180}}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}}$

Simon Plouffe entwickelte diesen Ausdruck weiter:

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{3}}{28}}+{\frac {16}{7}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{\pi n}+1)}}-{\frac {2}{7}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}+1)}}}$

${\displaystyle \zeta (3)=28\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{\pi n}-1)}}-37\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}+7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{4\pi n}-1)}}}$

Weitere Darstellungen

Literatur

• Frits Beukers: A note on the irrationality of ${\displaystyle \zeta (2)}$ and ${\displaystyle \zeta (3)}$. Bulletin of the London Mathematical Society 11, Oktober 1979, S. 268–272 (englisch).
• Alfred van der Poorten: A proof that Euler missed … Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3). An informal report. The Mathematical Intelligencer 1, Dezember 1979, S. 195–203 (englisch: Alf’s reprints. Paper 45, PDF; 205 kB).
• Steven R. Finch: Apéry’s constant. Kapitel 1.6 in Mathematical constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 40–53 (englisch).

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Apéry’s Constant. In: MathWorld (englisch).
• Folge A013631 in OEIS (Kettenbruchentwicklung von ζ(3))
• Folge A053980 in OEIS (Engel-Entwicklung von ζ(3))

Einzelnachweise

1. ↑ Records set by y-cruncher. Abgerufen am 12. August 2019. 
2. ↑ Leonhard Euler: Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali. 13. Oktober 1735, Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 8, 1741, S. 9–22 (lateinisch; „1,202056903159594“ auf S. 21).
3. ↑ Roger Apéry: Irrationalité de ${\displaystyle \zeta (2)}$ et ${\displaystyle \zeta (3)}$. Astérisque 61, 1979, S. 11–13 (französisch).
4. ↑ David H. Bailey, Richard E. Crandall: Random Generators and Normal Numbers. (Memento vom 13. Oktober 2003 im Internet Archive). (PDF; 399 kB), Experimental Mathematics 11, 2002, S. 527–546 (englisch).
5. ↑ Finch: Apéry’s constant. 2003, S. 41 (englisch).
6. ↑ Tanguy Rivoal: La Fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs. Comptes rendus de l’Académie des sciences Série I 331, 2000, S. 267–270 (französisch; arxiv:math/0008051v1).
7. ↑ W. W. Zudilin: One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational. Russian Mathematical Surveys 56, 2001, S. 774–776 (englisch).
8. ↑ Georges Rhin, Carlo Viola: The group structure for ζ(3). Acta Arithmetica 97, 2001, S. 269–293 (englisch).
9. ↑ M. Beeler, R. W. Gosper, R. Schroeppel: HAKMEM. MIT AI Memo 239, 29. Februar 1972 (englisch), ITEM 53 (Salamin).
10. ↑ Walther Janous: Around Apéry’s constant. Journal of inequalities in pure and applied mathematics 7, 2006, Artikel 35 (englisch).
11. ↑ Tewodros Amdeberhan, Doron Zeilberger: Hypergeometric series acceleration via the WZ method. (Memento vom 30. April 2011 im Internet Archive). The Electronic Journal of Combinatorics 4(2), 1997 (englisch). arxiv:math/9804121v1
12. ↑ The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places. Im Project Gutenberg (englisch).
13. ↑ Matyáš Lerch: Sur la fonction ζ(s) pour les valeurs impaires de l’argument. Jornal de sciencias mathematicas e astronomicas 14, 1900, S. 65–69 (französisch; Jahrbuch-Zusammenfassung).
14. ↑ Simon Plouffe: Identities inspired by Ramanujan Notebooks (part 2). April 2006 (englisch).
15. ↑ Leonhard Euler: Variae observationes circa series infinitas. 25. April 1737, Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 9, 1744, S. 160–188 (lateinisch; Euler-Produkt als „Theorema 8“ auf S. 174 f.).
16. ↑ Abramowitz-Stegun: Riemann Zeta Function and Other Sums of Reciprocal Powers. S. 807, Formel 23.2.17.