Integraldarstellung nach dem Abel-Plana-Muster

Gültig für alle ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ sind neben der genannten Abel-Plana-Definitionsformel auch diese beiden Formeln, welche aus den Abel-Plana-Formeln für die Zetafunktion und für die Etafunktion hervorgehen:

${\displaystyle \lambda (s)={\frac {1}{2}}{\bigl (}1-2^{-s}{\bigr )}{\biggl \{}{\frac {s+1}{s-1}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {4\sin[s\arctan(x)]}{(x^{2}+1)^{s/2}{\bigl [}\exp(2\pi x)-1{\bigr ]}}}\,\mathrm {d} x{\biggr \}}}$

${\displaystyle \lambda (s)={\frac {2^{s}-1}{2^{s}-2}}{\biggl \{}{\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[s\arctan(x)]}{(x^{2}+1)^{s/2}\sinh(\pi x)}}\,\mathrm {d} x{\biggr \}}}$

Beide Formeln wurden durch den Mathematiker Niels Henrik Abel entdeckt und in seinem Werk Solution de quelques problèmes à l’aide d’intégrales définies ausführlich behandelt. Diese beiden Formeln stellen zwei Spezialfälle der generellen Abel-Plana-Summenformel dar. Die erste Formel resultiert direkt aus der von den Mathematikern Borwein, Bradley und Crandall behandelten Formel für die riemannsche Zetafunktion, welche sie in ihrem Werk Computational strategies for the Riemann zeta function untersuchten. Die zweite Formel entsteht durch Mellin-Transformation der alternierenden Differenzdarstellung für die dirichletsche Etafunktion nach dem Muster der Abel-Plana-Formel.

Integraldarstellung nach dem Muster von Euler

Als Mellin-Transformation vom Kosekans Hyperbolicus können weitere Integraldarstellungen hervorgebracht werden.

Eine wichtige Darstellung kann basierend auf der Eulerschen Integraldarstellung der Gammafunktion beziehungsweise der Fakultät aus der Vorgängerfunktion gebildet werden:

${\displaystyle \Gamma (s)=\int \limits _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{s-1}\mathrm {d} x}$

Mit dem Kosekans Hyperbolicus führt das zu folgender Darstellung:

${\displaystyle \lambda (s)={\frac {s}{2\,\Gamma (s+1)}}\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\operatorname {csch} (x)\,\mathrm {d} x}$

Außerdem gilt dieses Doppelintegral über die Potenzen des natürlichen Logarithmus:

${\displaystyle \lambda (s)={\frac {(2^{s}-1)}{(2^{s}-2)\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{1+xy}}\ln {\bigl (}{\frac {1}{xy}}{\bigr )}^{s-2}\;\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$

Reihendarstellung

Eine in ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$ konvergente Reihe ergibt sich mit Hilfe der Eulerschen Reihentransformation:

${\displaystyle \lambda (s)={\frac {2^{s}-1}{2^{s}-2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{\frac {1}{(k+1)^{s}}}}$

Produktdarstellung

Für alle ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ konvergiert das hadamardsches Produkt der Lambdafunktion, welches nach seinem Entdecker Jacques Hadamard benannt wird:

${\displaystyle \lambda (s)={\frac {1-2^{-s}}{2(s-1)\,\Gamma (1+s/2)}}\exp {\bigl \{}{\bigl [}\ln(2\pi )-1-\gamma /2{\bigr ]}s{\bigr \}}\prod _{\rho }^{\infty }{\biggl (}1-{\frac {s}{\rho }}{\biggr )}\exp {\bigl (}{\frac {s}{\rho }}{\bigr )}}$

Es erstreckt sich über alle nicht-trivialen Nullstellen ${\displaystyle \rho }$ der ${\displaystyle \eta }$-Funktion und leitet sich einfach aus dem Hadamard-Produkt der Zeta-Funktion ab.

Lambdafunktionswerte von negativen ganzen Zahlen

Es gilt:

${\displaystyle \lambda (0)=0}$

${\displaystyle \lambda (-1)={\frac {1}{12}}}$

${\displaystyle \lambda (-2)=0}$

${\displaystyle \lambda (-3)=-\,{\frac {7}{120}}}$

Für natürliche ${\displaystyle k}$ gilt mit den Bernoulli-Zahlen ${\displaystyle B_{k}}$ dieser Ausdruck:

${\displaystyle \lambda (1-k)={\frac {2^{k-1}-1}{k}}B_{k}}$

Basler Problem

Der Wert λ(2) ergibt π²/8 und steht mit dem Basler Problem im Zusammenhang.

Mit dem Satz von Fubini kann dieser Wert auf folgende zwei Weisen bewiesen werden:

Erster Lösungsweg:

${\displaystyle \lambda (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {1}{(2n-1)}}{x}^{2n-2}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)}}{x}^{2n-2}\,\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\operatorname {artanh} (x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {y}{\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {y}{\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(y)}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,\mathrm {d} y={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$

Zweiter Lösungsweg:

${\displaystyle \lambda (2)={\frac {s}{2\,\Gamma (s+1)}}\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\operatorname {csch} (x)\,\mathrm {d} x(s=2)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }x\operatorname {csch} (x)\,\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {\cosh(x)}{(1-y^{2})\sinh(x)^{2}+1}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cosh(x)}{(1-y^{2})\sinh(x)^{2}+1}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}{\frac {\pi }{2{\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$

Lambdafunktion und Bernoulli-Zahlen

Für gerade Argumente ${\displaystyle 2n=2,4,6,8,\dots }$ gilt die allgemeine Formel:

${\displaystyle \lambda (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {4^{n}-1}{2(2n)!}}B_{2n}\pi ^{2n}}$

Somit lässt sich der Zahlenwert von ${\displaystyle \eta (2n)}$ stets in der Form

${\displaystyle \lambda (2n)={\frac {p_{n}}{q_{n}}}\pi ^{2n}}$

schreiben, wobei ${\displaystyle p_{n}}$ und ${\displaystyle q_{n}}$ zwei positive ganze Zahlen bezeichnen.

2n	pn	qn	${\displaystyle \eta (2n)}$
2	1	8	1.2337005501361698273543…
4	1	96	1.014678031604192054546…
6	1	960	1.001447076640942121906…
8	17	161280	1.0001551790252961193…
10	31	2903040	1.000017041363044825488…
12	691	638668800	1.0000018858485831195759…

Die ersten Werte für ungerade Argumente sind

${\displaystyle \lambda (1)=+\infty }$

${\displaystyle \lambda (3)={\frac {7}{8}}\,\zeta (3)}$

${\displaystyle \lambda (5)={\frac {31}{32}}\,\zeta (5)}$

${\displaystyle \lambda (7)={\frac {127}{128}}\,\zeta (7)}$

Ableitungsidentität mit der Zeta-Ableitung

Die Ableitung der ${\displaystyle \eta }$-Funktion kann für ${\displaystyle \operatorname {Re} s>0}$ wieder als dirichletsche Reihe dargestellt werden:

${\displaystyle \lambda '(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-\ln(2n-1)}{(2n-1)^{s}}}}$

Ein geschlossener Ausdruck für alle komplexen Zahlen ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ kann über die Ableitung der riemannschen Zetafunktion oder diejenige der dirichletschen Etafunktion ausgedrückt werden:

${\displaystyle \lambda '(s)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}(1-2^{-s})\,\zeta (s)=2^{-s}\ln(2)\,\zeta (s)+(1-2^{-s})\,\zeta '(s)}$

${\displaystyle \lambda '(s)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\frac {2^{s}-1}{2^{s}-2}}\,\eta (s)=-\,{\frac {2^{s}\ln(2)}{(2^{s}-2)^{2}}}\,\eta (s)+{\frac {2^{s}-1}{2^{s}-2}}\,\eta '(s)}$

Diese Formel kann unter Anwendung der Produktregel gewonnen werden.

Ableitungsidentitäten mit der Abel-Plana-Formel

Eine zu dieser Formel äquivalente und somit ebenso geschlossen für alle komplexen Zahlen ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ gültige Formel kann erneut mit der Mellin-Transformation beziehungsweise als Derivat der Abel-Plana-Summenformel hervorgebracht werden:

${\displaystyle \lambda '(s)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\biggl \{}{\frac {s}{2s-2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[s\arctan(x)]}{(x^{2}+1)^{s/2}[\exp(\pi x)-1]}}\,\mathrm {d} x{\biggr \}}}$

${\displaystyle \lambda '(s)=-\,{\frac {1}{2(s-1)^{2}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(x)\cos[s\arctan(x)]-\ln(x^{2}+1)\sin[s\arctan(x)]}{2(x^{2}+1)^{s/2}[\exp(\pi x)-1]}}\,\mathrm {d} x}$

Diese Formeln entstehen nach dem Muster, welches von Niels Henrik Abel in seinem genannten Werk beschrieben wurde.

Rechenbeispiele für die Ableitung

Rechenbeispiel für s = 0:

${\displaystyle \lambda '(0)=-\,{\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(x)}{\exp(\pi x)-1}}\,\mathrm {d} x=-\,{\frac {1}{2}}\ln(2)\approx -0{,}346573590279972654708616}$

Rechenbeispiel für s = 2:

${\displaystyle \lambda '(2)=-\,{\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {(1-x^{2})\arctan(x)-x\ln(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{2}[\exp(\pi x)-1]}}\,\mathrm {d} x=-{\tfrac {1}{24}}\pi ^{2}{\bigl [}36\ln(A)-\ln(16\pi ^{3})-3\,\gamma {\bigr ]}\approx -0{,}4181158380761696259082856}$

Dabei wird mit dem Buchstaben A die Glaisher-Kinkelin-Konstante ausgedrückt.

Die Integralformel für ${\displaystyle \lambda '(0)}$ kann mit Hilfe der Definition des Logarithmus Naturalis aus der Gammafunktion nach den britischen Mathematikern Edmund Taylor Whittaker und George Neville Watson hergeleitet werden:

${\displaystyle \ln {\bigl [}\Gamma (x){\bigr ]}={\bigl (}x-{\frac {1}{2}}{\bigr )}\ln(x)-x+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )+2x\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(y)}{\exp(2\pi xy)-1}}\,\mathrm {d} y}$

Ableitungsidentität mit der Digammafunktion

Eine weitere Formel für ${\displaystyle s>-1}$ kann mit Hilfe der Digammafunktion hergeleitet werden.

Es gilt folgende Ableitung für die Gammafunktion:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\Gamma (s+1)=\Gamma (s+1)\,\psi (s+1)}$

Und es gilt dann:

${\displaystyle \lambda '(s)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\biggl [}{\frac {s}{2\,\Gamma (s+1)}}\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\operatorname {csch} (x)\,\mathrm {d} x{\biggr ]}}$

${\displaystyle \lambda '(s)={\frac {1}{2\,\Gamma (s+1)}}\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\operatorname {csch} (x)[s\ln(x)-s\,\psi (s+1)+1]\,\mathrm {d} x}$

Beziehungen der Funktionen

Die Beziehungen von ${\displaystyle \lambda }$ zu der dirichletsche Etafunktion und der riemannschen Zetafunktion werden durch folgende Formel zum Ausdruck gebracht:

${\displaystyle {\frac {\lambda (v)}{2^{v}-1}}={\frac {\eta (v)}{2^{v}-2}}={\frac {\zeta (v)}{2^{v}}}}$

Deswegen gilt auch:

${\displaystyle \zeta (v)+\eta (v)=2\lambda (v).}$

Die dirichletsche Lambdafunktion ist ein Spezialfall der legendreschen Chifunktion, denn es gilt:

${\displaystyle \lambda (x)=\chi _{x}(1)}$

Damit ist sie auch ein Spezialfall der Lerchschen Zeta-Funktion:

${\displaystyle \lambda (s)=2^{-s}\Phi {\bigl (}1,s,{\frac {1}{2}}{\bigr )}}$

Erzeugungsalgorithmus

Zur Ermittlung der dirichletschen Lambdafunktionswerte und Etafunktionswerte von geraden Zahlen dienen auch folgende zwei Formeln:

${\displaystyle \lambda (2n+2)={\frac {1}{n}}\sum _{m=1}^{n}\eta (2m)\lambda (2n+2-2m)}$

${\displaystyle \eta (v)={\frac {2^{v}-2}{2^{v}-1}}\,\lambda (v)}$

Auf diese Weise können kaskadenartig die dirichletschen Lambdafunktionswerte hervorgebracht werden:

Tabelle über den Verlauf der Erzeugung

Summe für die Ermittlung des Lambda-Wertes	Formel für den Eta-Wert
${\displaystyle \lambda (2)={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$	${\displaystyle \eta (2)={\frac {2}{3}}\,\lambda (2)={\frac {\pi ^{2}}{12}}}$
${\displaystyle \lambda (4)=\eta (2)\lambda (2)={\frac {\pi ^{2}}{12}}\,{\frac {\pi ^{2}}{8}}={\frac {\pi ^{4}}{96}}}$	${\displaystyle \eta (4)={\frac {14}{15}}\,\lambda (4)={\frac {7\pi ^{4}}{720}}}$
${\displaystyle \lambda (6)={\frac {1}{2}}{\bigl [}\eta (2)\lambda (4)+\eta (4)\lambda (2){\bigr ]}={\frac {1}{2}}{\bigl (}{\frac {\pi ^{2}}{12}}\,{\frac {\pi ^{4}}{96}}+{\frac {7\pi ^{4}}{720}}{\frac {\pi ^{2}}{8}}{\bigr )}={\frac {\pi ^{6}}{960}}}$	${\displaystyle \eta (6)={\frac {62}{63}}\,\lambda (6)={\frac {31\pi ^{6}}{30240}}}$
${\displaystyle \lambda (8)={\frac {1}{3}}{\bigl [}\eta (2)\lambda (6)+\eta (4)\lambda (4)+\eta (6)\lambda (2){\bigr ]}={\frac {1}{3}}{\bigl (}{\frac {\pi ^{2}}{12}}\,{\frac {\pi ^{6}}{960}}+{\frac {7\pi ^{4}}{720}}{\frac {\pi ^{4}}{96}}+{\frac {31\pi ^{6}}{30240}}{\frac {\pi ^{2}}{8}}{\bigr )}={\frac {17\pi ^{8}}{161280}}}$	${\displaystyle \eta (8)={\frac {254}{255}}\,\lambda (8)={\frac {127\pi ^{8}}{1209600}}}$

Nach dem gezeigten Zick-Zack-Muster werden die Werte von dirichletscher Etafunktion und dirichletscher Lambdafunktion bei geraden Zahlen effizient erzeugt.

Reihen mit den dirichletschen Funktionen

Diese Summe mit der dirichletschen Lambdafunktion hat diesen Wert:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\lambda (2n)}{2n}}-{\frac {\lambda (2n+1)}{2n+1}}{\biggr ]}={\frac {1}{2}}\,\gamma +{\frac {1}{2}}\ln {\bigl (}{\frac {4}{\pi }}{\bigr )}}$

Denn folgende Summe mit der dirichletschen Etafunktion ergibt folgenden Wert:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\eta (2n)}{2n}}-{\frac {\eta (2n+1)}{2n+1}}{\biggr ]}=\ln {\bigl (}{\frac {4}{\pi }}{\bigr )}}$

Die analoge Formel mit der riemannschen Zetafunktion bringt die Euler-Mascheroni-Konstante hervor:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\zeta (2n)}{2n}}-{\frac {\zeta (2n+1)}{2n+1}}{\biggr ]}=\gamma }$

Die oberste Formel geht direkt durch arithmetische Mittelung der beiden darunter stehenden Formeln hervor.