Die Beziehung zur harmonischen Reihe

Die Digammafunktion, welche meist als ψ₀(x), ψ⁰(x) oder ${\displaystyle \digamma }$ (nach der Form des vorklassischen griechischen Buchstaben Ϝ digamma) dargestellt wird, steht für ganzzahlige Werte mit der harmonischen Reihe in folgender Beziehung:

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma }$

wobei H_n das n-te Element der harmonischen Reihe und γ die Euler-Mascheroni-Konstante ist. Für halbzahlige Werte kann sie geschrieben werden als:

${\displaystyle \psi \left(n+{\frac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}.}$

Integral-Darstellung

Die Digammafunktion kann wie folgt als Integral dargestellt werden:

${\displaystyle \psi (x)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-xt}}{1-e^{-t}}}\right)\,\mathrm {d} t}$

Für alle positiven x-Werte gilt diese Formel:

${\displaystyle \psi (x)=\ln(x)-{\frac {1}{2x}}-\int _{0}^{\infty }{\frac {2y}{(y^{2}+1)[\exp(2\pi xy)-1]}}\mathrm {d} y}$

Diese Formel resultiert aus der Abel-Plana-Summenformel und geht durch die Mellin-Transformation hervor.

Dies kann auch geschrieben werden als:

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{s}}{1-x}}\,\mathrm {d} x}$

Dies folgt aus der Formel für das Euler-Integral für die harmonische Reihe.

Taylor-Reihe

Durch Reihenentwicklung der Taylor-Reihe um den Punkt z=1 kann die Digammafunktion wie folgt dargestellt werden:

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }\zeta (k+1)\;(-z)^{k}.}$

Sie konvergiert für |z|<1. Dabei ist ${\displaystyle \zeta (n)}$ die Riemannsche ζ-Funktion. Die Reihe kann leicht von der zugehörigen Taylor-Reihe für die Hurwitzsche ζ-Funktion hergeleitet werden.

Binomische Reihe

Die binomische Reihe für die Digammafunktion folgt aus dem Euler-Integral

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{s \choose k},}$

wobei ${\displaystyle {\tbinom {s}{k}}}$ der verallgemeinerte Binomialkoeffizient ist.

Funktionalgleichung

Die Digammafunktion genügt folgender Funktionalgleichung, welche direkt aus der logarithmischen Ableitung der Gammafunktion hergeleitet werden kann:

${\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot {\left(\pi x\right)}.}$

Hiermit kann allerdings nicht ψ(1/2) berechnet werden; dieser Wert ist unten angegeben.

Rekursionsformel und Summenausdrücke

Die Digamma-Funktion genügt der Rekursionsformel

${\displaystyle \psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}.}$

oder

${\displaystyle \Delta [\psi ](x)={\frac {1}{x}},}$

wobei Δ der rechtsseitige Differenzoperator ist. Dies erfüllt die Rekursionsbeziehung der harmonischen Reihe. Daraus folgt

${\displaystyle \psi (n)\ =\ H_{n-1}-\gamma .}$

Allgemeiner gilt:

${\displaystyle \psi (x)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{x+k-1}}\right).}$

Aus der Gaußschen Produktdarstellung der Gammafunktion lässt sich äquivalent dazu

${\displaystyle \psi (x)=\lim \limits _{n\to \infty }\left(\ln n-\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {1}{x+k}}\right)}$.

schlussfolgern.

Quotientenbeziehung zur Gammafunktion

Für den Quotienten aus Digammafunktion und Gammafunktion liefert die Produktdarstellung den Ausdruck

${\displaystyle {\frac {\psi (x)}{\Gamma (x)}}=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {\ln n\prod \limits _{k=0}^{n}(x+k)-\sum \limits _{j=0}^{n}\prod \limits _{k=0 \atop k\neq j}^{n}(x+k)}{n!\,n^{x}}}}$.

Bei positiven ganzen Zahlen ${\displaystyle m\geq 0}$, bei deren negativen Werten sowohl Digamma- als auch Gammafunktion divergieren, folgt dann

${\displaystyle {\frac {\psi (-m)}{\Gamma (-m)}}=-\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {\prod \limits _{k=0 \atop k\neq m}^{n}(k-m)}{n!\,n^{-m}}}=(-1)^{m-1}m!\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {n^{m}}{\prod \limits _{k=n-m+1}^{n}k}}=(-1)^{m-1}m!}$.

Mit Hilfe der Funktionalgleichung für die Gammafunktion findet man sogar heraus, dass der Wert des Quotienten ausschließlich vom Argument der Gammafunktion abhängt, also gilt für ganzzahlige ${\displaystyle m,n\geq 0}$ schließlich

${\displaystyle {\frac {\psi (-m)}{\Gamma (-n)}}=(-1)^{n-1}n!}$.

Liste der Werte

Die Digamma-Funktion hat unter anderem folgende besondere Werte:

${\displaystyle \psi \,(1)=-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{2}}\right)=-2\ln 2-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{3}}\right)=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln 3-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{4}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln 2-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{6}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {3}}-2\ln 2-{\frac {3}{2}}\ln 3-\gamma }$

Beweis für den Wert ψ(1)

Nach der oben abgebildeten Formel gilt:

${\displaystyle \psi (1)=-\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\exp(x)-1}}-{\frac {1}{x\exp(x)}}\mathrm {d} x}$

Dieses Integral lässt sich so umformen:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\exp(x)-1}}-{\frac {1}{x\exp(x)}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-x)+x-1}{x[\exp(x)-1]}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x[\exp(x)-1]}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m+1}}{(m+1)!}}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)![\exp(x)-1]}}\mathrm {d} x=\sum _{m=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)![\exp(x)-1]}}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{\exp(x)-1}}\mathrm {d} x=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}m!\zeta (m+1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\zeta (m+1)=}$

${\displaystyle =\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}=}$

${\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}+\operatorname {Li} _{1}\left(-{\frac {1}{n}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)=\gamma }$

Deswegen nimmt ψ(1) den Wert -γ an.

In der dritten Zeile der Gleichungskette wird der Debyesche Funktionswert von Plus Unendlich genannt, welcher aus der Geometrischen Reihe hervorgeht.

Am Ende der vierten Zeile taucht die Maclaurinsche Reihe des Monologarithmus auf, welche als Stammfunktion der Geometrischen Reihe hervorgeht.

Beweise für die Digammafunktionswerte der Kehrwerte natürlicher Zahlen

Aus der Beziehung zur harmonischen Reihe resultiert diese für alle z ∈ ℕ gültige Formel:

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{z+1}}\right)=-\gamma -(z+1)\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{z}}{1-x^{z+1}}}\mathrm {d} x}$

Also gilt:

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\int _{0}^{1}{\frac {1-x}{1-x^{2}}}\mathrm {d} x=-\gamma -2\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\mathrm {d} x=-\gamma -2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x+1)\mathrm {d} x=-\gamma -2\ln(2)}$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{3}}\right)=-\gamma -3\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{2}}{1-x^{3}}}\mathrm {d} x=-\gamma -3\int _{0}^{1}{\frac {1+x}{1+x+x^{2}}}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =-\gamma -3\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\arctan \left[{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}(1+2x)\right]+{\frac {1}{2}}\ln(1+x+x^{2})\mathrm {d} x=-\gamma -{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}\pi -{\frac {3}{2}}\ln(3)}$