Beweisführung einer Zetafunktionssumme

Zu Beginn ist diese in der Einführung genannte Summe gegeben:

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {1}{k}}-\ln {\biggl (}1+{\frac {1}{k}}{\biggr )}{\biggr ]}}$

Als Nächstes wird folgende Identität bewiesen:

${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\zeta (2n)}{2n}}-{\frac {\zeta (2n+1)}{2n+1}}{\biggr ]}}$

Dieser Beweis kann direkt über die Definition der Riemannschen Zetafunktion zustande gebracht werden:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\zeta (2n)}{2n}}-{\frac {\zeta (2n+1)}{2n+1}}{\biggr ]}=\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl (}{\frac {1}{2n}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2n}}}-{\frac {1}{2n+1}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2n+1}}}{\biggr )}=}$

${\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {1}{2n\,k^{2n}}}-{\frac {1}{(2n+1)\,k^{2n+1}}}{\biggr ]}=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {1}{2n\,k^{2n}}}-{\frac {1}{(2n+1)\,k^{2n+1}}}{\biggr ]}=}$

${\displaystyle =\sum _{k=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {1}{k}}-\ln {\biggl (}1+{\frac {1}{k}}{\biggr )}{\biggr ]}=\gamma }$

Der letzte Rechenschritt basiert auf der Ursprungsstammfunktion von der alternierenden geometrischen Reihe:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}x^{2n-1}-x^{2n}{\bigr )}={\frac {x}{1+x}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\biggl (}{\frac {x^{2n}}{2n}}-{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}{\biggr )}=x-\ln(1+x)}$

Durch Einsatz von ${\displaystyle x=1/k}$ in die nun genannte Formel entsteht das in der Gleichungskette gezeigte Endresultat.

Analog zur gezeigten Formel mit der Zetafunktion gilt für die Dirichletsche Etafunktion diese Formel:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\eta (2n)}{2n}}-{\frac {\eta (2n+1)}{2n+1}}{\biggr ]}=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\biggl [}{\frac {1}{k}}-\ln {\biggl (}{\frac {k+1}{k}}{\biggr )}{\biggr ]}=\ln {\bigl (}{\frac {4}{\pi }}{\bigr )}}$

Denn auf der rechten Seite in der alternierenden Differenz erscheint im Numerus des Logarithmus Naturalis das Wallissche Produkt und der Minuend in dieser alternierenden Differenz ergibt die alternierende Differenz der Kehrwerte der natürlichen Zahlen, welche der Logarithmus Naturalis von Zwei ist.

Beweisführung des Exponentialintegrals

Das drittoberste Integral in der Auflistung kann so bewiesen werden:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\exp(x)-1}}-{\frac {1}{x\exp(x)}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-x)+x-1}{x[\exp(x)-1]}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x[\exp(x)-1]}}\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}-{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}{\biggr ]}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl \{}{\frac {1}{\exp(x)-1}}{\biggl [}{\frac {x^{2n-1}}{(2n)!}}-{\frac {x^{2n}}{(2n+1)!}}{\biggr ]}{\biggr \}}\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\biggl \{}{\frac {1}{\exp(x)-1}}{\biggl [}{\frac {x^{2n-1}}{(2n)!}}-{\frac {x^{2n}}{(2n+1)!}}{\biggr ]}{\biggr \}}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {1}{(2n)!}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n-1}}{\exp(x)-1}}\,\mathrm {d} x-{\frac {1}{(2n+1)!}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{\exp(x)-1}}\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {(2n-1)!\,\zeta (2n)}{(2n)!}}-{\frac {(2n)!\,\zeta (2n+1)}{(2n+1)!}}{\biggr ]}=}$

${\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\zeta (2n)}{2n}}-{\frac {\zeta (2n+1)}{2n+1}}{\biggr ]}=\gamma }$

Bei dem Integral in der dritten Zeile der jetzt gezeigten Gleichungskette handelt es sich um den Debyeschen Funktionswert von Plus Unendlich!

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{\exp(x)-1}}\,\mathrm {d} x=m!\,\zeta (m+1)}$

Beweisführung des Integrals über den Logarithmus

Das zweitoberste Integral in der Auflistung folgt aus dieser Ableitung:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl \{}\ln[1-\exp(-x)]-{\frac {\ln(x)}{\exp(x)}}{\biggr \}}={\frac {1}{\exp(x)-1}}-{\frac {1}{x\exp(x)}}+{\frac {\ln(x)}{\exp(x)}}}$

Nach der Regel von de L’Hospital gelten folgende Grenzwerte:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\biggl \{}\ln[1-\exp(-x)]-{\frac {\ln(x)}{\exp(x)}}{\biggr \}}=0}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }{\biggl \{}\ln[1-\exp(-x)]-{\frac {\ln(x)}{\exp(x)}}{\biggr \}}=0}$

Somit gilt dieses Integral:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\exp(x)-1}}-{\frac {1}{x\exp(x)}}+{\frac {\ln(x)}{\exp(x)}}\mathrm {d} x=0}$

Durch Äquivalenzumformung entsteht folgende Identität:

${\displaystyle -\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(x)}{\exp(x)}}{\text{d}}x=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\exp(x)-1}}-{\frac {1}{x\exp(x)}}\mathrm {d} x=\gamma }$

Das oberste und viertoberste Integral entstehen durch Substitution mit dem negativen natürlichen Logarithmus.

Beweisführung des Integrals über die Integralexponentialfunktion

Folgendes Integral zur Mascheroni-Konstante kann über den Satz von Fubini bewiesen werden:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\biggl [}\exp(x)\,\mathrm {E} _{1}(x)-{\frac {1}{x+1}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-y){\bigl (}{\frac {1}{x+y}}-{\frac {1}{x+1}}{\bigr )}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-y){\bigl (}{\frac {1}{x+y}}-{\frac {1}{x+1}}{\bigr )}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{\infty }-\exp(-y)\ln(y)\,\mathrm {d} y=\gamma }$

Der große Buchstabe E drückt die komplementäre Integralexponentialfunktion aus:

${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(x)=\exp(-x)\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-xy)}{y+1}}\,\mathrm {d} y}$

Dann gilt auch:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\mathrm {E} _{1}(x)=-\,{\frac {1}{x}}\exp(-x)}$

Verallgemeinert gilt somit für die Integration:

${\displaystyle {\frac {\exp(-ax)}{bx+c}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl \{}-{\frac {1}{b}}\exp {\bigl (}{\frac {ac}{b}}{\bigr )}\,\mathrm {E} _{1}{\bigl [}{\frac {a}{b}}{\bigl (}bx+c{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-ax)}{bx+c}}\,\mathrm {d} x={\biggl \{}-{\frac {1}{b}}\exp {\bigl (}{\frac {ac}{b}}{\bigr )}\,\mathrm {E} _{1}{\bigl [}{\frac {a}{b}}{\bigl (}bx+c{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=\infty }={\frac {1}{b}}\exp {\bigl (}{\frac {ac}{b}}{\bigr )}\,\mathrm {E} _{1}{\bigl (}{\frac {ac}{b}}{\bigr )}}$

Beweisführung des Integrals über den Kehrwert der Nachfolgerfunktion

Ebenso kann das anschließende Integral zur Mascheroni-Konstante über den Satz von Fubini bewiesen werden:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x}}{\biggl [}{\frac {1}{x+1}}-\exp(-x){\biggr ]}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-xy){\biggl [}{\frac {1}{x+1}}-\exp(-x){\biggr ]}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-xy){\biggl [}{\frac {1}{x+1}}-\exp(-x){\biggr ]}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{\infty }{\biggl [}\exp(y)\,\mathrm {E} _{1}(y)-{\frac {1}{y+1}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} y=\gamma }$

Das fünftoberste und sechstoberste Integral resultiert aus der Abel-Plana-Summenformel und geht durch die Mellin-Transformation hervor.

Das zweitunterste Integral entsteht aus der Reihendarstellung der Integralexponentialfunktion Ei(x).

Und das unterste Integral entsteht direkt aus der genannten Reihe für die Euler-Mascheroni-Konstante über die Riemannsche Zetafunktion.

Parameterintegrale

Es gibt auch viele invariante Parameterintegrale, zum Beispiel:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x^{k}+1}}-e^{-x}\right){\frac {\mathrm {d} x}{x}},\quad k>0\\\gamma &=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{kx+1}}-e^{-kx}\right){\frac {\mathrm {d} x}{x}},\quad k>0\end{aligned}}}$

Beide Parameterintegrale sollen im nun Folgenden bewiesen werden:

Gegeben steht das im vorherigen Abschnitt bewiesene Integral:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x}}{\biggl [}{\frac {1}{x+1}}-\exp(-x){\biggr ]}\,\mathrm {d} x=\gamma }$

Und folgendes Zweiparameterintegral ergibt konstant für alle positiven Werte v und w den Wert Null:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x}}{\biggl (}{\frac {1}{x^{v}+1}}-{\frac {1}{x^{w}+1}}{\biggr )}\,\mathrm {d} x=0}$

Wenn dieses Parameterintegral in das genannte schon bewiesene Integral eingepflanzt wird, dann entsteht direkt das erste der beiden genannten Parameterintegrale mit dem positiven k-Ausdruck. Und das genannte Zweiparameterintegral ist deswegen für alle positiven Werte v und w gültig, weil folgende Stammfunktion gilt:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x}}{\biggl (}{\frac {1}{x^{v}+1}}-{\frac {1}{x^{w}+1}}{\biggr )}\,\mathrm {d} x={\biggl [}{\frac {1}{v}}\ln(x^{v}+1)-{\frac {1}{w}}\ln(x^{w}+1){\biggr ]}_{x=0}^{x=\infty }=}$

${\displaystyle ={\biggl [}\ln {\bigl (}{\sqrt[{v}]{x^{v}+1}}{\bigr )}-\ln {\bigl (}{\sqrt[{w}]{x^{w}+1}}{\bigr )}{\biggr ]}_{x=0}^{x=\infty }=0}$

Das zweite mit dem k-Ausdruck dargestellte Parameterintegral kommt durch innere Substitution und durch die sogenannte Nachdifferenzierung nach der Kettenregel zustande.

Forschungsresultate des Mathematikers Sondow

Man kann ${\displaystyle \gamma }$ auch als ein Doppelintegral (J. Sondow 2003, 2005) mit der äquivalenten Reihe ausdrücken:

${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-xy)\ln(xy)}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\ln {\frac {n+1}{n}}\right)}$.

Es gibt einen interessanten Vergleich (J. Sondow 2005) des Doppelintegrals und der alternierenden Reihe:

${\displaystyle \ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1+xy)\ln(xy)}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left({\frac {1}{n}}-\ln {\frac {n+1}{n}}\right)}$.

In diesem Sinne kann man sagen, dass ${\displaystyle \ln {\big (}{\tfrac {4}{\pi }}{\big )}}$ die „alternierende Eulersche Konstante“ ist (Folge A094640 in OEIS).

Ein weiteres Doppelintegral handelt von der harmonischen Reihe als Funktion:

${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{y}}{1-x}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}H(y)\,\mathrm {d} y}$

Außerdem sind diese zwei Konstanten mit dem Paar

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}=\gamma ,}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)-N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}=\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)}$

von Reihen verknüpft, wobei ${\displaystyle N_{1}(n)}$ und ${\displaystyle N_{0}(n)}$ die Anzahl der Einsen bzw. der Nullen in der Binärentwicklung von ${\displaystyle n}$ sind (Sondow 2010).

Produktreihen

Ferner gibt es eine ebenso reichhaltige Fülle an unendlichen Summen und Produkten, etwa

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\gamma }&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\ln n}}\prod _{p\leq n,p{\text{ prim}}}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{-1}\\{\frac {6}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\ln n}}\prod _{p\leq n,p{\text{ prim}}}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)\\\gamma &=\lim _{x\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{x}}}-{\frac {1}{x^{n}}}\right).\end{aligned}}}$

Diese Reihen bilden somit zu den Eulerschen Produktdarstellungen von der Riemannschen Zetafunktion eine Abwandlung.

Kummersche Reihen

Reihen mit rationalen Termen stammen von Euler, Fontana and Mascheroni, Giovanni Enrico Eugenio Vacca, S. Ramanujan und Joseph Ser. An Reihen mit irrationalen Gliedern gibt es unzählige Variationen, deren Glieder aus rational gewichteten Werten der riemannschen Zeta-Funktion an den ungeraden Argumentstellen ζ(3), ζ(5), … bestehen. Ein Beispiel einer besonders schnell konvergierenden Reihe ist:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n+1)-1}{(2n+1)2^{2n}}}=1+\ln 2-\ln 3-\gamma =}$ 0,0173192269903…

Eine weitere Reihe ergibt sich aus der Kummerschen Reihe der Gammafunktion:

${\displaystyle \gamma =\ln \pi -4\ln \Gamma {\big (}{\tfrac {3}{4}}{\big )}+{\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\ln(2k+1)}{2k+1}}}$

Stieltjes-Konstanten

Die Eulersche Konstante kennt mehrere Verallgemeinerungen. Die wichtigste und bekannteste ist die der Stieltjes-Konstanten:

${\displaystyle \gamma _{n}:=\lim _{N\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{N}{\frac {\log ^{n}k}{k}}-{\frac {\log ^{n+1}N}{n+1}}\right),\quad n=0,1,2,\dotsc }$

Die Euler-Mascheroni-Konstante ${\displaystyle \gamma =\gamma _{0}}$ ergibt sich für ${\displaystyle n=0}$:

${\displaystyle \gamma$ :=\lim _{N\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{k}}-{\log N}\right)}

Fakultät und Gammafunktion

Gegeben war diese Summendefinition für die Euler-Mascheroni-Konstante:

${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {1}{n}}-\ln {\biggl (}1+{\frac {1}{n}}{\biggr )}{\biggr ]}}$

Verallgemeinert gelten diese beiden zueinander identischen Ausdrücke:

${\displaystyle \gamma \,x+\ln {\bigl [}\Pi (x){\bigr ]}=\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {x}{n}}-\ln {\biggl (}1+{\frac {x}{n}}{\biggr )}{\biggr ]}}$ ${\displaystyle \gamma \,x+\ln {\bigl [}\Gamma (x+1){\bigr ]}=\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {x}{n}}-\ln {\biggl (}1+{\frac {x}{n}}{\biggr )}{\biggr ]}}$

Beispielsweise gilt:

${\displaystyle {\frac {\gamma }{2}}-{\frac {1}{2}}\ln {\bigl (}{\frac {4}{\pi }}{\bigr )}={\frac {\gamma }{2}}+\ln {\bigl [}\Pi {\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}{\bigr ]}=\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {1}{2n}}-\ln {\biggl (}1+{\frac {1}{2n}}{\biggr )}{\biggr ]}}$

Die im Kästchen genannten Verallgemeinerungsformeln gehen direkt aus der Weierstraßschen Definition der Harmonischen Reihenfunktion hervor:

${\displaystyle \mathrm {H} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+x}}{\bigr )}}$

Denn durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x entstehen die beiden Formeln im Kästchen.

Folgende Ableitungsgesetze sind gültig:

${\displaystyle \mathrm {H} (x)=\gamma +{\frac {1}{\Pi (x)}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\Pi (x)}$

${\displaystyle \mathrm {H} (x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigl \{}\gamma \,x+\ln {\bigl [}\Pi (x){\bigr ]}{\bigr \}}}$

${\displaystyle \mathrm {H} (x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigl \{}\gamma \,x+\ln {\bigl [}\Gamma (x+1){\bigr ]}{\bigr \}}}$

Die kontinuierliche Fakultätsfunktion ist gleich der Gaussschen Pifunktion.

Und die Gaußsche Pifunktion ergibt sich als Gammafunktion aus der Nachfolgerfunktion.

So lautet die Produktreihendefinition nach Weierstraß für diese berühmte Funktion:

${\displaystyle x!=\Pi (x)=\Gamma (x+1)=\exp(-\,\gamma \,x)\prod _{n=1}^{\infty }{\bigl [}{\bigl (}1+{\frac {x}{n}}{\bigr )}^{-1}\exp {\bigl (}{\frac {x}{n}}{\bigr )}{\bigr ]}}$

Aus den genannten Verallgemeinerungsformeln folgt auch:

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\zeta (2m)}{2m}}\,x^{2m}-{\frac {\zeta (2m+1)}{2m+1}}\,x^{2m+1}{\biggr ]}=\gamma \,x+\ln {\bigl [}\Pi (x){\bigr ]}}$

Beispielsweise gilt:

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\zeta (2m)}{2m\,2^{2m}}}-{\frac {\zeta (2m+1)}{(2m+1)\,2^{2m+1}}}{\biggr ]}={\frac {\gamma }{2}}-{\frac {1}{2}}\ln {\bigl (}{\frac {4}{\pi }}{\bigr )}}$

Und aus diesen Summen folgt nach dem ebenso:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-xy)+xy-1}{y\,{\bigl [}\exp(y)-1{\bigr ]}}}\,\mathrm {d} y=\gamma \,x+\ln {\bigl [}\Pi (x){\bigr ]}}$

Beispielsweise gilt:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-y/2)+y/2-1}{y\,{\bigl [}\exp(y)-1{\bigr ]}}}\,\mathrm {d} y={\frac {\gamma }{2}}-{\frac {1}{2}}\ln {\bigl (}{\frac {4}{\pi }}{\bigr )}}$