Laurent-Entwicklung

Die Laurent-Entwicklung um ${\displaystyle s=1}$ lautet:

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\gamma _{n}(q)}{n!}}(s-1)^{n}}$

mit ${\displaystyle 0<q\leq 1}$. ${\displaystyle \gamma _{n}(q)}$ sind die Verallgemeinerten Stieltjes-Konstanten:

${\displaystyle \gamma _{n}(q):=\lim _{N\to \infty }\left(\sum _{k=0}^{N}{\frac {\log ^{n}(k+q)}{k+q}}-{\frac {\log ^{n+1}(N+q)}{n+1}}\right)}$

für ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$

Fourier-Reihe

Die Fourier-Reihe lautet:

${\displaystyle \zeta (s,a)=2(2\pi )^{s-1}\Gamma (1-s)\left(\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos(2\pi ak)}{k^{1-s}}}+\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi ak)}{k^{1-s}}}\right)}$

mit ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)<1{\text{ und }}0<a\leq 1}$.

Nullstellen

Da sich für ${\displaystyle q=1}$ und ${\displaystyle q={\tfrac {1}{2}}}$ die Riemannsche Zeta-Funktion bzw. diese multipliziert mit einer einfachen Funktion von ${\displaystyle s}$ ergibt, führt dies zu der komplizierten Nullstellenberechnung der Riemannschen Zeta-Funktion mit der Riemannschen Vermutung.

Für diese ${\displaystyle q}$ hat die Hurwitzsche Zeta-Funktion keine Nullstellen mit einem Realteil größergleich 1.

Für ${\displaystyle 0<q<1}$ und ${\displaystyle q\not ={\tfrac {1}{2}}}$ gibt es dagegen Nullstellen für jeden Steifen ${\displaystyle 1<\mathrm {Re} (s)<1+\epsilon }$ mit einem positiv-reellen ${\displaystyle \epsilon }$. Dies wurde für rationale und nicht-algebraische-irrationale ${\displaystyle q}$ von Davenport und Heilbronn bewiesen; für algebraische irrationale ${\displaystyle q}$ von Cassels.

Rationale Argumente

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion tritt etwa im Zusammenhang mit den Euler-Polynomen ${\displaystyle E_{n}(x)}$ auf:

${\displaystyle E_{2n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n-1)!}{(2\pi q)^{2n}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\cos {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}}$

und

${\displaystyle E_{2n}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n)!}{(2\pi q)^{2n+1}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n+1,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\sin {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}.}$

Ferner gilt

${\displaystyle \zeta \left(s,{\frac {2p-1}{2q}}\right)=2(2q)^{s-1}\sum _{k=1}^{q}\left[C_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\cos \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)+S_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\sin \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)\right]}$

mit ${\displaystyle 1\leq p\leq q}$. Dabei werden ${\displaystyle C_{\nu }(x)}$ und ${\displaystyle S_{\nu }(x)}$ wie folgt mit der legendreschen Chi-Funktion ${\displaystyle \chi _{\nu }}$ definiert:

${\displaystyle C_{\nu }(x)=\operatorname {Re} \,\chi _{\nu }(e^{\mathrm {i} x})}$

bzw.

${\displaystyle S_{\nu }(x)=\operatorname {Im} \,\chi _{\nu }(e^{\mathrm {i} x}).}$

Weitere

Es gilt (Auswahl):

${\displaystyle \zeta (s,-1)=\zeta (s)+1\,}$

${\displaystyle \zeta (s,2)=\zeta (s)-1\,}$

${\displaystyle \zeta (s,0)=\zeta (s,1)\,}$

${\displaystyle \zeta \left(s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}n^{s}\cdot \mathrm {Li} _{s}\left(e^{\frac {2\pi \mathrm {i} k}{n}}\right)e^{-{\frac {2\pi \mathrm {i} km}{n}}}\qquad \qquad m,n\in \mathbb {N} ^{+}{\text{ und }}m\leq n}$

${\displaystyle \zeta (0,a)={\frac {1}{2}}-a}$

${\displaystyle \zeta (2,{\tfrac {1}{4}})=\pi ^{2}+8G}$

${\displaystyle \zeta (2,{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {x}{\pi }})+\zeta (2,{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {x}{\pi }})={\frac {\pi ^{2}}{\cos ^{2}x}}}$

(Riemannsche Zeta-Funktion, Catalansche Konstante)

Bernoulli-Polynome

Die im Abschnitt Hurwitz-Formel definierte Funktion ${\displaystyle \beta }$ verallgemeinert die Bernoulli-Polynome ${\displaystyle B_{n}(x)}$:

${\displaystyle B_{n}(x)=-\mathrm {Re} \left[(-\mathrm {i} )^{n}\beta (x;n)\right]}$

Alternativ kann man sagen, dass

${\displaystyle \zeta (-n,x)=-{\frac {B_{n+1}(x)}{n+1}}.}$

Für ${\displaystyle n=0}$ ergibt das

${\displaystyle \zeta (0,x)={\frac {1}{2}}-x.}$

Jacobische Thetafunktion

Gegeben ist am Anfang des Artikels diese Formel:

${\displaystyle \zeta (v;w)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+w)^{-v}}$

Die Abel-Plana-Summenformel definiert die Hurwitzsche Zetafunktion sowohl für positive als auch für negative Werte ${\displaystyle v}$:

${\displaystyle \zeta (v;w)={\frac {w^{1-v}}{v-1}}+{\frac {1}{2w^{v}}}+{\frac {2}{w^{v-1}}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin {\bigl [}v\arctan(x){\bigr ]}}{{(x^{2}+1)}^{v/2}{\bigl [}\exp(2\pi wx)-1{\bigr ]}}}\,\mathrm {d} x}$

Für alle positiven Werte ${\displaystyle v}$ stimmen die beiden Formeln für die Hurwitzsche Zetafunktion miteinander überein.

Die Mathematiker Edmund Taylor Whittaker und George Neville Watson definierten die Jacobische Thetafunktion auf diese Weise:

${\displaystyle \vartheta _{00}(t;u)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-u^{2n}){\bigl [}1+2\cos(2t)u^{2n-1}+u^{4n-2}{\bigr ]}}$

Basierend auf der nun genannten Abel-Plana-Definition für die Hurwitzsche Zetafunktion kann dann diese Identität für folgendes Integral der Jacobischen Thetafunktion aufgestellt werden:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}\{\vartheta _{00}[\pi \,a;\exp(-x)]-1\}\,\mathrm {d} x=\Gamma (n+1)\zeta (2n+2)/\zeta (-2n-1){\bigl [}\zeta (-2n-1;a)+\zeta (-2n-1;1-a){\bigr ]}}$

In dieser Formel wird neben der Hurwitzschen auch die Riemannsche Zetafunktion ${\displaystyle \zeta (s)=\zeta (s;1)}$ eingesetzt.

Für alle Zahlenpaare a und n mit den Kriterien ${\displaystyle a\in \mathbb {C} \,\setminus \,\mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle {\bigl [}n\in \mathbb {C} \,\backslash {\bigl (}-{\tfrac {1}{2}}+m{\bigr )}(m\in \mathbb {N} ){\bigr ]}\cap {\bigl [}\mathrm {Re} (n)>-{\tfrac {1}{2}}{\bigr ]}}$ ist diese Formel gültig.

Beispielsweise gilt mit ${\displaystyle n={\tfrac {1}{4}}}$ und ${\displaystyle a={\tfrac {1}{3}}}$:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\sqrt[{4}]{x}}\{\vartheta _{00}[{\tfrac {1}{3}}\pi$ ;\exp(-x)]-1\}\,\mathrm {d} x=\Gamma ({\tfrac {5}{4}})\zeta ({\tfrac {5}{2}})/\zeta (-{\tfrac {3}{2}}){\bigl [}\zeta (-{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {1}{3}})+\zeta (-{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {2}{3}}){\bigr ]}}

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\sqrt[{4}]{x}}\{\vartheta _{00}[{\tfrac {1}{3}}\pi$ ;\exp(-x)]-1\}\,\mathrm {d} x\approx -0{,}98192204088893492762377332647968767}

Polygammafunktion

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion verallgemeinert die Polygammafunktion auf nicht-ganze Ordnungen ${\displaystyle s}$:

${\displaystyle \psi _{s}(z)={\frac {1}{\Gamma (-s)}}\left({\frac {\partial }{\partial s}}+\psi (-s)+\gamma \right)\zeta (s+1,z)}$

mit der Euler-Mascheroni-Konstanten ${\displaystyle \gamma }$.