Integraldarstellungen

Integrale von Logarithmen und Arkusfunktionen:

${\displaystyle G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln x}{x^{2}+1}}\,{\rm {d}}x}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan x}{x}}\,{\rm {d}}x}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y}$

${\displaystyle G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(x)}{x{\sqrt {x^{2}+1}}}}\mathrm {d} x}$

${\displaystyle G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(x)}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}\mathrm {d} x}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{1}{\frac {1}{2x}}{\bigl [}4\arcsin {\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,x{\bigr )}-\arcsin(x){\bigr ]}\mathrm {d} x}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }{\frac {3\ln(x^{2}+x+1)}{4(x^{2}+1)}}\mathrm {d} x-{\frac {\pi }{4}}\operatorname {arcosh} (2)}$

Integrale mit Hyperbelfunktionen:

${\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{2}}\operatorname {sech} (x)\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle G={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{(x^{2}+1)^{2}}}\operatorname {csch} {\bigl (}{\frac {\pi }{2}}x{\bigr )}\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }{\frac {\pi }{4x}}\tanh(x)\operatorname {sech} (x)\,\mathrm {d} x}$

Integrale von Kehrwerten der Areafunktionen:

${\displaystyle G=\int _{0}^{1}{\frac {\pi \,x}{2\,(x^{2}+1)^{2}\operatorname {artanh} (x)}}\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{1}{\frac {\pi \,x}{4\,(1-x^{2})^{1/2}\operatorname {artanh} (x)}}\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }{\frac {\pi \,x}{4\,(x^{2}+1)^{3/2}\operatorname {arsinh} (x)}}\,\mathrm {d} x}$

Integrale von elliptischen Integralen:

${\displaystyle G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}K(x)\mathrm {d} x}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{1}E(x)\mathrm {d} x-{\frac {1}{2}}}$

Dabei ist K das vollständige elliptische Integral erster Art und E das vollständige elliptische Integral zweiter Art.

Reihendarstellungen

Nach S. Ramanujan gilt:

${\displaystyle G={\frac {\pi }{8}}\ln \left(2+{\sqrt {3}}\right)+{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}{\binom {2n}{n}}}}\ .}$

Eine andere Reihe enthält die Riemannsche Zetafunktion:

${\displaystyle G={\frac {1}{16}}\sum _{n=1}^{\infty }(n+1){\frac {3^{n}-1}{4^{n}}}\zeta (n+2)\ .}$

Sehr schnell konvergiert folgende Summe (Alexandru Lupaş 2000):

${\displaystyle G={\frac {1}{64}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}\cdot 2^{8n}\cdot (40n^{2}-24n+3)\cdot (2n)!^{3}\cdot n!^{2}}{n^{3}\cdot (2n-1)\cdot (4n)!^{2}}}\ .}$

Nach Jesus Guillera gelten folgende Reihen, welche schneller konvergieren, als die Reihe von Lupaş:

${\displaystyle G={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-8)^{k}(3k+2)}{(2k+1)^{3}{\binom {2k}{k}}^{3}}}}$,

${\displaystyle G=-{\frac {1}{1024}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-4096)^{k}\left(45136k^{4}-57184k^{3}+21240k^{2}-3160k+165\right)}{k^{3}(2k-1)^{3}}}\left({\frac {(2k)!^{6}(3k)!^{3}}{k!^{3}(6k)!^{3}}}\right)}$.

Nach Pilehrood gelten folgende Reihen, welche ebenfalls schneller konvergieren, als die Reihe von Lupaş:

${\displaystyle G={\frac {1}{64}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {256^{k}\left(580k^{2}-184k+15\right)}{k^{3}(2k-1){\binom {6k}{3k}}{\binom {6k}{4k}}{\binom {4k}{2k}}}}}$,

${\displaystyle G=-{\frac {1}{64}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-256)^{k}\left(419840k^{6}-915456k^{5}+782848k^{4}-332800k^{3}+73256k^{2}-7800k+315\right)}{k^{3}(2k-1)(4k-1)^{2}(4k-3)^{2}{\binom {8k}{4k}}^{2}{\binom {2k}{k}}}}}$.

BBP-artige Reihen

Man hat lange nach einer BBP-Reihe gesucht. Zunächst wurden nur sehr lange Exemplare gefunden. Relativ kurz ist die 9-gliedrige von Victor Adamchik (2007):

${\displaystyle {\textstyle G={\frac {3}{64}}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{64^{n}}}\left({\frac {32}{(12n+1)^{2}}}-{\frac {32}{(12n+2)^{2}}}-{\frac {32}{(12n+3)^{2}}}-{\frac {8}{(12n+5)^{2}}}-{\frac {16}{(12n+6)^{2}}}-{\frac {4}{(12n+7)^{2}}}-{\frac {4}{(12n+9)^{2}}}-{\frac {2}{(12n+10)^{2}}}+{\frac {1}{(12n+11)^{2}}}\right)}}$