Niels Henrik Abel (* 5. August 1802 auf der Insel Finnøy, Ryfylke, Norwegen; † 6. April 1829 in Froland, Aust-Agder, Norwegen) war ein norwegischer Mathematiker, der trotz seines kurzen Lebens als einer der bedeutendsten Mathematiker des 19. Jahrhunderts gilt. Nach ihm sind unter anderem die abelschen Gruppen benannt.

Leben

Werk

Abel führte eine Umformulierung der Theorie des elliptischen Integrals durch, in die Theorie der elliptischen Funktionen, indem er deren inverse Funktionen benutzte. Außerdem erweiterte er die Theorie auf Riemannsche Flächen höheren Geschlechts ${\displaystyle g}$ (${\displaystyle g=1}$ entspricht den elliptischen Funktionen) und führte Abelsche Integrale ein. Für diese verallgemeinerte er die schon Euler im Fall elliptischer Integrale bekannten Additionstheoreme (Abels Theorem). Auf diesem Gebiet arbeitete er zuletzt in intensiver Konkurrenz zu Carl Gustav Jacob Jacobi. Dabei bewies er auch, dass die Lemniskate genau für ${\displaystyle n=2^{k}\,p_{1}\cdot \cdot ,p_{r}}$ (wobei die ${\displaystyle p_{r}}$ Fermat-Primzahlen sind) mit Zirkel und Lineal in n gleiche Teile geteilt werden kann.

Er war wesentlich daran beteiligt, strengere Methoden in die Analysis einzuführen (Abelsche partielle Summation, seine Arbeit über die Konvergenz binomischer Reihen usw.).

1824 bewies er, dass eine allgemeine Gleichung fünften Grades nicht durch eine Formel gelöst werden kann, die nur Wurzeln („Radikale“) und arithmetische Grundoperationen verwendet. Abel war neben Galois, der Abels Untersuchungen zur Unlösbarkeit von Gleichungen (Satz von Abel-Ruffini) verallgemeinerte (sog. Galoistheorie), ein wichtiger Mitbegründer der Gruppentheorie. Am Anfang seiner Untersuchungen kannte Abel die Arbeiten von Paolo Ruffini nicht, verwies aber in einer späteren Arbeit aus seinem Nachlass auf ihn als seinen Vorläufer (dessen Schriften jedoch so schwierig zu lesen seien, dass ein Urteil über sie schwierig sei, sie schienen aber Lücken aufzuweisen). Wegen dieser Leistung nennt man die kommutativen Gruppen abelsche Gruppen.

1839 gab die norwegische Regierung seine Werke heraus (ediert von seinem ehemaligen Lehrer Holmboe), und in vollständigerer Form 1881 durch seine Landsleute Peter Ludwig Mejdell Sylow und Sophus Lie.

Ehrungen

Am 6. April 2014 wurde an seinem ehemaligen Wohnhaus, Berlin-Mitte, Am Kupfergraben 4a, eine Gedenktafel angebracht.

Eponyme – nach ihm benannt

Nach Abel sind folgende mathematische Strukturen benannt:

• Abelsche Erweiterung, eine galoissche Körpererweiterung mit abelscher Galoisgruppe
• Abelsche Gruppe, eine Gruppe, für die das Kommutativgesetz gilt
• Abelsche Identität, ein Ausdruck für die Wronski-Determinante zweier linear unabhängiger homogener Lösungen einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung
• Abelsches Integral, ein Integral über eine rationale Funktion in der komplexen Ebene
• Abelsche Integralgleichung, eine spezielle volterrasche Integralgleichung 1. Art
• Abelsche Kategorie, eine Kategorie, die sich im Wesentlichen wie die Kategorie der abelschen Gruppen verhält
• Abelsche partielle Summation, eine bestimmte Umformung einer Summe von Produkten jeweils zweier Zahlen
• Abelsche Projektion, eine spezielle Projektion in einer Von-Neumann-Algebra
• Abelsche Varietät, eine vollständige, zusammenhängende Gruppenvarietät

Zudem sind nach Abel folgende mathematische Sätze benannt:

• Abelscher Grenzwertsatz, ein Satz zur Konvergenz einer Potenzreihe im Randpunkt des Konvergenzintervalls
• Kriterium von Abel, ein Konvergenzkriterium für unendliche Reihen
• Abelsches Lemma, ein Satz zur absoluten und lokalgleichmäßigen Konvergenz von Potenzreihen

Weiter sind nach Abel benannt:

• Abel-Preis, ein hochdotierter Preis für Leistungen in der Mathematik, den die Norwegische Akademie der Wissenschaften jährlich seit 2003 vergibt
• Abel (Mondkrater), ein Mondkrater im Nordwesten des Mare Australe auf der Mondvorderseite

Schriften

(PDF-Dateien unter The Works of Niels Henrik Abel)

• Almindelig Methode til at finde Funktioner af een variabel Störrelse, naar en Egenskab af disse Functioner er udtrykt ved en Ligning imellem to Variable, Magazin for Naturvidenskaberne bind I, 1823, S. 216–229
• Oplösning af et Par Opgaver ved Hjelp af bestemte Integraler (del 1), Magazin for Naturvidenskaberne bind II, 1823, S. 55–68
• Oplösning af nogle Opgaver ved Hjelp af bestemte Integraler (del 2), Magazin for Naturvidenskaberne bind II, 1823, S. 205–215
• Om Maanens Indflydelse paa Pendelens Bevægelse, Magazin for Naturvidenskaberne bind I, 1824, S. 219–226, Berigtigelse, bind II, 1824, S. 143–144
• Mémoire sur les équations algébriques où on démontre l'impossibilité de la résolution de l’équation générale du cinquième dégré, Groendahl, Christiania 1824
• Det endelige Integral ∑ⁿφx udtrykt ved et enkelt bestemt Integral, Magazin for Naturvidenskaberne bind II, 1825, S. 182–189
• Et lidet Bidrag til Læren om adskillige transcendente Functioner, Det Kongelige Norske Videnskabers Selskabs Skrifter 2, 1826, S. 177–207
• in Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) 1, 1826:
  • Untersuchung der Functionen zweier unabhängig veränderlichen Größen x und y, wie f(x, y), welche die Eigenschaft haben, daß f(z,f(x,y)) eine symmetrische Function von z, x und y ist, S. 11–15
  • Beweis der Unmöglichkeit algebraische Gleichungen von höheren Graden als dem vierten allgemein aufzulösen, S. 65–84
  • Bemerkungen über die Abhandlung Nr. 4, Seite 37. im ersten Heft dieses Journals, S. 117–118
  • Auflösung einer mechanischen Aufgabe, S. 153–157
  • Beweis eines Ausdruckes, von welchem die Binomial-Formel ein einzelner Fall ist, S. 159–160
  • Ueber die Integration der Differential-Formel ρ dx/√R, wenn R und ρ ganze Functionen sind, S. 185–221
  • Untersuchungen über die Reihe: 1 + (m/1)x + m·(m−1)/(1·2)·x² + m·(m−1)·(m−2)/(1·2·3)·x³ + …… u.s.w., S. 311–339
• in Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) 2, 1827:
  • Ueber einige bestimmte Integrale, S. 22–30
  • Recherches sur les fonctions elliptiques, S. 101–181
  • Théorèmes et problèmes, S. 286
  • Ueber die Functionen welche der Gleichung φx + φy = ψ(x fy + y fx) genugthun, S. 386–394
• in Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) 3, 1828:
  • Note sur le mémoire de Mr. L. Olivier No. 4. du second tome de ce journal, ayant pour titre „remarques sur les séries infinies et leur convergence“, S. 79–81
  • Recherches sur les fonctions elliptiques. (Suite du mémoire Nr. 12. tom. II. cah. 2. de ce journal), S. 160–190
  • Aufgabe aus der Zahlentheorie, S. 212
  • Remarques sur quelques propriétés générales d’une certaine sorte de fonctions transcendantes, S. 313–323
  • Sur le nombre des transformations différentes, qu’on peut faire subir à une fonction elliptique par la substitution d’une fonction donné de premier degré, S. 394–401
  • Théorème général sur la transformation des fonctions elliptiques de la seconde et de la troisième espèce, S. 402
• in Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) 4, 1829:
  • Note sur quelques formules elliptiques, S. 85–93
  • Mémoire sur une classe particulière d'équations résolubles algébriquement, S. 131–156
  • Théorèmes sur les fonctions elliptiques, S. 194–199
  • Démonstration d’une propriété générale d’une certaine classe de fonctions transcendentes, S. 200–201
  • Précis d’une théorie des fonctions elliptiques, S. 236–277
  • Précis d’une théorie des fonctions elliptiques. (Suite), S. 309–348

Literatur

• Øystein Ore: Abel, Niels Henrik. In: Charles Coulston Gillispie (Hrsg.): Dictionary of Scientific Biography. Band 1: Pierre Abailard – L. S. Berg. Charles Scribner’s Sons, New York 1970, S. 12–17. 
• Oystein Ore: Niels Henrik Abel, mathematician extraordinary, Minneapolis 1957
• Horst Elling, Carl Størmer, Ludvig Sylow, Bjørnstjerne Bjørnson (Hrsg.): Niels Henrik Abel: Mémorial publié à l’occasion du centenaire de sa naissance, Oslo, 1902, Archive
• Arild Stubhaug: Ein aufleuchtender Blitz. Niels Henrik Abel und seine Zeit. Springer-Verlag, Heidelberg 2003, ISBN 3-540-41879-2
• Peter Pesic: Abels Beweis, Springer-Verlag, Heidelberg 2005, ISBN 3-540-22285-5
• Magnus Gösta Mittag-Leffler: Niels Henrik Abel. Revue du Mois, Band 4, Nr. 19/20, 10. Juli/18. August 1907, S. 5–25, 207–229. Gutenberg eText (französisch)
• August Crelle: Nécrologe, Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) 4, 1829, S. 402–404 (Nachruf; französisch)
• Hans Wußing: Niels Henrik Abel, in: H. Wußing, W. Arnold: Biographien bedeutender Mathematiker, 3. Auflage, Berlin: Volk und Wissen, 1983
• Marcus du Sautoy Die Mondscheinsucher. Mathematiker entschlüsseln das Geheimnis der Symmetrie. C. H. Beck 2008. ISBN 978-3406576706.
• Olav Arnfinn Laudal, Ragni Piene (Hrsg.): The legacy of Niels Henrik Abel: The Abel bicentennial, Oslo, 2002, Springer 2004
• Michael Rosen: Niels Henrik Abel and the equation of the fifth degree, Amer. Math. Monthly, Band 102, 1995, S. 495–505. MAA, pdf

Weblinks

• Literatur von und über Niels Henrik Abel im Katalog der Deutschen Nationalbibliothek
• Werke von und über Niels Henrik Abel in der Deutschen Digitalen Bibliothek
• John J. O’Connor, Edmund F. Robertson: Niels Henrik Abel. In: MacTutor History of Mathematics archive.
• Niels Abel – aus Hans Wußing, Wolfgang Arnold (Hrsg.): Biographien bedeutender Mathematiker 3. Auflage, Volk und Wissen, Berlin 1983 (gekürzt)
• Niels Henrik Abel – umfangreiche Informationen und Scans aller Arbeiten auf der Webseite des Abel-Preises (englisch, norwegisch)
• Autoren-Profil in der Datenbank zbMATH

Einzelnachweise

1. ↑ Michael Rosen, Abel´s theorem on the lemniscate, American Mathematical Monthly, Band 88, 1981, S. 387–395. Gauß hatte in seinen Disquisitiones Arithmeticae einen entsprechenden Satz für den Kreis bewiesen. Im Tagebuch von Gauß findet sich auch eine Eintragung über die Teilung der Lemniskate in fünf gleiche Teile mit Zirkel und Lineal.
2. ↑ Oystein Ore, Artikel Abel in Dictionary of Scientific Biography