Rahmenbedingungen

Für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ seien ${\displaystyle (X_{n},{\mathcal {A}}_{n})}$ Messräume und ${\displaystyle (P_{\vartheta ,n})_{\vartheta \in \Theta }}$ Familien von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf ${\displaystyle (X_{n},{\mathcal {A}}_{n})}$. Sei ${\displaystyle (\Gamma ,{\mathcal {A}}_{\Gamma })}$ ein weiterer Messraum sowie

${\displaystyle g\colon \Theta \to \Gamma }$

die zu schätzende Funktion.

In den meisten Fällen handelt es sich bei den Messräumen und den Familien von Wahrscheinlichkeitsmaßen um ${\displaystyle n}$-fache Produktmodelle. Typisches Beispiel hierfür wäre ${\displaystyle X_{n}=\mathbb {R} ^{n}}$ und als Wahrscheinlichkeitsmaß ein entsprechendes Produktmaß ${\displaystyle P_{\vartheta }^{n}}$ eines Wahrscheinlichkeitsmaßes ${\displaystyle P_{\vartheta }}$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Formalisierung

Eine Folge von Statistiken ${\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ mit

${\displaystyle T_{n}\colon X_{n}\times \Gamma \to \Gamma }$

heißt eine approximative Pivotstatistik für ${\displaystyle g}$, wenn gilt:

• Es existiert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ${\displaystyle Q}$ auf ${\displaystyle (\Gamma ,{\mathcal {A}}_{\Gamma })}$, so dass die Verteilung von ${\displaystyle T_{n}(\cdot ,g(\vartheta ))}$ für alle ${\displaystyle \vartheta \in \Theta }$ gegen ${\displaystyle Q}$ konvergiert. Es ist also

${\displaystyle P_{\vartheta }\circ T_{n}(\cdot ,g(\vartheta ))^{-1}{\stackrel {\mathcal {D}}{\rightarrow }}Q}$ für ${\displaystyle n\to \infty }$ und für alle ${\displaystyle \vartheta \in \Theta }$.

• Für alle Mengen ${\displaystyle B\in A_{\Gamma }}$ ist ${\displaystyle \{x\in X_{n}\mid T_{n}(x,g(\vartheta ))\in B\}}$ in ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{n}}$ enthalten.

Die zweite Bedingung garantiert, dass allen Mengen in ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\Gamma }}$ sinnvoll Wahrscheinlichkeiten durch die Wahrscheinlichkeitsmaße ${\displaystyle P_{\vartheta }}$ zugeordnet werden können, das heißt die Verteilung von ${\displaystyle T_{n}(\cdot ,g(\vartheta ))}$ für alle ${\displaystyle \vartheta }$ wohldefiniert ist.