Planares Potts-Modell

Das Potts-Modell besteht aus einem ${\displaystyle d}$-dimensionalen Gittergraphen ${\displaystyle L(V,E)}$, z. B. einem zweidimensionalen Rechteckgitter, einer Menge von Knotenbelegungen ${\displaystyle S'^{|V|}}$ (Knotenkonfigurationen) und einem Hamiltonoperator ${\displaystyle H'}$ auf dieser Menge. Jeder Knoten wird belegt mit einem Element aus der Menge

${\displaystyle S'=\{\theta _{s}={\frac {2\pi s}{q}},0\leq s\leq q\}\quad q\in \{2,3,\ldots \}}$

Diese können als Punkte auf dem 2-dimensionalen Einheitskreis interpretiert werden und sind die Richtungen, die die „Spins“ auf den jeweiligen Gitterpunkten annehmen können.

Der Hamiltonoperator ist im planaren Potts-Modell (auch Vektor-Potts-Modell oder Uhren-Modell, clock model) gegeben durch

${\displaystyle H'(\sigma )=J_{1}\sum _{\langle i,j\rangle \in E}\cos(\theta _{s_{i}}-\theta _{s_{j}}),\quad \sigma =(\theta _{s_{1}},\theta _{s_{2}},\dots )\in S'^{|V|}.}$

Summiert wird über alle benachbarten Knoten ${\displaystyle \langle i,j\rangle }$ für ${\displaystyle i,j\in V}$. Die Kopplungskonstante ${\displaystyle J_{1}}$ beschreibt die Wechselwirkung zwischen Spins auf den benachbarten Knoten.

Standard-Potts-Modell

Alternativ zum gerade beschriebenen planaren Potts-Modell gibt es das Standard-Potts-Modell (oder einfach: Potts-Modell). Dabei werden die Knoten belegt mit Elementen aus der Menge

${\displaystyle S=\{0,1,\dots ,q\}}$.

Der Hamiltonoperator ist hier gegeben durch

${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{\langle i,j\rangle \in E}\delta (s_{i},s_{j}),\quad \sigma =(s_{1},s_{2},\dots )\in S^{|V|},}$

wobei ${\displaystyle \delta }$ das Kronecker-Delta ist.

Das heißt, falls zwei benachbarte Knoten verschiedene Werte der Spins besitzen, verschwindet der entsprechende Summand. Das negative Vorzeichen von ${\displaystyle J}$ ist eine Konvention, motiviert vom Ising-Modell. Das Standard-Potts-Modell ist ferromagnetisch für ${\displaystyle J>0}$ und antiferromagnetisch für ${\displaystyle J<0}$.

Allgemeine Version

Auf dem Gittergraphen ${\displaystyle L(V,E)}$ mit der Menge der Knotenbelegungen ${\displaystyle \{1,2,\dots ,q-1\}^{|V|}}$ kann eine allgemeinere Version des Potts-Modells definiert werden:

${\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{\langle i,j\rangle \in E}J_{ij}\delta (s_{i},s_{j})-\beta ^{-1}\sum _{i\in \{1,2,\dots \,|V|\}}h_{i}s_{i},\quad \sigma =(s_{1},s_{2},\dots )\in S^{|V|}.}$

Im Unterschied zum ursprünglichen Modell variiert die Wechselwirkung zwischen den benachbarten Knoten. Außerdem kann ein äußeres Feld ergänzt werden:

${\displaystyle -\beta ^{-1}\sum _{i\in \{1,2,\dots ,|V|\}}h_{i}s_{i}}$

Hierbei ist wie üblich ${\displaystyle \beta ={\tfrac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}}$ mit der Boltzmann-Konstanten ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ und der Temperatur ${\displaystyle T}$.

Die Wechselwirkungen ${\displaystyle J_{ij}}$ müssen nicht auf nächstbenachbarte Gitterplätze beschränkt werden. In verdünnten Potts-Modellen gibt es freie Gitterplätze (Gitter-Gas) oder auch Wechselwirkungen verschiedener Stärke. Durch geeignete Randbedingungen können interessante Effekte, wie z. B. Benetzung oder Grenzflächenadsorption, induziert werden.

Das Ising-Modell als Spezialfall

Setzt man ${\displaystyle q=2}$, so folgt aus dem Potts-Modell das Ising-Modell.

Das XY-Modell als Spezialfall

Für ${\displaystyle q\to \infty }$ erhält man das XY-Modell, welches wiederum als Spezialfall des N-Vektor-Modells mit ${\displaystyle N=2}$ verstanden werden kann. Betrachtet man das planare Potts-Modell, so ist der Zustandsraum der Spins keine endliche Teilmenge des Einheitskreises, sondern der ganze 2-dimensionale Einheitskreis.

Ashkin-Teller-Modell

Das Ashkin-Teller-Modell ist das planare Potts-Modell mit ${\displaystyle q=4}$ Zuständen.

Sonstige

Es gibt auch Verbindungen zum Heisenberg-Modell, N-Vektor-Modell, (ice-rule-)Vertex-Modellen und zur Perkolationstheorie (zuerst von P.W. Kasteleyn und C.M. Fortuin 1969 für Bond-Perkolation, später auch für Site-Perkolation).

Das Kirchhoffsche Gesetz für Netzwerke aus linearen Widerständen ergibt sich als ${\displaystyle q=0}$ Grenzwert des Potts-Modells (Kasteleyn, Fortuin 1972).