Arithmetische Asiatische Optionen

Sei ein Basiswert (etwa eine Aktie oder ein Index) mit dem Kurs ${\displaystyle (S_{t}),\;t\geq 0}$ gegeben. Eine arithmetische asiatische Kaufoption auf den Basiswert mit einer Laufzeit T>0 ist ein Kontrakt, der dem Käufer der Option das Recht gibt, sich zum Zeitpunkt T vom Verkäufer (auch Stillhalter genannt) einen bestimmten Betrag auszahlen zu lassen. Dieser Betrag ist die Differenz aus arithmetischem Mittelwert ${\displaystyle {\bar {S}}}$ des Kurses zu bestimmten Tagen im Zeitraum [0,T] und vereinbartem Basispreis X. ${\displaystyle {\bar {S}}}$ ist dabei definiert als

${\displaystyle {\bar {S}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}S_{t_{i}}}$,

wobei die Zeitpunkte ${\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots t_{n}}$ die Tage sind, an denen der Kurs des Basiswerts für die Mittelwertbildung festgestellt wird. Dies können beispielsweise die letzten 10 Geschäftstage vor dem Ausübungstermin oder die Ultimos der letzten 3 Monate der Laufzeit sein.

Wie bei Optionen üblich, wird der Optionskäufer sein Recht auf Auszahlung normalerweise nur dann ausüben, wenn ${\displaystyle {\bar {S}}-X}$ ein positiver Betrag ist.

Eine arithmetische asiatische Verkaufsoption funktioniert analog, nur ist hier der Auszahlungsbetrag ${\displaystyle X-{\bar {S}}}$, d. h. die Ausübung ist dann günstig, wenn der Durchschnittswert der Kurse unter dem Ausübungspreis X liegt.

Geometrische Asiatische Optionen

Die geometrische asiatische Option funktioniert dementsprechend, nur wird dabei anstatt des arithmetischen der geometrische Mittelwert zur Durchschnittsbildung herangezogen:

${\displaystyle {\hat {S}}=\left(\prod _{i=1}^{n}S_{t_{i}}\right)^{1 \over n}}$

Eine fundamentale Beziehung zwischen arithmetischer und geometrischer Option erkennt man, wenn man den Wert des Basiswertes logarithmiert, also ${\displaystyle L_{t}:=\ln(S_{t})\ }$ berechnet. Dann gilt nämlich

${\displaystyle {\hat {S}}=e^{ln({\hat {S}})}=\exp \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln \left(S_{t_{i}}\right)\right)=e^{\bar {L}}}$.

Eine geometrische asiatische Kaufoption auf ${\displaystyle S}$ mit Basiswert X = 0 zahlt also genau das Exponentielle einer entsprechenden arithmetischen Option aus, die sich auf den Basiswert ${\displaystyle L}$ anstatt ${\displaystyle S}$ bezieht. Diese Eigenschaft kann von Vorteil sein, da in vielen finanzmathematischen Modellen der Logarithmus des Kurses einfacher zu handhaben ist als der Kurs selbst.

Das geometrische Mittel stellt analog eine Approximation des Integrals ${\displaystyle \exp \left({\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\ln(S_{t})\mathrm {d} t\right)}$ dar. Mit Hilfe der Jensenschen Ungleichung lässt sich zeigen, dass stets ${\displaystyle {\hat {S}}\leq {\bar {S}}}$ gilt. Dementsprechend muss die Prämie für eine geometrische Kaufoption (Verkaufsoption) stets geringer (höher) ausfallen als die Prämie für eine arithmetische Kaufoption (Verkaufsoption) derselben Laufzeit.

Berechnung mittels der Hartman-Watson-Verteilung

Eine Möglichkeit den Preis einer asiatischen Option mit dem Black-Scholes-Modelles zu berechnen ist die Verwendung der Hartman-Watson-Verteilung. Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\{{\mathcal {F}}_{t}\},P,\{S_{t}\})}$ ein vollständiger Markt und

${\displaystyle {\frac {dS_{t}}{S_{t}}}=r\mathrm {d} t+\sigma \mathrm {d} W_{t}}$

die Preisentwicklung des Finanzinstrumentes. Der Preis lässt sich als bedingter Erwartungswert eines brownschen Exponentialfunktional finden. Für dieses gibt es eine Darstellung mit der unnormierten Hartman-Watson-Verteilung.