Berechnung an plankonvexer Linse

Anhand einer plankonvexen Linse kann die Form der entsprechenden asphärischen Oberfläche verhältnismäßig leicht veranschaulicht werden. Betrachtet man eine optische Abbildung aus dem Unendlichen mit parallelem, monochromatischem Licht durch eine solche Linse mit dem Krümmungsradius ${\displaystyle R}$ bei der Einfallshöhe ${\displaystyle H}$, ergibt sich die in nebenstehender Abbildung dargestellte Situation.

Zur Berechnung der asphärischen Oberfläche können Lichtstrahlen betrachtet werden, die mit der Einfallshöhe ${\displaystyle H}$ parallel zur optischen Achse auf die gegenstandsseitige, plane Linsenfläche fallen. Diese werden beim Eintritt in das optisch dichtere Medium des Linsenmaterials mit dem Brechungsindex ${\displaystyle n}$ nicht gebrochen, da sie senkrecht auftreffen. Bildseitig bilden diese Strahlen zum Oberflächenlot der Linse in der Linse den Winkel ${\displaystyle \alpha }$ und außerhalb der Linse den Winkel ${\displaystyle \beta }$. Diese Winkel verhalten sich wie durch das Snelliussche Brechungsgesetz beschrieben. Dabei gelten die folgenden Beziehungen:

${\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {H}{R}}}$

${\displaystyle \sin(\beta )={\frac {n\cdot H}{R}}}$

Die optische Achse schneiden diese Strahlen dann unter dem Winkel

${\displaystyle \gamma =\beta -\alpha }$

Für achsennahe Strahlen (${\displaystyle H\rightarrow 0}$) ergibt sich eine bildseitige Schnittweite ${\displaystyle s_{0}}$ respektive Brennweite ${\displaystyle f}$ von:

${\displaystyle f=s_{0}=R_{0}\cdot \left({\frac {n}{n-1}}-1\right)}$,

wobei ${\displaystyle R_{0}}$ der Radius im Scheitel der Linse auf der optischen Achse ist.

Die Pfeilhöhe ${\displaystyle z}$, gemessen von der Hauptebene der Linse, kann dann in Abhängigkeit von der Einfallshöhe ${\displaystyle H}$ mit Hilfe einiger Hilfsgrößen ausgehend von ${\displaystyle H_{0}=0}$ und ${\displaystyle \Delta _{0}=0}$ in Schritten von ${\displaystyle \Delta H}$ iterativ ermittelt werden:

${\displaystyle H_{i}=H_{i-1}+\Delta H}$

${\displaystyle z_{i}=\Delta _{i-1}+R_{i-1}-{\sqrt {R_{i-1}^{2}-H_{i}^{2}}}}$

${\displaystyle \gamma _{i}=\arctan {\frac {H_{i}}{f+z_{i}}}}$

${\displaystyle R_{i}={\sqrt {\left({{\frac {n\cdot H_{i}}{\sin {\gamma _{i}}}}-f-z_{i}}\right)^{2}+H_{i}^{2}}}}$

${\displaystyle \alpha _{i}=\arcsin {\frac {H_{i}}{R_{i}}}}$

${\displaystyle \beta _{i}=\arcsin {\frac {n\cdot H_{i}}{R_{i}}}}$

Für die Schnittweite ${\displaystyle s_{i}}$ vom Scheitelpunkt der Kugel mit dem Radius ${\displaystyle R_{i}}$ auf der optischen Achse gilt:

${\displaystyle s_{i}={\frac {n\cdot H_{i}}{\sin \gamma _{i}}}-R_{i}}$

Schließlich ergibt sich der Scheitelabstand ${\displaystyle \Delta _{i}}$ von der Hauptebene aus der Differenz dieser Schnittweite mit der Schnittweite bei paraxialen Strahlen ${\displaystyle s_{0}}$:

${\displaystyle \Delta _{i}=s_{i}-s_{0}}$

Beispiel

In der folgenden Tabelle sind einige auf diese Weise berechnete Beispielwerte für ${\displaystyle n=1{,}5}$, und den einheitenlosen Längenmaßen ${\displaystyle R_{0}=100}$ und ${\displaystyle f=s_{0}=200}$ angegeben. Mit zunehmender Einfallshöhe werden die Krümmungsradien immer größer und sowohl die Mittelpunkte als auch Scheitelpunkte der entsprechenden Kreise entfernen sich objektseitig immer weiter von der Hauptebene.

Einfallshöhe ${\displaystyle H}$	Pfeilhöhe ${\displaystyle z}$	Radius ${\displaystyle R}$	Scheitel- abstand ${\displaystyle \Delta }$	Winkel ${\displaystyle \alpha }$ in °	Winkel ${\displaystyle \beta }$ in °	Winkel ${\displaystyle \gamma }$ in °
0	0,0	100,0	0,0	0,0	0,0	0,0
10	0,5	101,1	0,0	5,7	8,5	2,9
20	2,0	104,4	0,1	11,0	16,7	5,7
30	4,5	109,7	0,3	15,9	24,2	8,3
40	7,8	116,7	0,8	20,0	30,9	10,9
50	12,0	125,2	1,6	23,5	36,8	13,3
60	16,9	134,8	2,8	26,4	41,9	15,5
70	22,4	145,3	4,5	28,8	46,3	17,5
80	28,5	156,6	6,5	30,7	50,0	19,3
90	34,9	168,5	8,9	32,3	53,2	21,0
100	41,8	180,8	11,6	33,6	56,0	22,5
110	48,9	193,6	14,6	34,6	58,5	23,8
120	56,3	206,6	17,9	35,5	60,6	25,1
130	63,9	219,9	21,4	36,2	62,5	26,2
140	71,7	233,4	25,0	36,9	64,1	27,3
150	79,6	247,1	28,9	37,4	65,6	28,2
160	87,7	260,9	32,9	37,8	66,9	29,1
170	95,8	274,9	37,0	38,2	68,1	29,9
180	104,1	288,9	41,2	38,5	69,2	30,6
190	112,4	303,0	45,5	38,8	70,1	31,3
200	120,9	317,3	49,9	39,1	71,0	31,9

Bis zu einer Einfallshöhe von 140 entspricht die konvexe Oberfläche dieser Linse nach DIN ISO 10110-12 (siehe oben) ohne weitere asphärische Parameter in den höheren Gliedern relativ genau der Beziehung für einen Hyperboloiden mit der konischen Konstante k = -2:

${\displaystyle z(H)={\frac {H^{2}}{R_{0}\left(1+{\sqrt {1+\left({\frac {H}{R_{0}}}\right)^{2}}}\right)}}={\frac {H^{2}}{R_{0}+{\sqrt {R_{0}^{2}+H^{2}}}}}}$

Schleifen

Schleifen ist das älteste, aber auch aufwändigste Verfahren, um asphärische Glaslinsen herzustellen. Schon mehrere Jahrzehnte gibt es Fotoobjektive mit solchen Linsen, aber bis zur Serienreife von Abformverfahren waren sie auf besonders hochwertige und teure Objektive beschränkt. Seit dem Jahr 2000 hat sich die Maschinentechnik auf Basis von CNC-Steuerungen soweit weiterentwickelt, dass heute (Stand 2013) der Einsatz von CNC-Maschinen zur Fertigung von Asphären gängige Praxis ist. Die CNC-Bearbeitung ermöglicht auch die Bearbeitung von Quarzen oder von Optiken mit großen Durchmessern, die mittels Abformung gar nicht oder nicht in der benötigten Güte hergestellt werden können.

Abformung

Dieses für Serienfertigung kostengünstige Verfahren wird häufig für Kamera-, Kondensorlinsen sowie für Laser-Pick-Up-Optiken bspw. in DVD-Playern eingesetzt.

• Asphärische Linsen aus Kunststoff können durch Abformen sehr preisgünstig hergestellt werden. Für Fotoobjektive ist jedoch ihre Formgenauigkeit und Konstanz ihrer Eigenschaften nicht gut genug.
• Man kann auf eine sphärische Glaslinse eine Kunststoffschicht mit asphärischer Oberfläche aufpressen. Die Qualität eines solchen Elements ist für Fotoobjektive mittlerer Güte ausreichend.
• Für hochwertige Fotoobjektive wird seit den 1970er Jahren eine Glaslinse direkt mit einer abgeformten asphärischen Oberfläche hergestellt (Blankpressen). Man braucht dafür aber geeignete Gläser mit nicht zu hoher Transformationstemperatur, denn das Material der Pressstempel ist nur begrenzt temperaturbeständig. Man kann somit nicht jedes optische Glas verwenden.

Magnetorheologisches Polieren

Als magnetorheologisches Polieren (englisch Magneto Rheological Finishing, MRF) bezeichnet man ein Polierverfahren von optischen Komponenten wie Linsen. Das Verfahren kann auch zur lokalen Korrektur eingesetzt werden.

Ion-Beam Figuring

Ion-Beam Figuring (auch Ion-Milling genannt) ist ein Oberflächenbearbeitungsverfahren, bei dem das Material mittels eines Ionenstrahls abgetragen wird, sozusagen ein Sandstrahler auf atomarer Ebene.

Mechanische Spannung

Die Optik kann während des Schleifens durch Krafteinwirkung verformt werden; sie wird dann sphärisch geschliffen. Die sphärische Fläche entformt sich nach Lösen der Verspannung und ergibt so die Asphäre. Ein Beispiel hierfür ist die Schmidt-Platte, diese wird durch einen Unterdruck verformt und dann auf einer Seite plan geschliffen.

Alternativ kann eine sphärische Fläche durch Krafteinwirkung zu einer Asphäre verformt werden.

Taktile Vermessung

Taktile Messungen werden zwischen zwei Arbeitsgängen des Schleifens durchgeführt, um die Form der Asphäre zu kontrollieren und den nachfolgenden Arbeitsschritt anzupassen. Dabei wird mit einem s.g. Taster ein Schnitt über die Oberfläche gemessen. Durch die Rotationssymmetrie der Linse liefert die Kombination mehrerer dieser Profile Kenntnis über deren Form. Nachteil taktiler Verfahren ist die mögliche Beschädigung der Linsenoberfläche durch den Taster.

Optische/berührungslose Vermessung

Interferometer kommen zum Einsatz, wenn empfindliche oder fertig polierte Flächen vermessen werden. Durch Überlagerung eines Referenzstrahls mit dem von der zu messenden Fläche reflektierten Strahl entstehen Fehlerkarten, so genannte Interferogramme, welche eine vollflächige der Oberflächenformabweichung darstellen.