Vertikale Asymptote

Vertikale (oder „senkrechte“) Asymptoten sind Geraden, die parallel zur y-Achse verlaufen. Einem ${\displaystyle x}$ wären in diesem Falle mehrere ${\displaystyle y}$ „zugeordnet“. Entsprechend lassen sich solche Geraden nicht als Graph einer Funktion ${\displaystyle f_{a}}$ beschreiben. Vertikale Asymptoten werden über die Gleichung

${\displaystyle x=x_{v}}$

beschrieben. Im Punkt ${\displaystyle P(x_{v}|0)}$ schneidet die vertikale Asymptote die x-Achse des Koordinatensystems.

Eine zu betrachtende Funktion ${\displaystyle f}$ hat eine solche vertikale Asymptote, wenn der Funktionswert ${\displaystyle y}$ an einer Stelle ${\displaystyle x_{v}}$ gegen unendlich läuft. Anders gesagt: Nähert man sich auf der x-Achse von links oder rechts der Stelle ${\displaystyle x_{v}}$, so geht ${\displaystyle y}$ gegen positiv oder negativ Unendlich. Mathematisch lässt sich dies wie folgt ausdrücken:

${\displaystyle \lim _{x\nearrow x_{v}}f(x)=\pm \infty }$,

oder

${\displaystyle \lim _{x\searrow x_{v}}f(x)=\pm \infty }$.

Im Unterschied zu anderen im Artikel angesprochenen Asymptoten ${\displaystyle f_{a}}$, werden hier Grenzwerte gegen eine relle Zahl und nicht gegen ${\displaystyle \pm }$ untersucht. Daher kann eine reelle Funktion auch mehrere vertikale Asymptoten besitzen. Beispiele solcher Funktionen sind Tangens und Kotangens.

Eine vertikale Asymptote einer reellen Funktion liegt immer an einer Singularität. Handelt es sich bei der Singularität um eine Polstelle, so nennt man die vertikale Asymptote auch Polgerade. Es gibt allerdings auch Asymptoten an wesentlichen Singularitäten also an Punkten, die keine Polstellen sind. Ein Beispiel dafür ist die Funktion ${\displaystyle \exp(1/x)}$.

Horizontale Asymptote

Horizontale (oder „waagerechte“) Asymptoten sind Geraden, die parallel zur x-Achse verlaufen. Sie können über die Gleichung

${\displaystyle y=h}$

beschrieben werden. Dies entspricht einer Geradengleichung der Form ${\displaystyle y=m\cdot x+n}$ mit ${\displaystyle m=0}$. Als Funktion geschrieben haben horizontale Asymptoten die Form

${\displaystyle f_{a}(x)=h}$.

Der Wert ${\displaystyle h}$ entspricht dann dem ${\displaystyle n}$ in der Geradengleichung. Im Punkt ${\displaystyle P(0|h)}$ schneidet die horizontale Asymptote die y-Achse des Koordinatensystems.

Eine zu betrachtende Funktion ${\displaystyle f}$ hat eine solche horizontale Asymptote, wenn der Funktionswert ${\displaystyle y}$ im positiven oder negativen Unendlichen gegen den Wert ${\displaystyle h}$ läuft. Mathematisch lässt sich diese Bedingung mittels Grenzwert ausdrücken:

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=h}$

oder

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=h}$

Und dies analog den schiefen Asymptoten als Differenz geschrieben wäre dann:

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }[f(x)-h]=0}$

oder

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }[f(x)-h]=0}$

Bekannte Funktionen mit einer horizontalen Asymptote sind Exponential- und Hyperbelfunktionen.

Die letztgenannten Hyperbeln, wie zum Beispiel ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$ sind das klassische Beispiel für Funktionen mit vertikaler und horizontaler Asymptote:

• Die vertikale Asymptote dieser Funktion ist die Gerade ${\displaystyle x=0}$, die die x-Achse an der Stelle ${\displaystyle x_{\text{v}}=0}$ schneidet, was gleichzeitig die Polstelle dieser Hyperbelfunktion darstellt. Anders ausgedrückt: Der Schnittpunkt der vertikalen Asymptote mit der x-Achse ist in ${\displaystyle P(x_{\text{v}}|0)=P(0|0)}$, was dem Ursprung des Koordinatensystems entspricht.
• Die horizontale Asymptote dieser Funktion ist die Gerade ${\displaystyle f_{a}(x)=0}$, mit also ${\displaystyle h=0}$. Die y-Achse wird folglich im Punkt ${\displaystyle P(0|h)=P(0|0)}$ geschnitten, also ebenfalls im Koordinatenursprung.

Schiefe Asymptoten

Schiefe (oder „schräge“, „geneigte“) Asymptoten lassen sich mittels der Geradengleichung:

${\displaystyle y=m\cdot x+n}$ mit ${\displaystyle m,n\in \mathbb {R} }$

oder als Funktion:

${\displaystyle f_{a}(x)=m\cdot x+n}$

darstellen. Wichtig hierbei: ${\displaystyle m\neq 0}$, sonst wäre es eine horizontale Asymptote. Und wie man es von solchen linearen Funktionen kennt, läuft der Graph von ${\displaystyle f_{a}}$ in x- und y-Richtung gegen Unendlich.

Eine zu betrachtende Funktion ${\displaystyle f}$ hat eine solche schiefe Asymptote ${\displaystyle f_{a}}$, wenn sie sich dieser im Unendlichen annähert. Diese Bedingung/Eigenschaft sieht mathematisch wie folgt aus:

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=f_{a}}$

oder

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=f_{a}}$

Anders gesagt: Eine Annäherung im Unendlichen heißt, dass der senkrechte Abstand zwischen Funktion und ihrer Asymptote im Unendlichen gegen Null läuft. Mathematisch stellt ein Abstand eine Differenz dar. Betrachtet man also diese Differenz zwischen der Funktion ${\displaystyle f}$ und ihrer Asymptote ${\displaystyle f_{a}}$ so läuft die Differenz im Unendlichen gegen Null:

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }[f(x)-f_{a}(x)]=0}$

oder

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }[f(x)-f_{a}(x)]=0}$