In der Differentialgeometrie ist eine asymptotisch flache Mannigfaltigkeit eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, deren Krümmung im Unendlichen verschwindend gering wird.

Genauer soll für die Norm des Riemannschen Krümmungstensors im Abstand ${\displaystyle r}$ von einem festen Basispunkt eine Ungleichung

${\displaystyle \vert Rm(x)\vert \leq {\frac {K(r)}{r^{2}}}}$

gelten mit einer monoton fallenden positiven Funktion ${\displaystyle K(s)}$, für die ${\displaystyle \textstyle \int _{1}^{\infty }{\frac {K(s)}{s}}ds<\infty }$ ist.

Asymptotisch flache Mannigfaltigkeiten sind homotopie-äquivalent zum Inneren einer kompakten Mannigfaltigkeit mit Rand. Aus dem Volumenvergleichssatz von Bishop-Gromov folgt, dass das Volumenwachstum einer asymptotisch flachen ${\displaystyle n}$-Mannigfaltigkeit höchstens polynomiell vom Grad ${\displaystyle n}$ ist. Falls das Volumenwachstum tatsächlich Grad ${\displaystyle n}$ hat, ist die Mannigfaltigkeit asymptotisch lokal euklidisch.

Einzelnachweise

1. ↑ A. Petrunin, W. Tuschmann: Asymptotical flatness and cone structure at infinity. Math. Ann. 321, 775–788 (2001)
2. ↑ S. Bando, A. Kasue, H. Nakajima: On a construction of coordinates at infinity on manifolds with fast curvature decay and maximal volume growth. Invent. Math. 97, 313–349 (1989)