Definition

Für eine reelle Zahl ${\displaystyle x}$ ist ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich ${\displaystyle x}$ ist:

${\displaystyle \lfloor x\rfloor$ :=\max\{k\in \mathbb {Z} \mid k\leq x\}}

Beispiele

• ${\displaystyle \lfloor 2{,}8\rfloor =2}$
• ${\displaystyle \lfloor -2{,}8\rfloor =-3}$

  Man beachte, dass ${\displaystyle \lfloor -2{,}8\rfloor }$ nicht etwa gleich ${\displaystyle -2}$ ist. Die Definition verlangt ja ${\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq x}$, und es ist ${\displaystyle -2>-2{,}8}$.

• ${\displaystyle \lfloor -2{,}2\rfloor =-3}$
• ${\displaystyle \lfloor 2\rfloor =2}$

Eigenschaften

• Für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,x\in \mathbb {R} }$ gilt

  ${\displaystyle k\leq \lfloor x\rfloor \Longleftrightarrow k\leq x}$.

• Es gilt immer ${\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq x<\lfloor x\rfloor +1}$. Dabei ist ${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x}$ genau dann, wenn ${\displaystyle x}$ eine ganze Zahl ist.
• Für jede ganze Zahl ${\displaystyle k}$ und jede reelle Zahl ${\displaystyle x}$ gilt

  ${\displaystyle \lfloor x+k\rfloor =\lfloor x\rfloor +k}$.

• Für alle reellen Zahlen ${\displaystyle x,y}$ gilt

  ${\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor \leq \lfloor x+y\rfloor \leq \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1}$.

• Für jede ganze Zahl ${\displaystyle k}$ und jede natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ gilt

  ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {k}{n}}\right\rfloor \geq {\frac {k-n+1}{n}}}$.

• Die Abrundungsfunktion ist idempotent: Es gilt

  ${\displaystyle {\bigl \lfloor }\lfloor x\rfloor {\bigr \rfloor }=\lfloor x\rfloor }$.

• Sind ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle n}$ teilerfremde natürliche Zahlen, dann gilt

  ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {jm}{n}}\right\rfloor ={\frac {(m-1)(n-1)}{2}}}$.

• Die Abrundungsfunktion ist nicht stetig, aber oberhalbstetig.
• Für nichtganze reelle ${\displaystyle x}$ konvergiert die Fourierreihe der ${\displaystyle 1}$-periodischen Funktion ${\displaystyle \lfloor x\rfloor -x}$, und es gilt

  ${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin {(2k\pi x)}}{k}}}$.

• Sind ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, so gilt
  ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor }$.
  Daraus folgt direkt, dass, falls ${\displaystyle m\neq 0}$,
  ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {\lfloor x/m\rfloor }{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor }$.
  Ferner gilt auch
  ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {m}{n}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {m-n+1}{n}}\right\rceil }$.
• Für reelle Zahlen ${\displaystyle x,y\geq 0}$ gilt außerdem
  ${\displaystyle \lfloor x\rfloor \cdot \lfloor y\rfloor \leq \lfloor x\cdot y\rfloor }$

Programmierung

Programmiersprachen setzen dies mit Funktionen wie Int(), Floor() oder entier um.

Definition

Für eine reelle Zahl ${\displaystyle x}$ ist ${\displaystyle \lceil x\rceil }$ die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich ${\displaystyle x}$ ist.

${\displaystyle \lceil x\rceil$ :=\min\{k\in \mathbb {Z} \mid k\geq x\}}

Beispiele

• ${\displaystyle \lceil 2{,}8\rceil =3}$
• ${\displaystyle \lceil 2{,}3\rceil =3}$
• ${\displaystyle \lceil -2{,}8\rceil =-2}$
• ${\displaystyle \lceil 2\rceil =2}$

Eigenschaften

• Es gilt analog
  ${\displaystyle \lceil \lceil x\rceil \rceil =\lceil x\rceil }$.
• Sind ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, so gilt
  ${\displaystyle \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil }$.
  Daraus folgt direkt, dass, falls ${\displaystyle m\neq 0}$,
  ${\displaystyle \left\lceil {\frac {\lceil x/m\rceil }{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {x}{mn}}\right\rceil }$.

Programmierung

Programmiersprachen setzen dies mit Funktionen wie ceil() oder ceiling um.

Gaußklammer und Dezimalstellen

Es gilt für positive Zahlen:

${\displaystyle x=\lfloor x\rfloor +\operatorname {frac} (x)}$

Die Funktion ${\displaystyle \operatorname {frac} (x)}$ liefert dabei den Nachkommaanteil mit ${\displaystyle 0\leq \operatorname {frac} (x)<1}$.

Zusammenhänge zwischen Auf- und Abrundungsfunktion

• Es ist stets
  ${\displaystyle \lceil x\rceil +\lfloor -x\rfloor =0}$
  Deshalb erhält man die Aufrundungsfunktion aus der Gaußklammerfunktion per
  ${\displaystyle \lceil x\rceil =-\lfloor -x\rfloor }$
• Es ist stets
  ${\displaystyle \left\lceil x\right\rceil \leq y\Longleftrightarrow x\leq \left\lfloor y\right\rfloor }$
  ${\displaystyle \left\lfloor x\right\rfloor <y\Longleftrightarrow x<\left\lceil y\right\rceil }$
• Für ganze Zahlen ${\displaystyle k}$ gilt:
  ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {k}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {k}{2}}\right\rceil =k}$

Kaufmännische Rundung

Die kaufmännische Rundung auf die nächstliegende ganze Zahl kann auch mit diesen Funktionen ausgedrückt werden:

• ${\displaystyle \lfloor x+0{,}5\rfloor }$ für ${\displaystyle x\geq 0}$
• ${\displaystyle \lceil x-0{,}5\rceil }$ für ${\displaystyle x<0}$

Dasselbe Ergebnis liefert, wenn auch mit einer etwas komplizierteren Formel, dafür ohne Fallunterscheidung bzgl. des Vorzeichens des Arguments, die Funktion

• ${\displaystyle \lfloor |x|+0{,}5\rfloor \cdot \operatorname {sgn}(x)}$.