Funktionales und stochastisches Modell

Jeder Ausgleichung geht eine Modellbildung voraus. Hierbei wird im Allgemeinen zwischen funktionalem Modell und stochastischem Modell unterschieden.

• Ein funktionales Modell beschreibt hierbei die mathematischen Relationen zwischen den bekannten (konstanten), unbekannten und den beobachteten Parametern. Die Beobachtungen stellen dabei stochastische Größen (Zufallsvariable) dar, z. B. mit zufälligen Störungen überlagerte Messungen.
  • Als einfaches Beispiel sei ein Dreieck genannt, in dem überzählige Messungen zu geometrischen Widersprüchen führen (z. B. Winkelsumme ungleich 180°). Das funktionale Modell dazu sind die Formeln der Trigonometrie; die Störungen können z. B. kleine Zielabweichungen bei jeder Winkelmessung sein.
• Das stochastische Modell beschreibt die Varianzen und Kovarianzen der beobachteten Parameter.

Das Ziel der Ausgleichung ist eine optimale Ableitung der unbekannten Werte (Parameter, z. B. die Koordinaten der Messpunkte) und der Maße für ihre Genauigkeit und Zuverlässigkeit im Sinne einer Zielfunktion. Für letztere wählt man meistens die minimale Summe der Abweichungsquadrate, doch können es für Sonderfälle beispielsweise auch minimale Absolutwerte oder andere Zielfunktionen sein.

Lösungsverfahren

Je nach funktionalem und stochastischem Modell werden verschiedene Ausgleichungsmodelle benutzt.

Das Hauptunterscheidungsmerkmal dabei ist,

• ob sich alle Beobachtungen als Funktionen von Unbekannten und Konstanten darstellen lassen,
• ob die Beobachtungen voneinander stochastisch unabhängig oder korreliert sind,
• ob die Relationen nur Beobachtungen und Konstanten aufweisen, jedoch keinerlei Unbekannte enthalten,
• ob es unter der Menge der Relationen auch solche gibt, die ausschließlich Beziehungen unter Konstanten und Unbekannten beschreiben und damit Restriktionen zwischen Unbekannten beschreiben.
• Bei gemischtem Auftreten von sehr verschiedenen Messgrößen – etwa bei geometrischen und physikalischen Messungen – wurden die Methoden der Ausgleichsrechnung von einigen Mathematikern und Geodäten um 1970 zur sogenannten Kollokation erweitert. Sie wird unter anderem für die Geoidbestimmung verwendet, siehe H. Moritz, H. Sünkel und C.C. Tscherning.

Die Ausgleichungsmodelle heißen:

• Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen: Die einzelnen Beobachtungen sind Funktionen der unbekannten Parameter.
• Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen mit Bedingungen zwischen den Unbekannten: Es bestehen zusätzliche Bedingungen zwischen den unbekannten Parametern.
• Ausgleichung nach bedingten Beobachtungen (bedingte Ausgleichung): Es werden Bedingungsgleichungen für die Beobachtungen aufgestellt, in denen die unbekannten Parameter nicht vorkommen. Die unbekannten Parameter können dann aus den ausgeglichenen Beobachtungen berechnet werden.
• Allgemeinfall der Ausgleichung: Es werden funktionale Beziehungen zwischen Beobachtungen und Parametern aufgestellt, in denen die Beobachtungen nicht explizit als Funktion der Parameter vorkommen.

Grafisches Verfahren

Während dem mathematischen Lösungsverfahren ein Modell zugrunde gelegt werden muss, ist das grafische Verfahren ohne solche Annahme möglich. Hier wird eine stetig gekrümmte ausgleichende Linie den Messpunkten angenähert. Je nach Hintergrundwissen (Erwartung an den Verlauf) oder persönlicher Bewertung (einzelne Messpunkte als „Ausreißer“) kann die Linie allerdings durchaus unterschiedlich ausfallen. Die Methode ist grundsätzlich weniger analytisch, bietet aber die Möglichkeit, schwer zu interpretierende Sachverhalte und Randbedingungen auszugleichen, was sich mathematisch oft schlecht formulieren lässt. Zum Zeichnen solcher Linien gibt es Schablonen(sätze), speziell die sog. Burmester-Schablonen sind gängig.

Allgemeine Ausgleichsrechnung

Gegeben seien die Messpunkte ${\displaystyle (t_{i},b_{i})\in \mathbb {R} ^{2},\;i=1,\dotsc ,m}$. Die Modellfunktion ${\displaystyle \phi }$ habe Parameter ${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {R} ,\;i=1,\dotsc ,n}$, wobei ${\displaystyle m\geq n}$ gelten soll. Die Modellfunktion ${\displaystyle \phi }$ hängt dabei von den Messpunkten ${\displaystyle t_{i}}$ und den Parametern ${\displaystyle x_{i}}$ ab und soll die Messpunkte ${\displaystyle b_{i}}$ annähern. Kurz geschrieben als:

${\displaystyle \phi (t_{i};x_{1},\dotsc ,x_{n})\sim b_{i},\quad i=1,\dotsc ,m.}$

Es werden nun Parameter ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ gesucht, welche die Messpunkte „gut“ annähern:

${\displaystyle \|b-\phi (x)\|=\min _{y\in \mathbb {R} ^{n}}\|b-\phi (y)\|}$,

wobei die folgenden Definitionen getroffen wurden:

${\displaystyle {\begin{aligned}b&:=(b_{i})_{i=1,\dotsc ,m}\\\phi (x)&:=\phi (t_{i};x_{1},\dotsc ,x_{n}).\end{aligned}}}$

Wie „gut“ die Modellfunktion mit den gewählten Parametern die Messpunkte annähert, hängt von der gewählten Norm ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ab. Die folgenden Normen sind gebräuchlich:

• ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ – nach Gauß, kleinste Fehlerquadrate
• ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ – ${\displaystyle L^{1}}$-Ausgleichsrechnung
• ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$ – Tschebyscheff-Ausgleichsrechnung

Lineare Ausgleichsrechnung

Die Abhängigkeit der Modellfunktion von den Parametern ${\displaystyle x}$ kann im Spezialfall als linear angenommen werden:

${\displaystyle \phi (x)=Ax\quad {\text{mit}}\;A\in \mathbb {R} ^{m\times n}.}$

Das lineare Ausgleichsproblem lautet nun: Für ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{m},A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$ suche ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, sodass

${\displaystyle \|b-Ax\|_{2}=\min _{y\in \mathbb {R} ^{n}}\|b-Ay\|_{2}}$

gilt.

Diese Definition ist äquivalent dazu, dass ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ die Normalengleichungen erfüllt:

${\displaystyle A^{T}Ax=A^{T}b.}$

Die Existenz einer Lösung ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ist stets gegeben und die Eindeutigkeit, falls ${\displaystyle A}$ vollen Rang hat: ${\displaystyle \mathrm {rang} (A)=n}$.

Die Beweise zur Äquivalenz der Normalengleichung und Eindeutigkeit können in (Reusken, 2006) nachgelesen werden.

Gestörte rechte Seite

Seien ${\displaystyle x^{*}}$ und ${\displaystyle {\tilde {x}}^{*}}$ die Lösungen des linearen Ausgleichsproblems mit rechter Seite ${\displaystyle b}$ bzw. gestörter rechter Seite ${\displaystyle {\tilde {b}}}$, also:

${\displaystyle A^{T}Ax^{*}=A^{T}b\quad {\text{und}}\quad A^{T}A{\tilde {x}}^{*}=A^{T}{\tilde {b}}.}$

Die Konditionierung dieses Problems lautet nun:

${\displaystyle {\frac {\|x^{*}-{\tilde {x}}^{*}\|_{2}}{\|x^{*}\|_{2}}}\leq {\frac {\kappa _{2}(A)}{\cos \Theta }}{\frac {\|b-{\tilde {b}}\|_{2}}{\|b\|_{2}}}.}$

Der Beweis kann in (Reusken, 2006) nachgelesen werden.

Für ${\displaystyle \Theta =0}$ erhält man somit die Konditionierung des linearen Gleichungssystems ${\displaystyle Ax=b}$ und für ${\displaystyle \Theta ={\frac {\pi }{2}}}$ beliebig große Störempfindlichkeit.

Gestörte Matrix

Seien ${\displaystyle x^{*}}$ bzw. ${\displaystyle {\tilde {x}}^{*}}$ die Lösung des linearen Ausgleichsproblems zur Matrix ${\displaystyle A}$ bzw. ${\displaystyle {\tilde {A}}}$, also:

${\displaystyle A^{T}Ax^{*}=A^{T}b\quad {\text{und}}\quad {\tilde {A}}^{T}{\tilde {A}}{\tilde {x}}^{*}={\tilde {A}}^{T}b.}$

Die Konditionierung dieses Problems lautet nun:

${\displaystyle {\frac {\|x^{*}-{\tilde {x}}^{*}\|_{2}}{\|x^{*}\|_{2}}}\leq \left(\kappa _{2}(A)+\kappa _{2}(A)^{2}\tan \Theta \right){\frac {\|A-{\tilde {A}}\|_{2}}{\|A\|_{2}}}.}$

Der Beweis kann in (Deuflhard, 2002) nachgelesen werden.

Übergang auf Vektornotation

Die weitere Rechnung wird erleichtert, wenn man zur Vektor- und Matrizenschreibweise übergeht. Die Rechnung ist dann ohne weiteres auch auf höhere Dimensionen erweiterbar.

${\displaystyle x_{k}^{\text{T}}=(x_{k}^{1},x_{k}^{2},x_{k}^{3})}$ sowie ${\displaystyle x_{\text{p}}^{\text{T}}=(x_{\text{p}}^{1},x_{\text{p}}^{2},x_{\text{p}}^{3})}$. Die Vektorpfeile sind in der Notation unterdrückt; Vektoren werden als 3x1-Matrix (in der Transponierten als 1x3-Matrix) behandelt.

Die Koeffizienten der Ebene werden zu einem Ebenennormalenvektor ${\displaystyle e^{T}=(a,b,c)}$ zusammengefasst.

Damit:

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}(e^{T}(x_{k}-x_{p}))^{2}}$ soll minimal werden (mit der Nebenbedingung ${\displaystyle |e|={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=1}$ )

Mit den Rechenregeln für Matrizen, insbesondere ${\displaystyle (AB)C=A(BC)}$ und ${\displaystyle (AB)^{T}=B^{T}A^{T}}$, erhält man

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}(e^{T}(x_{k}-x_{p}))^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}[e^{T}(x_{k}-x_{p})][e^{T}(x_{k}-x_{p})]={\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}[e^{T}(x_{k}-x_{p})][(x_{k}-x_{p})^{T}e]^{T}}$. In der letzten eckigen Klammer (${\displaystyle [(x_{k}-x_{p})^{T}e]}$) steht eine 1x1-Matrix, so dass das Transponieren weggelassen werden kann. Wir erhalten somit:

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}[e^{T}(x_{k}-x_{p})][(x_{k}-x_{p})^{T}e]={\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}e^{T}[(x_{k}-x_{p})(x_{k}-x_{p})^{T}]e=e^{T}[{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}(x_{k}-x_{p})(x_{k}-x_{p})^{T}]e}$

In der letzten eckigen Klammer steht die Schätzfunktion der Kovarianzmatrix C :

${\displaystyle {\hat {C}}={\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}(x_{k}-x_{p})(x_{k}-x_{p})^{T}={\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}{\begin{pmatrix}x_{k}^{1}-x_{\text{p}}^{1}\\x_{k}^{2}-x_{\text{p}}^{2}\\x_{k}^{3}-x_{\text{p}}^{3}\end{pmatrix}}}$ (${\displaystyle x_{k}^{1}-x_{\text{p}}^{1},x_{k}^{2}-x_{\text{p}}^{2},x_{k}^{3}-x_{\text{p}}^{3}}$) = ${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}{\begin{pmatrix}(x_{k}^{1}-x_{\text{p}}^{1})^{2}&(x_{k}^{1}-x_{\text{p}}^{1})(x_{k}^{2}-x_{\text{p}}^{2})&(x_{k}^{1}-x_{\text{p}}^{1})(x_{k}^{3}-x_{\text{p}}^{3})\\(x_{k}^{2}-x_{\text{p}}^{2})(x_{k}^{1}-x_{\text{p}}^{1})&(x_{k}^{2}-x_{\text{p}}^{2})^{2}&(x_{k}^{2}-x_{\text{p}}^{2})(x_{k}^{3}-x_{\text{p}}^{3})\\(x_{k}^{3}-x_{\text{p}}^{3})(x_{k}^{1}-x_{\text{p}}^{1})&(x_{k}^{3}-x_{\text{p}}^{3})(x_{k}^{2}-x_{\text{p}}^{2})&(x_{k}^{3}-x_{\text{p}}^{3})^{2}\end{pmatrix}}}$

Also:

${\displaystyle (a,b,c){\hat {C}}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}}$ soll minimal werden (mit der Nebenbedingung ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1}$ )

Man hat es jetzt mit einer Quadratischen Form zu tun und deren Minimum über der Einheitssphäre.

Das Minimum ist der normierte Eigenvektor zum kleinsten Eigenwert der Kovarianzmatrix. Daher ist der Eigenvektor der Kovarianzmatrix zum kleinsten Eigenwert der Normalenvektor der gesuchten Ebene.