Die p-Banach-Saks-Eigenschaft

Ein Banachraum hat die ${\displaystyle p}$-Banach-Saks-Eigenschaft, wenn jede beschränkte Folge ${\displaystyle (x_{m})_{m}}$ in ${\displaystyle X}$ eine Teilfolge ${\displaystyle (x_{m_{n}})_{n}}$ enthält, für die es ein ${\displaystyle x\in X}$ und eine Konstante ${\displaystyle C>0}$ gibt mit ${\displaystyle \left\|\sum _{n=1}^{N}(x_{m_{n}}-x)\right\|\leq C\cdot N^{\frac {1}{p}}}$ für alle ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$. (Die Konstante ${\displaystyle C>0}$ kann dabei von der betrachteten Folge abhängen, nicht aber von ${\displaystyle N}$.)

Aus der ${\displaystyle p}$-Banach-Saks-Eigenschaft, ${\displaystyle p>1}$, folgt die Banach-Saks-Eigenschaft, denn ${\displaystyle \left\|{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}x_{m_{n}}-x\right\|={\frac {1}{N}}\left\|\sum _{n=1}^{N}(x_{m_{n}}-x)\right\|\leq {\frac {1}{N}}\cdot C\cdot N^{\frac {1}{p}}=C\cdot N^{{\frac {1}{p}}-1}\rightarrow 0}$.

Stefan Banach und Stanisław Saks haben in ihrer 1930er Arbeit im Wesentlichen gezeigt, dass die L^p([0,1])-Räume für ${\displaystyle 1<p<\infty }$ die heute so genannte p-Banach-Saks-Eigenschaft haben. Das ist historisch der Ausgangspunkt für die Untersuchung der Banach-Saks-Eigenschaft.

Die alternierende Banach-Saks-Eigenschaft

Da Banachräume mit der Banach-Saks-Eigenschaft reflexiv sind, stellt sich die Frage, welche Eigenschaft umgekehrt ein reflexiver Baum haben muss, um die Banach-Saks-Eigenschaft zu haben. Dabei kommt die hier vorgestellte Eigenschaft ins Spiel: Ein Banachraum ${\displaystyle X}$ hat die alternierende Banach-Saks-Eigenschaft, wenn jede beschränkte Folge ${\displaystyle (x_{m})_{m}}$ in ${\displaystyle X}$ eine Teilfolge ${\displaystyle (x_{m_{n}})_{n}}$ besitzt, so dass ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}x_{m_{n}}}$ bezüglich der Normtopologie konvergiert. M. I. Ostrowskii hat folgende Charakterisierung gezeigt:

• Ein Banachraum hat genau dann die Banach-Saks-Eigenschaft, wenn er reflexiv ist und die alternierende Banach-Saks-Eigenschaft hat.

Die schwache Banach-Saks-Eigenschaft

Ein Banachraum hat die schwache Banach-Saks-Eigenschaft, wenn jede schwache Nullfolge ${\displaystyle (x_{m})_{m}}$ in X eine Cesàro-konvergente Teilfolge ${\displaystyle (x_{m_{n}})_{n}}$ hat, das heißt, es gibt ein ${\displaystyle x\in X}$ mit ${\displaystyle \left\|{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}x_{m_{n}}-x\right\|\rightarrow 0}$.

Da schwache Nullfolgen beschränkt sind, folgt aus der Banach-Saks-Eigenschaft die schwache Banach-Saks-Eigenschaft. Die Räume ${\displaystyle L^{1}([0,1])}$ (bewiesen von W. Schlenk) und die Folgenräume ${\displaystyle c_{0}}$ und ${\displaystyle \ell ^{1}}$ haben die schwache Banach-Saks-Eigenschaft, aber wegen fehlender Reflexivität nicht die Banach-Saks-Eigenschaft. Der Funktionenraum ${\displaystyle C([0,1])}$ und der Folgenraum ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ sind Beispiele für Banachräume ohne die schwache Banach-Saks-Eigenschaft. Die schwache Banach-Saks-Eigenschaft vererbt sich auf abgeschlossene Teilräume, nicht jedoch auf Quotientenräume.

Auch für die p-Banach-Saks-Eigenschaft gibt es eine schwache Variante: Ein Banachraum hat die schwache ${\displaystyle p}$-Banach-Saks-Eigenschaft, wenn jede schwache Nullfolge ${\displaystyle (x_{m})_{m}}$ in ${\displaystyle X}$ eine Teilfolge ${\displaystyle (x_{m_{n}})_{n}}$ enthält, für die es ein ${\displaystyle x\in X}$ und eine Konstante ${\displaystyle C>0}$ gibt mit ${\displaystyle \left\|\sum _{n=1}^{N}(x_{m_{n}}-x)\right\|\leq C\cdot N^{\frac {1}{p}}}$.

Aus der p-Banach-Saks-Eigenschaft folgt die schwache p-Banach-Saks-Eigenschaft, denn schwache Nullfolgen sind beschränkt, und aus der schwachen p-Banach-Saks-Eigenschaft folgt die schwache Banach-Saks-Eigenschaft, ${\displaystyle 1<p<\infty }$.