Konvergente Folgen in topologischen Räumen

Ist ${\displaystyle (X,d)}$ ein metrischer Raum, so konvergiert eine Folge ${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ mit ${\displaystyle x_{i}\in X}$ gegen ${\displaystyle x\in X}$, wenn

${\displaystyle \forall \epsilon >0\ \exists n\in \mathbb {N} \ \forall i\geq n:\ d(x_{i},x)<\epsilon }$.

Das bedeutet, dass die Folge genau dann gegen ${\displaystyle x}$ konvergiert, wenn es für jede positive reelle Zahl ${\displaystyle \epsilon }$ eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ gibt, sodass alle Folgenglieder ab dem ${\displaystyle n}$-ten Glied einen Abstand von ${\displaystyle x}$ haben, der kleiner als ${\displaystyle \epsilon }$ ist.

In beliebigen topologischen Räumen treten die Umgebungen an Stelle der offenen ε-Kugeln ${\displaystyle B_{\epsilon }(x)=\{y\in X\mid d(y,x)<\epsilon \}}$. Ist ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum, so konvergiert eine Folge ${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ mit ${\displaystyle x_{i}\in X}$ gegen ${\displaystyle x\in X}$, wenn es zu jeder Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle x}$ ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gibt, sodass ${\displaystyle x_{i}\in U}$ gilt für alle ${\displaystyle i\geq n}$.

Folgenkompaktheit

Ein topologischer Raum ${\displaystyle X}$ wird folgenkompakt genannt, wenn jede Folge ${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ mit ${\displaystyle x_{i}\in X}$ eine konvergente Teilfolge enthält. Entsprechend nennt man einen Teilraum ${\displaystyle K\subset X}$ folgenkompakt, wenn jede Folge ${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ mit ${\displaystyle x_{i}\in K}$ eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in ${\displaystyle K}$ besitzt.

Ein kompakter Hausdorff-Raum, der nicht folgenkompakt ist

Die Menge ${\displaystyle \{0,1\}}$, versehen mit der diskreten Topologie, ist kompakt, daher ist nach dem Satz von Tychonoff auch die Menge ${\displaystyle \{0,1\}^{[0,1]}}$ aller Funktionen von dem Intervall ${\displaystyle [0,1]}$ nach ${\displaystyle \{0,1\}}$, versehen mit der Produkttopologie kompakt, außerdem ist dieser Raum hausdorffsch.

Dass ${\displaystyle \{0,1\}^{[0,1]}}$ mit der Produkttopologie versehen ist, bedeutet, dass eine Folge von Funktionen konvergiert, wenn sie punktweise konvergiert.

Dieser Raum ist aber nicht folgenkompakt:

Eine Folge von Funktionen, die keine konvergente Teilfolge enthält, kann wie folgt definiert werden:

In der zum Dezimalbruch analogen Schreibweise im Dualsystem sind die Nachkommastellen einer reellen Zahl eine unendliche Folge von Nullen und Einsen.

Die Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\ (a_{n}\in \{0,1\}^{[0,1]})}$ wird nun wie folgt definiert: ${\displaystyle a_{n}(x)}$ ist die ${\displaystyle n}$-te Nachkommastelle der Zahl ${\displaystyle x}$.

Zu einer Teilfolge ${\displaystyle (a_{n_{k}})_{n\in \mathbb {N} }}$ kann nun wie folgt eine Zahl ${\displaystyle y}$ definiert werden. In der binären Kommadarstellung hat ${\displaystyle y}$ an der ${\displaystyle n_{k}}$-ten Stelle eine ${\displaystyle 0}$, wenn ${\displaystyle k}$ gerade ist und eine ${\displaystyle 1}$, wenn ${\displaystyle k}$ ungerade ist, an den weiteren Stellen eine ${\displaystyle 0}$. Das bedeutet, dass die Folge ${\displaystyle (a_{n_{k}})_{n\in \mathbb {N} }}$ nicht konvergiert, da im Punkt ${\displaystyle y}$ die Werte hin- und herspringen. Die Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ kann also keine konvergente Teilfolge haben.

Da der Raum kompakt ist, besitzt die Folge ${\displaystyle (a_{n})}$ jedoch ein konvergentes Teilnetz.

Ein folgenkompakter Raum, der nicht kompakt ist

Die erste überabzählbare Ordinalzahl ${\displaystyle \omega _{1}}$ (also die überabzählbare Menge aller abzählbaren Ordinalzahlen ${\displaystyle [0,\omega _{1})}$) ist durch die Relation ${\displaystyle <}$ (die ${\displaystyle \in }$-Relation) wohlgeordnet und trägt daher die Topologie dieser Ordnung.

Ist nun ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge von Ordinalzahlen, so ist die kleinste Ordinalzahl mit der Eigenschaft, dass nur endlich viele Folgenglieder größer als sie sind, ein Häufungspunkt dieser Folge und die Folge kann zu einer konvergenten Folge ausgedünnt werden. Der Raum ist daher abzählbar kompakt und folgenkompakt.

Die Familie ${\displaystyle \bigcup _{\alpha <\omega _{1}}\alpha =\bigcup _{\alpha <\omega _{1}}\{\beta \mid \beta <\alpha \}}$ von offenen Mengen überdeckt die Menge aller abzählbaren Ordinalzahlen. Eine endliche Teilfamilie enthält aber nur abzählbar viele Elemente von ${\displaystyle \omega _{1}}$. ${\displaystyle \omega _{1}}$ ist daher nicht kompakt.

Dass die Menge ${\displaystyle [0,\omega _{1})}$ nicht kompakt ist, liegt daran, dass sie die Limesordinalzahl ${\displaystyle \omega _{1}}$ nicht enthält. Diese ist aber nicht der Limes einer abzählbaren Folge, sondern nur der Limes eines überabzählbaren Netzes (etwa gegeben durch alle abzählbaren Ordinalzahlen in ihrer natürlichen Reihenfolge).