Die bellsche Ungleichung (englisch Bell’s Theorem) betrifft Messreihen an Teilchenpaaren. Sie wurde 1964 von John Stewart Bell veröffentlicht, um den „lokalen Realismus“, ein Konzept von Albert Einstein, zu analysieren. Dabei bedeutet Lokalität, dass Signale (jede Art von Information und Kausalität) sich maximal mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten können. Realismus bedeutet, dass Eigenschaften der Teilchen auch dann einen definierten Wert besitzen, wenn die Werte nicht gemessen werden.

1935 hatten Albert Einstein, Boris Podolsky und Nathan Rosen, kurz EPR, argumentiert, dass die Quantentheorie unvollständig sein müsse. Einstein vertrat die Auffassung, dass der lokal-realistische Standpunkt der klassischen Physik dazu zwingt, den Teilchen individuelle Eigenschaften zuzuschreiben, die ihr eigenes Verhalten bei Messungen steuern und damit den quantenmechanischen Zufall vortäuschen.

Bell zeigte, dass bei allen Experimenten an verschränkten Teilchenpaaren die Messergebnisse die bellsche Ungleichung erfüllen müssen, falls für Teilchen die Annahmen des lokalen Realismus gelten. Die Quantentheorie sagt aber in bestimmten Fällen für verschränkte Teilchen die Verletzung der Ungleichung voraus. Mit seiner Ungleichung formulierte er somit einen experimentell überprüfbaren Widerspruch des einsteinschen Konzepts und den Vorhersagen der Quantenmechanik.

Was 1964 Bell als Gedankenexperiment beschrieb, wurde ab 1972 als echte Experimente, zuerst von Stuart Freedman und John Clauser, durchgeführt. Zahlreiche Experimente haben seither die Verletzung der Ungleichung für verschränkte Teilchenpaare nachgewiesen und die Vorhersagen der Quantenmechanik für alle Experimente bestätigt.

Aufgrund der Ergebnisse der Experimente gilt Einsteins Konzept des lokalen Realismus heute als widerlegt. Mindestens eines der beiden Prinzipien von Lokalität und Realismus muss bei der Betrachtung verschränkter Teilchenpaare aufgegeben werden.

Realismus und Lokalität

Die bellsche Ungleichung zeigte zunächst, dass aus der Gültigkeit bestimmter grundlegender Annahmen der Quantenmechanik ein Widerspruch zur gleichzeitigen Annahme von Realismus und Lokalität folgt:

1. Eine physikalische Theorie ist realistisch, wenn Messungen nur Eigenschaften ablesen, die unabhängig von der Messung vorliegen, wenn also das Ergebnis jeder denkbaren Messung (z. B. durch den Einfluss verborgener Parameter) schon feststeht, bevor es durch die Messung bekannt wird.
2. Eine physikalische Theorie ist nicht lokal, im Sinne der speziellen Relativitätstheorie, wenn in raumartiger Relation die Messergebnisse an zwei Teilchen korreliert sind, eine dem Zufall widersprechende Beziehung zeigen, ohne dass dies mit objektiv vorliegenden Eigenschaften der Teilchen erklärt werden könnte. Ein Einfluss einer Messung auf das andere Teilchen könnte höchstens mit Lichtgeschwindigkeit erfolgen, was in raumartiger Situation in der Relativitätstheorie ausgeschlossen ist.

Die Verwendung dieser Begriffe in der Analyse der Interpretation der Quantenmechanik stammt aus dem Aufsatz zum Gedankenexperiment von Albert Einstein, Boris Podolsky und Nathan Rosen (Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon oder kurz EPR-Paradoxon). Die Arbeit von Bell kann als quantitative Version dieses Paradoxons aufgefasst werden, mit der die Alternativen experimentell überprüft werden können.

„Klassische“ Theorien wie die Spezielle Relativitätstheorie oder die maxwellsche Elektrodynamik besitzen beide dieser Eigenschaften. Die bellsche Ungleichung ist damit in besonderer Weise dazu geeignet, eine Gegenüberstellung oder einen Vergleich der Eigenschaften von Quantenmechanik und klassischer Physik durchzuführen.

Die Quantenmechanik ist keine realistische lokale Theorie. Bestimmte in der Quantenmechanik berechnete Mittelwerte verletzen die bellsche Ungleichung. Daher kann die Quantenmechanik – im Gegensatz zu einer Annahme Albert Einsteins – nicht durch Hinzufügen von verborgenen Variablen zu einer realistischen und lokalen Theorie vervollständigt werden.

Bei verschränkten Photonenpaaren ist die Verletzung der bellschen Ungleichung gemessen worden. Ihre beobachteten Polarisationseigenschaften stimmen mit der Quantenmechanik überein und sind nicht mit der Annahme von Realität und Lokalität verträglich. Dies bedeutet, dass nicht alle Messwerte vor der Messung feststehen oder dass die Werte aus verschiedenen Messungen nichtlokal korreliert sein können, d. h. in Situationen, die etwa auf Grund der Entfernung den Einfluss einer auf die andere Messung ausschließen.

Bell hatte in der 1932 von John von Neumann veröffentlichten mathematischen Widerlegung der Theorie verborgener Variablen, die lange als unbestritten galt, einen elementaren Fehler in den Voraussetzungen gefunden (in der linearen Additivität der Erwartungswerte, von ihm 1966 veröffentlicht). In seinem Aufsatz von 1964, der die bellschen Ungleichungen einführte, wollte er zeigen, dass die eigentliche Grundannahme, an der Theorien verborgener Variablen scheitern, die Lokalität ist. Eine schon 1952 veröffentlichte Theorie verborgener Variabler von David Bohm war stark nicht-lokal.

Versuchsaufbau

Die ursprüngliche Überlegung war nur ein Gedankenexperiment, so dass der Versuchsaufbau bei Bell nur theoretisch war. Später wurde der Versuchsaufbau aber real umgesetzt, um die Überlegungen des Gedankenexperimentes experimentell zu bestätigen.

In einer Quelle wird ein quantenverschränktes Photonenpaar erzeugt, wobei sich die Photonen in entgegengesetzte Richtungen fortbewegen. Die beiden Photonen treffen auf je einen Filter; die Filter sind unabhängig voneinander auf die Messrichtung ${\displaystyle \mathbf {a} ,\,\mathbf {b} }$ oder ${\displaystyle \mathbf {c} }$ eingestellt. Normalerweise werden für die Messrichtungen ${\displaystyle \mathbf {a} ,\,\mathbf {b} ,\,\mathbf {c} }$ die folgenden Werte gewählt:

• Messrichtung ${\displaystyle \mathbf {a} }$: Filter lässt horizontal polarisierte Photonen durch. Vertikal polarisierte Photonen werden reflektiert.
• Messrichtung ${\displaystyle \mathbf {b} }$: Filter ist um ${\displaystyle \pi /6=+30^{\circ }}$ ggü. Messrichtung ${\displaystyle \mathbf {a} }$ gedreht.
• Messrichtung ${\displaystyle \mathbf {c} }$: Filter ist um ${\displaystyle \pi /6=+30^{\circ }}$ ggü. Messrichtung ${\displaystyle \mathbf {b} }$ gedreht. (Das heißt, er ist um ${\displaystyle \pi /3=+60^{\circ }}$ ggü. Messrichtung ${\displaystyle \mathbf {a} }$ gedreht.)

Für beide Filter wird zufällig bestimmt, in welcher dieser drei Richtungen der Filter ausgerichtet ist. Dabei wird die zufällige Bestimmung für beide Filter unabhängig voneinander durchgeführt. Das heißt, aus der Richtung des ersten Filters lässt sich nicht auf die Richtung des zweiten Filters schließen. Die Richtung des Filters wird festgelegt, nachdem das Photonenpaar erzeugt wurde, aber bevor es den Filter erreicht.

Anschließend wird für beide Photonen gemessen, ob sie den Filter passiert haben oder ob sie reflektiert wurden.

Dieses Experiment wird mehrere Male hintereinander ausgeführt. Bei Durchgängen, in denen beide Filter zufällig in die gleiche Richtung ausgerichtet sind, wird in beiden Detektoren das gleiche Ergebnis gemessen. Sie spielen im Zusammenhang mit der bellschen Ungleichung keine Rolle. Für die Durchgänge, in denen beide Filter in unterschiedliche Richtungen ausgerichtet sind, wird gemessen, wie häufig die beiden Photonen des Photonenpaares sich gleich bzw. unterschiedlich verhalten haben.

Insbesondere wird gemessen:

• ${\displaystyle W(\mathbf {a} _{h},\mathbf {b} _{h})}$: Anteil der Photonenpaare, in denen ein Photon den Filter mit Messrichtung ${\displaystyle \mathbf {a} }$ passiert und das andere Photon den Filter mit Messrichtung ${\displaystyle \mathbf {b} }$ passiert hat.
• ${\displaystyle W(\mathbf {b} _{h},\mathbf {c} _{v})}$: Anteil der Photonenpaare, in denen ein Photon den Filter mit Messrichtung ${\displaystyle \mathbf {b} }$ passiert und das andere Photon vom Filter mit Messrichtung ${\displaystyle \mathbf {c} }$ reflektiert wurde.
• ${\displaystyle W(\mathbf {a} _{h},\mathbf {c} _{h})}$: Anteil der Photonenpaare, in denen ein Photon den Filter mit Messrichtung ${\displaystyle \mathbf {a} }$ passiert und das andere Photon den Filter mit Messrichtung ${\displaystyle \mathbf {c} }$ passiert hat.

Im klassisches Modell (realistisch und lokal) kann für die Wahrscheinlichkeiten die bellsche Ungleichung hergeleitet werden. Im quantentheoretisches Modell können die Wahrscheinlichkeiten für alle Einstellungen der Filter berechnet und mit dem Experiment verglichen werden.

Das tatsächliche Experiment ist mit dem klassischen Modell (realistisch und lokal) nicht vereinbar, da die bellsche Ungleichung nicht erfüllt ist. Die Vorhersagen des quantentheoretische Modells werden durch das Experiment bestätigt.

Die Ungleichung bei Annahme von verborgenen Variablen

Ein aus mehreren Komponenten (α und β) zusammengesetztes System muss in der Quantentheorie häufig als ein Objekt (α,β) mit eigenen Zuständen behandelt werden. Unter den möglichen Zuständen gibt es dann stets auch solche, die nicht beschrieben werden können, indem man einen Zustand von α und einen von β benennt. In einem solchen Zustand des Systems heißen α und β miteinander verschränkt. So können zwei Photonen α und β derart miteinander verschränkt sein, dass bei einem Test an parallelen Polarisationsfiltern stets beide passieren oder beide absorbiert werden, und dies für jede beliebige Orientierung der (parallelen) Filter. Ein verschränktes System bleibt ein Quantenobjekt, auch, wenn die Komponenten räumlich voneinander getrennt werden. Die Tests an α und β können daher räumlich wie zeitlich beliebig entfernt voneinander stattfinden. Ob die zwei Photonen das eine oder das andere Schicksal haben, ist nicht vorhersehbar. In dem hier betrachteten Experiment wird ein Strom von derart verschränkten Photonenpaaren erzeugt und davon jeweils ein Photon an das Labor von Alice, das andere an das davon entfernte Labor von Bob verschickt. Alice testet die lineare Polarisation ihrer Photonen in zufälliger Wahl mit gleicher Wahrscheinlichkeit in einer von drei Messrichtungen ${\displaystyle \mathbf {a} ,\,\mathbf {b} ,\,\mathbf {c} }$. Bob misst ebenso zufällig in den gleichen Richtungen ${\displaystyle \mathbf {a} ,\,\mathbf {b} ,\,\mathbf {c} }$. Der gewählte Zustand bewirkt, dass Alices und Bobs Photonen gleich reagieren, wenn sie in der gleichen Richtung getestet werden.

Die beiden möglichen mit einem Filter bestimmten Werte der linearen Polarisation werden in der Literatur üblicherweise mit ${\displaystyle h}$ für horizontal und ${\displaystyle v}$ für vertikal bezeichnet. Die Hypothese besteht in der Annahme, dass jedes Photon eine Art von individuellen Eigenschaften besitzt, die verborgenen Variablen, die ihm für jede Messrichtung vorgeben, ob es bei einem Test als horizontal oder vertikal polarisiert reagieren wird. Das korrelierte Verhalten verschränkter Photonen beruht nach dieser Hypothese darauf, dass ihre verborgenen Variablen entsprechend korreliert sind. Zu den drei Orientierungen ${\displaystyle \mathbf {a} ,\,\mathbf {b} ,\,\mathbf {c} }$ der Filter in dem betrachteten Experiment hat demnach jedes der einlaufenden Photonen eine Voreinstellung auf horizontal oder vertikal, in Zeichen ${\displaystyle \mathbf {a} _{h},\,\mathbf {a} _{v},\,\dots \,\mathbf {c} _{v}}$. Jede Messung offenbart die entsprechende Voreinstellung, und diese Voreinstellungen sind wegen der Verschränkung für Alices und Bobs Photon identisch.

Für einen Moment sollen anschauliche Codeworte die mathematischen Zeichen ersetzen: groß/klein statt ${\displaystyle \mathbf {a} _{h},\,\mathbf {a} _{v}}$, blond/dunkel für ${\displaystyle \mathbf {b} _{h},\,\mathbf {b} _{v}}$ und Frau/Mann für ${\displaystyle \mathbf {c} _{h},\,\mathbf {c} _{v}}$. Bezüglich dieser drei Aspekte bilden Alices und Bobs Photonen je ein Paar von identischen Zwillingen. Beide sind zum Beispiel groß, blond und weiblich. Jedes der beiden Photonen lässt sich nur in einer Messrichtung testen. Jede Messung ermittelt also entweder Größe, Haarfarbe oder Geschlecht eines Zwillings. Wenn nun Alice ihrem Photon eine und Bob seinem Photon eine andere Frage stellt, erfahren sie für das Paar zwei der interessierenden Eigenschaften. Es lässt sich eine einfache kombinatorische Feststellung treffen. Unter den insgesamt von Alice und Bob vermessenen Photonen-Zwillingen, ist die Anzahl der großen blonden Zwillinge gleich der Anzahl der großen blonden Männer plus der Anzahl der großen blonden Frauen. Lässt man nun eine der drei genannten und einschränkenden Eigenschaften weg, so bleiben die gefundenen Anzahlen entweder gleich oder werden größer. Damit ist die Anzahl der großen Blonden also kleiner oder gleich der Anzahl an blonden Männern plus der Anzahl an großen Frauen. Mit dem Zeichen ${\displaystyle N}$ für Anzahl und zurückübersetzt in die Formelzeichen ist das die hier passende Variante der bellschen Ungleichung:

${\displaystyle N(\mathbf {a} _{h},\mathbf {b} _{h})\leq N(\mathbf {b} _{h},\mathbf {c} _{v})+N(\mathbf {a} _{h},\mathbf {c} _{h}).}$

Diese Ungleichung müssen die Messwerte des beschriebenen Experiments also erfüllen, wenn das Polarisationsverhalten verschränkter Photonen auf lokalen verborgenen Variablen beruht.

Verletzung der Ungleichung in der Quantentheorie

Da Alice und Bob unabhängig voneinander die drei Orientierungen der Filter jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit (=1/3) verwenden, wird jede der Kombinationen ${\displaystyle \mathbf {a} /\mathbf {b} ,\,\mathbf {b} /\mathbf {c} ,\,\mathbf {a} /\mathbf {c} }$ mit geringen Fehlern in gleicher Häufigkeit ${\displaystyle N_{T}}$ getestet, wenn die Gesamtzahl der Messungen hinreichend groß ist. Mit wachsender Zahl von Messungen nähern sich ferner die Quotienten ${\displaystyle N(\mathbf {a} _{h},\mathbf {b} _{h})/N_{T}}$ etc. nach der Formel (Anzahl Erfolge)/(Anzahl Versuche) beliebig genau der jeweiligen Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle W(\mathbf {a} _{h},\mathbf {b} _{h})}$ etc. Damit nimmt die Ungleichung die Form

${\displaystyle W(\mathbf {a} _{h},\mathbf {b} _{h})\leq W(\mathbf {b} _{h},\mathbf {c} _{v})+W(\mathbf {a} _{h},\mathbf {c} _{h})}$

an.

Für die quantentheoretisch berechnete Wahrscheinlichkeit für ein Paar von Messergebnissen an den zwei hier betrachteten Photonen ist es nun egal, ob im Experiment zwei Photonen eines speziell verschränkten Zustands mit zwei Filtern verwendet werden oder ein einzelnes Photon nach zwei hintereinander geschalteten Polarisationsfiltern nachgewiesen wird. Für die Rechnung ist der Fall eines einzelnen Photons hinter zwei Filtern aber leichter zu beschreiben und soll nun gezeigt werden.

Ein einzelnes linear polarisiertes Photon kann an einem Polarisationsfilter ${\displaystyle \mathbf {a} }$ entweder transmittiert oder reflektiert werden. Die zugehörige Observable der Polarisation besitzt damit genau zwei Eigenzustände, die im Folgenden mit ${\displaystyle |t\rangle }$ und ${\displaystyle |r\rangle }$ bezeichnet werden können. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgerichtetes Photon an diesem Filter transmittiert wird, beträgt

${\displaystyle W(\mathbf {a} _{h})=0{,}5\,.}$

Ein transmittiertes Photon wird an einem zweiten um 90° gedrehten Polarisationsfilter ${\displaystyle \mathbf {b} }$ immer reflektiert. Wird der zweite Polarisationsfilter dagegen um einen Winkel ${\displaystyle \theta }$ gedreht, so kann der Zustand des ursprünglich transmittierten Photons als Superposition der beiden genannten Eigenzustände wie folgt beschrieben werden:

${\displaystyle |\theta \rangle =\cos \theta \;|t\rangle +\sin \theta \;|r\rangle }$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Photon am zweiten Polarisationsfilter transmittiert wird, berechnet sich nun gemäß der bornschen Regel und in Übereinstimmung mit dem klassisch begründeten Gesetz von Malus gemäß

${\displaystyle W(\mathbf {b} _{h})=\cos ^{2}\!\!\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$

Das Photon wird entsprechend mit der Wahrscheinlichkeit

${\displaystyle W(\mathbf {b} _{v})=\sin ^{2}\!\!\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$

reflektiert.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein einzelnes unpolarisiertes Photon an beiden Polarisationsfiltern transmittiert wird, ist also

${\displaystyle W(\mathbf {a} _{h},\mathbf {b} _{h})=W(\mathbf {a} _{h})\cdot W(\mathbf {b} _{h})=0{,}5\cdot \cos ^{2}\!\!\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$

Damit können nun wiederum alle benötigten Terme der bellschen Ungleichung berechnet werden.

Es gilt ${\displaystyle W(\mathbf {a} _{h},\mathbf {b} _{h})=0{,}5\cdot \cos ^{2}\!\!\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ und ${\displaystyle W(\mathbf {a} _{h},\mathbf {c} _{h})=0{,}5\cdot \cos ^{2}\!\!\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )}$. Dagegen ist ${\displaystyle W(\mathbf {b} _{h},\mathbf {c} _{v})=0{,}5\cdot \sin ^{2}\!\!\angle (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$, denn ${\displaystyle \mathbf {c} _{v}}$ bedeutet, dass das Photon reflektiert wurde.

Insgesamt ergibt sich

${\displaystyle 0{,}5\cdot \cos ^{2}\!\!\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\,\,\leq \,\,0{,}5\cdot \sin ^{2}\!\!\angle (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )+0{,}5\cdot \cos ^{2}\!\!\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )}$.

${\displaystyle \Leftrightarrow \cos ^{2}\!\!\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\,\,\leq \,\,\sin ^{2}\!\!\angle (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )+\cos ^{2}\!\!\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )}$.

Tatsächlich gilt dies nun aber nicht für beliebige ${\displaystyle \mathbf {a} ,\,\mathbf {b} ,\,\mathbf {c} }$. Wählt man ${\displaystyle \angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\angle (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=\pi /6=30^{\circ }}$, ${\displaystyle \angle (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )=\pi /3=60^{\circ }}$ mit  ${\displaystyle \cos ^{2}(\pi /6)=3/4,\,\sin ^{2}(\pi /6)=\cos ^{2}(\pi /3)=1/4}$, so ergibt sich

${\displaystyle {\frac {3}{4}}\,\,\leq \,\,{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}},}$

was offenbar falsch ist.

Gemäß der Quantentheorie gilt die bellsche Ungleichung also nicht immer.

Experimentelle Untersuchungen

Verwandtes

Die CHSH-Ungleichung (1969 von John Clauser, Michael Horne, Abner Shimony und Richard Holt entwickelt) ist ähnlich der bellschen Ungleichung. Sie betrachtet jedoch nicht Häufigkeiten von Teilchen, sondern beliebige Observable. Sie lässt sich ebenfalls aus dem Konzept des lokalen Realismus herleiten. Sie wird ebenfalls nach den Vorhersagen der Quantenmechanik und experimentell verletzt.

D. M. Greenberger, M. A. Horne und A. Zeilinger beschrieben 1989 einen Versuchsaufbau, das GHZ-Experiment mit drei Beobachtern und drei Elektronen, um mit einer einzigen Gruppe von Messungen die Quantenmechanik von einer quasi-klassischen Theorie mit verborgenen Variablen zu unterscheiden.

L. Hardy untersuchte 1993 eine Situation, mit der theoretisch Nicht-Lokalität gezeigt werden kann.

Die Experimente zur Verletzung der bellschen Ungleichung lassen offen, ob (wie in der Kopenhagener Interpretation) neben der Annahme der Lokalität auch die Annahme einer „objektiven Realität“ aufgegeben werden muss. Leggett formulierte 2003 eine Ungleichung, die unabhängig von der Annahme der Lokalität gilt und die Annahme objektiver Realität zu überprüfen erlauben soll. Aktuelle Experimente von Gröblacher et al. deuten darauf hin, dass die leggettsche Ungleichung verletzt wird. Die Deutung der Ergebnisse ist jedoch strittig.

Sonstiges

2001 veröffentlichten Karl Hess und der Mathematiker Walter Philipp Aufsätze, in denen sie auf ein mögliches Schlupfloch im bellschen Theorem hinwiesen. Ihr Argument und ihr Modell ist von Zeilinger und anderen kritisiert worden.

Siehe auch

• Kochen-Specker-Theorem

Literatur

• J. S. Bell: Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, 2. Aufl., Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 978-0-521-52338-7 (mit einer Einführung von Alain Aspect, bündelt Bells Originalaufsätze, dt. Übersetzung: Quantenmechanik, Sechs mögliche Welten und weitere Artikel, de Gruyter, Berlin 2015, ISBN 978-3-11-044790-3).
• L. Hardy: Nonlocality for 2 particles without inequalities for almost all entangled states. In: Physical Review Letters. 71, Nr. 11, 1993, S. 1665–1668 (doi:10.1103/PhysRevLett.71.1665).
• A. Aspect: Bell's inequality test: more ideal than ever. (PDF; 222 kB) In: Nature. 398, Nr. 6724, 1999, S. 189–190 (doi:10.1038/18296).
• James T. Cushing (Hrsg.): Philosophical consequences of quantum theory: reflections on Bell's theorem. Univ. of Notre Dame Press, Notre Dame, Ind. 1989, ISBN 0-268-01578-3.
• Michael Redhead: Incompleteness, nonlocality and realism a prolegomenon to the philosophy of quantum mechanics. Clarendon Pr., Oxford 1987, ISBN 0-19-824937-3.
• M. Kafatos (Hrsg.): Bell’s Theorem. Quantum Theory and Conceptions of the Universe. Kluwer, Dordrecht-Boston-London 1989, ISBN 0-7923-0496-9.
• T. Maudlin: Quantum Non-Locality and Relativity. Blackwell, Oxford U. K. and Cambridge MA, 1993, ISBN 0-631-18609-3.
• A. Peres: All the Bell inequalities. In: Foundations of Physics 29 (1999), S. 589–614, (Preprint: arxiv:quant-ph/9807017).
• A. Ekert: Feature Less Reality, More Security (PDF; 3,8 MB) In: Physics World September 2009, S. 29–32.

Lehrbuchdarstellung

• J. J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics. 2. Auflage, Addison-Wesley, 1993, ISBN 0-201-53929-2, S. 174–187, 223–232.

Weblinks

• Bellsche Ungleichung mit verschränkten Photonen am interaktiven Experiment. Uni Erlangen 2009.
• Thomas Hausmaninger: Polarisierte Photonen (enthält eine Gültigkeitsdiskussion der bellschen Ungleichung.)
• Amos Drobisch: Das EPR-Gedankenexperiment, die Bellsche Ungleichung und der experimentelle Nachweis von Quantenkorrelationen (PDF; 2,9 MB), RWTH Aachen 2009.
• Franz Embacher: EPR-Paradoxon und Bellsche Ungleichung. Ms. Wien 2000.
• Norbert Dragon: Anmerkungen zur Quantenmechanik (PDF; 1,1 MB) (Das Skript enthält eine ausführliche Herleitung der bellschen Ungleichung für Spin-Messungen an Elektronpaaren).
• László E. Szabó: The Einstein-Podolsky-Rosen Argument and the Bell Inequalities. In: J. Fieser, B. Dowden (Hrsg.): Internet Encyclopedia of Philosophy.
• John Bell: Indeterminism and Nonlocality (Englischsprachiges Video, 1990).
• Heute messen, morgen entscheiden (pro-physik.de vom 1. November 2012).
• Abner Shimony: Bell's Theorem. In: Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy..

Anmerkungen

1. ↑ Ein früheres, sehr einflussreiches Experiment von Alain Aspect und Mitarbeitern (Aspect et al. 1982) änderte zwar die Einstellung der Messungen schnell genug für raumartige Trennung, allerdings folgte die Änderung an beiden Detektoren je einem deterministischen (periodischen) Prozess und war damit im Prinzip vorhersagbar, sodass das Schlupfloch nicht strikt geschlossen wurde.

Einzelnachweise

1. ↑ John Stewart Bell: On the Einstein Podolsky Rosen Paradox. In: Physics. Band 1, Nr. 3, 1964, S. 195–200 (cern.ch [PDF]). 
2. ↑ Albert Einstein, Boris Podolsky und Nathan Rosen: Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? In: Phys. Rev. Band 47, 1935, S. 777–780, doi:10.1103/PhysRev.47.777. 
3. ↑ Alain Aspect: Bell’s inequality test: more ideal than ever. In: Nature. Band 398, 1999, doi:10.1038/18296. 
4. 1 2 3 S. J. Freedman, J. F. Clauser: Experimental Test of Local Hidden-Variable Theories. In: Physical Review Letters. Band 28, Nr. 14, 1972, S. 938–941, doi:10.1103/PhysRevLett.28.938. 
5. ↑ Bellsche Ungleichung bei scholarpedia.org (englisch)
6. 1 2 M. Giustina, M. A. M. Versteegh, A. Zeilinger et al.: Significant-Loophole-Free Test of Bell’s Theorem with Entangled Photons. In: Phys. Rev. Lett. Band 115, 2015, S. 250401, arxiv:1511.03190. 
7. ↑ Eugene P. Wigner: On hidden variables and quantum mechanical probabilities. In: J. Phys. Band 38, Nr. 1005, 1970, doi:10.1119/1.1976526. 
8. ↑ Quantum Mechanics for Nuclear Structure, Volume 1, A theory of polarized photons
9. 1 2 3 4 Johannes Kofler: Endspiel für den lokalen Realismus. In: Physik in unserer Zeit. Band 46, Nr. 6, 2015, S. 288, doi:10.1002/piuz.201501412. 
10. 1 2 Gregor Weihs, Thomas Jennewein, Christoph Simon, Harald Weinfurter und Anton Zeilinger: Violation of Bell's Inequality under Strict Einstein Locality Conditions. In: Physical Review Letters. Band 81, Nr. 23, 1998, S. 5039–5043, doi:10.1103/PhysRevLett.81.5039, arxiv:quant-ph/9810080v1. 
11. 1 2 M. A. Rowe, D. Kielpinski, V. Meyer, C. A. Sackett, W. M. Itano, C. Monroe, D. J. Wineland: Experimental violation of a Bell's inequality with efficient detection. In: Nature. Band 409, Nr. 6822, 2001, S. 791-4, doi:10.1038/35057215. 
12. ↑ D. Rauch, J. Handsteiner et al.: Cosmic Bell Test using Random Measurement Settings from High-Redshift Quasars. In: Phys. Rev. Lett. Band 121, 2018, S. 080403, arxiv:1808.05966. 
13. ↑ C. A. Kocher, E. D. Commins: Polarization Correlation of Photons Emitted in an Atomic Cascade. In: Physical Review Letters. Band 18, Nr. 15, 1967, S. 575–577, doi:10.1103/PhysRevLett.18.575. 
14. ↑ Alain Aspect, Jean Dalibard, Gérard Roger: Experimental Test of Bell's Inequalities Using Time-Varying Analyzers. In: Physical Review Letters. Band 49, Nr. 25, 1982, S. 1804–1807, doi:10.1103/PhysRevLett.49.1804. 
15. ↑ B. Hensen, H. Bernien, R. Hanson et al.: Experimental loophole-free violation of a Bell inequality using entangled electron spins separated by 1.3km. In: Nature. Band 526, 2015, S. 682–686, arxiv:1508.05949. 
16. ↑ L. K. Shalm, E. Meyer-Scott, Sae Woo Nam et al.: Strong Loophole-Free Test of Local Realism. In: Phys. Rev. Lett. Band 115, 2015, S. 250402, arxiv:1511.03189. 
17. ↑ O. Gühne: Keine Ausreden mehr. In: Physik Journal. Band 15, Nr. 2, 2016, S. 18–19. 
18. ↑ Zeeya Merali: This Twist on Schrödinger's Cat Paradox Has Major Implications for Quantum Theory – A laboratory demonstration of the classic „Wigner's friend“ thought experiment could overturn cherished assumptions about reality In: Scientific American, 17. August 2020 
19. ↑ George Musser: Quantum paradox points to shaky foundations of reality In: Science, 17. August 2020 
20. ↑ Kok-Wei Bong, et al.: A strong no-go theorem on the Wigner's friend paradox. In: Nature Physics. 27. Jahrgang, 17. August 2020, doi:10.1038/s41567-020-0990-x (nature.com [abgerufen am 17. August 2020]). 
21. ↑ Bell, John S. (1982): On the Impossible Pilot Wave. In: Foundations of Physics, 12 (10), S. 989–999; darin S. 997.
22. ↑ J. F. Clauser, M. A. Horne, A. Shimony, R. A. Holt: Proposed Experiment to Test Local Hidden-Variable Theories. In: Physical Review Letters. Band 23, Nr. 15, 1969, S. 880–884, doi:10.1103/PhysRevLett.23.880. 
23. ↑ M. Kafatos: Bell's Theorem, Quantum Theory and Conceptions of the Universe. 2. Auflage. Springer-Verlag GmbH, 1989, ISBN 0-7923-0496-9. 
24. ↑ A. J. Leggett: Nonlocal Hidden-Variable Theories and Quantum Mechanics: An Incompatibility Theorem. In: Foundations of Physics. Band 33, Nr. 10, 2003, S. 1469–1493, doi:10.1023/A:1026096313729. 
25. ↑ Simon Gröblacher, Tomasz Paterek, Rainer Kaltenbaek, Caslav Brukner, Marek Zukowski, Markus Aspelmeyer, Anton Zeilinger: An experimental test of non-local realism. In: Nature. 446, Nr. 7138, 2007, S. 871–875. (doi:10.1038/nature05677, arxiv:0704.2529)
26. ↑ Alain Aspect: To be or not to be local. In: Nature. Band 446, Nr. 7137, 2006, S. 866, doi:10.1038/446866a. 
27. ↑ Ulf von Rauchhaupt: Weltbild der Physik: Die Wirklichkeit, die es nicht gibt. In: FAZ. 22. April 2007, abgerufen am 24. Oktober 2019 (Zitat von Tim Maudlin). 
28. ↑ Karl Hess, Walter Philipp: A possible loophole in the theorem of Bell. In: Proc. Nat. Acad. Sci. (PNAS). Band 98, 2001, S. 14224–14227, doi:10.1073/pnas.251524998. 
    Karl Hess, Walter Philipp: Bell's theorem and the problem of decidability between the views of Einstein and Bohr. In: PNAS. Band 98, 2001, S. 14228–14233, doi:10.1073/pnas.251525098. 
    Karl Hess, Walter Philipp: Breakdown of Bell's theorem for certain objective local parameter spaces. In: PNAS Science. Band 101, 2004, S. 1799, doi:10.1073/pnas.0307479100. 
29. ↑ Richard D. Gill, Gregor Weihs, Anton Zeilinger, Marek Zukowski: No time loophole in Bell's theorem; the Hess-Philipp model is non-local. In: ONAS. Band 99, 2002, arxiv:quant-ph/0208187.