In der Mathematik ist die Berkovich-Gerade eine von Vladimir Berkovich eingeführte Version der affinen Gerade, die vor allem in der p-adischen Geometrie von Nutzen ist.

Motivation

Wenn man auf der p-adischen Geraden ${\displaystyle Q_{p}^{1}}$ oder allgemeiner auf ${\displaystyle Q_{p}}$-Mannigfaltigkeiten analytische Funktionen als diejenigen definiert, die sich lokal durch konvergente Potenzreihen darstellen lassen, dann sind alle Funktionen analytisch, denn ${\displaystyle Q_{p}}$ ist total unzusammenhängend. Um einen sinnvollen Begriff von analytischen Funktionen definieren zu können, fügt man Punkte hinzu, die den Raum zusammenhängend machen.

Definition der Berkovich-Gerade

Sei ${\displaystyle K}$ ein vollständiger Körper.

Die Punkte von ${\displaystyle A^{1,Berk}}$ sind die multiplikativen Halbnormen auf dem Polynomring ${\displaystyle K\left[T\right]}$, die den absoluten Betrag auf ${\displaystyle K}$ fortsetzen. Die Topologie von ${\displaystyle A^{1,Berk}}$ ist die schwächste Topologie, mit der die Abbildung ${\displaystyle |\cdot |\mapsto |f|}$ für alle Funktionen ${\displaystyle f\in K\left[T\right]}$ stetig wird.

Beispiele

Für ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ ist ${\displaystyle A^{1,Berk}=\mathbb {C} }$, denn alle multiplikativen Halbnormen sind durch ${\displaystyle f\mapsto |f(z)|}$ für ein ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ gegeben.

Für einen algebraisch abgeschlossenen, vollständigen, nicht-archimedischen Körper sind multiplikative Halbnormen entweder von der Form

${\displaystyle f\mapsto |f(x)|}$

für ein ${\displaystyle x\in K}$ oder

${\displaystyle f\to \sup _{x\in D_{r}(a)}|f(x)|}$

für ein ${\displaystyle a\in K,r\in \mathbb {R} }$. Hierbei bezeichnet ${\displaystyle D_{r}(a)=\left\{x\in K\colon \|x-a\|\leq r\right\}}$.

Berkovichs Klassifikationssatz

Jedes ${\displaystyle x\in A^{1,Berk}}$ entspricht einer absteigenden Folge ineinander geschachtelter abgeschlossener Kugeln ${\displaystyle D_{r_{i}}(a_{i})}$. Mit ${\displaystyle D:=\bigcap _{i}D_{r_{i}}(a_{i})}$ erhält man die folgende Klassifikation in vier Typen:

• Typ I: ${\displaystyle D=D_{0}(a)}$ für ein ${\displaystyle a\in K}$
• Typ II: ${\displaystyle D=D_{r}(a)}$ für ein ${\displaystyle a\in K,r\in |K^{*}|}$
• Typ III: ${\displaystyle D=D_{r}(a)}$ für ein ${\displaystyle a\in K,r\not \in |K^{*}|}$
• Typ IV: ${\displaystyle D=\emptyset }$

Eigenschaften

Die Berkovich-Gerade ${\displaystyle A^{1,Berk}}$ ist ein lokal kompakter Hausdorff-Raum. Die den Punkten in ${\displaystyle K}$ entsprechenden Punkte vom Typ I liegen dicht in ${\displaystyle A^{1,Berk}}$. Die Berkovich-Gerade ist eindeutig wegzusammenhängend, d. h., je zwei Punkte lassen sich durch einen eindeutigen kürzesten Weg verbinden. Punkte vom Typ II sind Verzweigungspunkte.

Literatur

• V. Berkovich: Spectral theory and analytic geometry over non-Archimedean fields, American Mathematical Society, Mathematical Surveys and Monographs 33, 1990

Weblinks

• M. Jonsson: Topics in Algebraic Geometry: Berkovich spaces
• M. Baker: An introduction to Berkovich analytic spaces and non-archimedean potential theory on curves