Für Verteilungsklassen

Gegeben sei ein Messraum ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ und eine Menge ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf diesem Messraum. Dann heißt ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ vollständig, wenn die Menge der ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$-Nullschätzer ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$-trivial ist. Sprich für alle

${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}(X,{\mathcal {A}},{\mathcal {P}}){\text{ mit }}\operatorname {E} _{P}(f)=0\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} P\in {\mathcal {P}}}$

gilt

${\displaystyle f=0\quad {\mathcal {P}}-{\text{fast sicher}}}$.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X,{\mathcal {A}},{\mathcal {P}})}$ den Raum aller ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$-integrierbaren Funktionen (siehe Lp-Raum).

Für σ-Algebren

Eine Unter-σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ heißt vollständig für ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, wenn ${\displaystyle {\mathcal {P}}|_{\mathcal {T}}}$ vollständig auf dem Messraum ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ist. Dabei bedeutet ${\displaystyle {\mathcal {P}}|_{\mathcal {T}}}$, dass man den Definitionsbereich aller Wahrscheinlichkeitsmaße in ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ auf die kleinere σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ einschränkt.

Für Statistiken

Eine Statistik

${\displaystyle T:(X,{\mathcal {A}})\to (Y,{\mathcal {A}}^{*})}$

heißt vollständig, wenn die von ihr erzeugte σ-Algebra ${\displaystyle \sigma (T)}$ vollständig ist bzw. ${\displaystyle {\mathcal {P}}|_{\sigma (T)}}$ vollständig ist.

Häufig wird die Verteilungsklasse ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ mit einem Index ${\displaystyle \vartheta }$ versehen, man schreibt dann ${\displaystyle {\mathcal {P}}=(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }}$. Formuliert man in dieser Schreibweise die Vollständigkeit aus, so erhält man die gängige Definition:

Eine Statistik ${\displaystyle T}$ heißt vollständig, wenn für alle integrierbaren ${\displaystyle g}$ mit

${\displaystyle \operatorname {E} _{\vartheta }(g(T))=0\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} \vartheta \in \Theta }$

immer folgt, dass

${\displaystyle P_{\vartheta }(g(T)=0)=1\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} \vartheta \in \Theta }$.

Beschränkte Vollständigkeit

Sei ${\displaystyle B(X,{\mathcal {A}})}$ die Menge der beschränkten Funktionen auf ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$. Eine Verteilungsklasse ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ heißt beschränkt vollständig, wenn sie vollständig für ${\displaystyle B(X,{\mathcal {A}})\cap L(X,{\mathcal {A}},{\mathcal {P}})}$ ist. Die Definitionen einer beschränkt vollständigen σ-Algebra und einer beschränkt vollständigen Statistik folgen wie oben.

L-Vollständigkeit

Für eine gegebene Menge von Funktionen ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ heißt eine Verteilungsklasse ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-vollständig, wenn sie vollständig für ${\displaystyle {\mathcal {L}}\cap L(X,{\mathcal {A}},{\mathcal {P}})}$ ist. Die Definitionen einer ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-vollständigen σ-Algebra und einer ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-vollständigen Statistik folgen wie oben.

Beschränkte L-Vollständigkeit

Die beiden obigen Begriffe lassen sich auch kombinieren: Eine Verteilungsklasse heißt beschränkt ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-vollständig, wenn sie vollständig für ${\displaystyle {\mathcal {L}}\cap B(X,{\mathcal {A}})\cap L(X,{\mathcal {A}},{\mathcal {P}})}$ ist. Die Definitionen einer beschränkt ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-vollständigen σ-Algebra und einer beschränkt ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-vollständigen Statistik folgen wie oben.