Verteilungsfreie σ-Algebra

Ist ${\displaystyle {\mathcal {V}}\subset {\mathcal {A}}}$ eine σ-Algebra, so heißt ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ eine verteilungsfreie σ-Algebra bezüglich ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, wenn

${\displaystyle P_{i}(V)=P_{j}(V){\text{ für alle }}V\in {\mathcal {V}}{\text{ und alle }}P_{i},P_{j}\in {\mathcal {P}}}$

gilt.

Bezeichnet man mit ${\displaystyle P|_{\mathcal {V}}}$ die Einschränkung des Definitionsbereiches des Wahrscheinlichkeitsmaßes auf die σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$, so gilt für eine Verteilungsfreie σ-Algebra bezüglich ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ also

${\displaystyle P_{i}|_{\mathcal {V}}=P_{j}|_{\mathcal {V}}{\text{ für alle }}P_{i},P_{j}\in {\mathcal {P}}}$.

Die Wahrscheinlichkeitsmaße lassen sich also nicht anhand ihrer Werte auf ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ unterscheiden.

Verteilungsfreie Statistik

Eine Statistik

${\displaystyle T:(\Omega ,{\mathcal {A}})\to (\Omega ^{*},{\mathcal {A}}^{*})}$

heißt genau dann eine verteilungsfreie Statistik, wenn die von ${\displaystyle T}$ erzeugte σ-Algebra ${\displaystyle \sigma (T)=T^{-1}({\mathcal {A}}^{*})}$ eine verteilungsfreie σ-Algebra bezüglich ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ist. Äquivalent dazu ist, dass die von der Statistik erzeugten Bildmaße von ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ alle identisch sind.