Annahme

Dargestellt wird der Beweis von Fourier.

Wir starten mit der von Leonhard Euler stammenden Darstellung der Eulerschen Zahl ${\displaystyle e}$ als Reihe

${\displaystyle e={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}}$.

Wie sich leicht zeigen lässt, gilt ${\displaystyle 2<e<3\!}$.

Wir nehmen nun an, die reelle Eulersche Zahl ${\displaystyle e}$ sei rational. Dann ließe sie sich als vollständig gekürzter Bruch ${\displaystyle e={\tfrac {p}{q}}}$ mit ${\displaystyle p,q\in \mathbb {N} }$ darstellen. Da ${\displaystyle 2<e<3\!}$, ist ${\displaystyle e}$ keine ganze Zahl, und somit ist q > 1. Wir multiplizieren die Reihenentwicklung mit ${\displaystyle q!}$, womit wir diese neue Reihe erhalten:

${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {q!\cdot e} &=&\\\in \mathbb {N} \end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {{\frac {q!}{0!}}+{\frac {q!}{1!}}+{\frac {q!}{2!}}+{\frac {q!}{3!}}+\cdots +{\frac {q!}{q!}}} &+&\\N\in \mathbb {N} \end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {{\frac {q!}{(q+1)!}}+{\frac {q!}{(q+2)!}}+\cdots } \quad &(*)&\\0<M<1\end{matrix}}}$

Linke Seite

Es ist ${\displaystyle q!\cdot e=q!\cdot {\tfrac {p}{q}}=(q-1)!\cdot p\in \mathbb {N} }$, da nach Voraussetzung ${\displaystyle p,q\in \mathbb {N} }$.

Rechte Seite, erste Teilsumme

Die Glieder ${\displaystyle q!}$ bis ${\displaystyle {\tfrac {q!}{q!}}=1}$ auf der rechten Seite der Gleichung ${\displaystyle (*)}$ sind ebenfalls alle natürlich, da alle Nenner ${\displaystyle 1!}$ bis ${\displaystyle q!}$ Teiler des Zählers ${\displaystyle q!}$ sind. Die Summe dieser natürlichen Zahlen ist wieder eine natürliche Zahl.

Rechte Seite, zweite Teilsumme

Die Summe aller Glieder, vom Glied ${\displaystyle {\tfrac {q!}{(q+1)!}}}$ ist größer 0, da alle Zähler und Nenner von null verschieden und positiv sind, und zudem kleiner 1, wie folgende Überlegung zeigt:

Das erste Glied ist ${\displaystyle {\tfrac {q!}{(q+1)!}}={\tfrac {1}{q+1}}<{\tfrac {1}{2}}}$, da ${\displaystyle q>1}$, das zweite Glied ist ${\displaystyle {\tfrac {q!}{(q+2)!}}={\tfrac {1}{(q+1)(q+2)}}<{\tfrac {1}{4}}}$, das dritte Glied ist ${\displaystyle <{\tfrac {1}{8}}}$, etc.

Die Summe dieser oberen Schranken ist eine unendliche, so genannte geometrische Reihe und konvergiert:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots \ =\ \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}\ =\ {\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}\ =\ {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}\ =\ 1}$.

Für die zweite Teilsumme ${\displaystyle M}$ gilt also ${\displaystyle 0<M<1}$, daher ist ${\displaystyle M}$ keine ganze Zahl.

Widerspruch

Der Ausdruck ${\displaystyle (*)}$ führt zu dem gewünschten Widerspruch, da die rechte Seite, ${\displaystyle N+M}$, anders als die linke Seite, ${\displaystyle q!\cdot e}$, keine ganze und damit keine natürliche Zahl ist.

Schluss

Damit ist die Voraussetzung widerlegt und es gilt ${\displaystyle e\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$, d. h., ${\displaystyle e}$ ist irrational.