Definition

Es sei ${\displaystyle {\bf {b}}^{m}(u)=\sum _{i=0}^{m}{\bf {b}}_{i}B_{i}^{m}(u)}$ eine Bezierkurve im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, deren Kontrollpunkte von einem weiteren Parameter ${\displaystyle v}$ abhängen, und zwar sollen sie selbst auf Bezierkurven liegen: ${\displaystyle \ {\bf {b}}_{i}(v)=\sum _{j=0}^{n}{\bf {b}}_{ij}B_{j}^{n}(v)}$. Damit beschreibt

• ${\displaystyle {\bf {b}}^{m,n}(u,v)=\sum _{i=0}^{m}\sum _{j=0}^{n}{\bf {b}}_{ij}B_{i}^{m}(u)B_{j}^{n}(v),\quad u,v\in [0,1]}$

eine Fläche, die zu den Kontrollpunkten oder Kontrollnetz ${\displaystyle {\bf {b}}_{ij}}$ gehörige (m,n)-Tensorprodukt-Bezierfläche. Die Fläche enthält die Punkte ${\displaystyle \ {\bf {b}}_{00},\ {\bf {b}}_{m0},\ {\bf {b}}_{0n},\ {\bf {b}}_{mn}\ }$ und die Parameter-Kurven (${\displaystyle u}$ oder ${\displaystyle v}$ sind konstant), insbesondere die Randkurven, sind Bezierkurven.

Man beachte, dass eine ${\displaystyle (1,1)}$-Tensorprodukt-Bezierfläche zwar Geraden enthält, aber i.a. nicht eben ist. Z.B. erhält man für

${\displaystyle {\bf {b}}_{00}=(0,0,0)^{T},\ {\bf {b}}_{10}=(1,0,0)^{T},\ {\bf {b}}_{01}=(0,1,0)^{T},\ {\bf {b}}_{11}=(1,1,1)^{T}}$ die Fläche mit der Parameterdarstellung

${\displaystyle {\bf {x}}={\bf {b}}^{1,1}(u,v)={\bf {b}}_{00}(1-u)(1-v)+{\bf {b}}_{10}u(1-v)+{\bf {b}}_{01}(1-u)v+{\bf {b}}_{11}uv}$

${\displaystyle =\cdots =\left(u,v,uv\right)^{T}}$

Dies ist ein Teil des hyperbolischen Paraboloids mit der Gleichung ${\displaystyle z=xy}$.

Der Casteljau-Algorithmus

Die Grundidee des Casteljau-Algorithmus für Kurven ist die lineare Interpolation von Punktepaaren. überträgt man diese Idee auf Tensorprodukt-Bezierflächen, so muss man eine bilineare Interpolation für vier Punkte definieren. Sie ist, wie bei Kurven, am einfachsten Fall ablesbar: Eine (1,1)-Tensorprodukt-Bezierfläche auf den vier Punkten ${\displaystyle {\bf {b}}_{00},{\bf {b}}_{10},{\bf {b}}_{01},{\bf {b}}_{11}}$ hat die folgende Darstellung:

${\displaystyle {\bf {b}}^{1,1}(u,v)=(1-u)(1-v){\bf {b}}_{00}+u(1-v){\bf {b}}_{10}+(1-u)v{\bf {b}}_{01}+uv{\bf {b}}_{11}}$

Oder in Matrixform:

${\displaystyle {\bf {b}}^{1,1}(u,v)=(1-u,u)\left({\begin{array}{ll}{\bf {b}}_{00}&{\bf {b}}_{01}\\{\bf {b}}_{10}&{\bf {b}}_{11}\end{array}}\right){1-v \choose v}}$

Man geht zunächst von einem ${\displaystyle (n\times n)}$-Kontrollnetz aus und bestimmt (wie bei Kurven) für ${\displaystyle r=1,2,..,n}$ und einem Parameterpaar ${\displaystyle (u,v)}$ Zwischenvektoren, die durch bilineare Interpolation entstehen:

${\displaystyle {\bf {b}}_{i,j}^{r}=(1-u,u)\left({\begin{array}{ll}{\bf {b}}_{i,j}^{r-1}&{\bf {b}}_{i,j+1}^{r-1}\\{\bf {b}}_{i+1,j}^{r-1}&{\bf {b}}_{i+1,j+1}^{r-1}\end{array}}\right){1-v \choose v},}$

wobei ${\displaystyle {\bf {b}}_{i,j}^{0}:={\bf {b}}_{i,j}}$ ist. Dann sei ${\displaystyle {\bf {b}}_{0,0}^{n}}$ der Punkt, der dem Parameterpaar ${\displaystyle (u,v)}$ zugeordnet wird.

Falls ${\displaystyle m>n}$ ist, ist ab ${\displaystyle r=n}$ der zweite Index konstant ${\displaystyle j=0}$ und es wird nur noch linear interpoliert (wie bei Bezierkurven).

• Der Punkt ${\displaystyle {\bf {b}}_{0,0}^{m}}$ ist dann der Flächenpunkt.

Analog verfährt man, falls ${\displaystyle m<n}$ ist.

Graderhöhung

Es ist oft von Vorteil, wenn für eine ${\displaystyle (m,n)}$-Tensorprodukt-Bezierfläche ${\displaystyle m=n}$ ist. Falls dies nicht der Fall ist, lässt sich dies mit Hilfe geeigneter Graderhöhungen erreichen.

Die Graderhöhung von ${\displaystyle (m,n)}$ auf ${\displaystyle (m+1,n)}$ der Tensorprodukt-Bezierfläche

${\displaystyle {\bf {b}}^{m,n}(u,v)=\sum _{j=0}^{n}\left[\sum _{i=0}^{m}{\bf {b}}_{ij}B_{i}^{m}(u)\right]B_{i}^{n}(v)}$

führt auf die ${\displaystyle n+1}$ Graderhöhungen für die Bezierkurven in der eckigen Klammer:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{m}{\bf {b}}_{ij}B_{i}^{m}(u)=\sum _{i=0}^{m+1}{\bf {b}}_{ij}^{(1,0)}B_{i}^{m+1}(u),\quad j=0,...n}$

mit

${\displaystyle {\bf {b}}_{ij}^{(1,0)}:=(1-{\frac {i}{m+1}}){\bf {b}}_{i,j}+{\frac {i}{m+1}}{\bf {b}}_{i-1,j},\quad i=0,...,m+1.}$

Ableitungen einer Bezier-Fläche

Die partielle Ableitung der Tensorprodukt-Bezierfläche

${\displaystyle {\bf {b}}^{m,n}(u,v)=\sum _{j=0}^{n}\sum _{i=0}^{m}{\bf {b}}_{ij}B_{i}^{m}(u)B_{i}^{n}(v)}$

nach ${\displaystyle u}$ ist

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial u}}{\bf {b}}^{m,n}(u,v)=\sum _{j=0}^{n}\left[{\frac {\partial }{\partial u}}\sum _{i=0}^{m}{\bf {b}}_{ij}B_{i}^{m}(u)\right]B_{i}^{n}(v).}$

Mit dem Resultat für die Ableitung einer Bezierkurve ergibt sich:

• ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial u}}{\bf {b}}^{m,n}(u,v)=m\sum _{j=0}^{n}\left[\sum _{i=0}^{m-1}\Delta ^{1,0}{\bf {b}}_{ij}B_{i}^{m-1}(u)\right]B_{i}^{n}(v),}$

wobei ${\displaystyle \Delta ^{1,0}{\bf {b}}_{i,j}:={\bf {b}}_{i+1,j}-{\bf {b}}_{i,j}}$. Analog erhält man die partielle Ableitung nach ${\displaystyle v}$ und alle höheren Ableitungen.

Da die Vektoren ${\displaystyle \Delta ^{1,0}{\bf {b}}_{0,0},\Delta ^{0,1}{\bf {b}}_{0,0}}$ Tangentenvektoren der im Punkt ${\displaystyle {\bf {b}}_{0,0}}$ beginnenden Randkurven sind, ist

• ${\displaystyle \Delta ^{1,0}{\bf {b}}_{0,0}\times \Delta ^{0,1}{\bf {b}}_{0,0}}$

ein Normalenvektor der Fläche in diesem Punkt, falls beide linear unabhängig sind. D.h. die Tangentialebene in den Eckpunkten einer Tensorprodukt-Bezierfläche wird i.a. jeweils von dem Eckpunkt und seinen Nachbarpunkten im Kontrollnetz aufgespannt.

Motivation und Definition

Eine formale Verallgemeinerung der Bernstein-Polynome auf Funktionen mit zwei Variablen würde von der Beziehung ${\displaystyle 1=(u+v+(1-u-v))^{n}=\cdots }$ ausgehen. Damit die auftretenden Terme alle positiv sind, muss ${\displaystyle (u,v)}$ in dem Dreieck ${\displaystyle (0,0),(1,0),(0,1)}$ liegen. Zwei der drei Dreiecksseiten spielen als Intervalle auf den Koordinatenachsen eine besondere Rolle. Um diese Bevorzugung zu vermeiden, führt man homogene Koordinaten ${\displaystyle u,v,w}$ mit der Bedingung ${\displaystyle u+v+w=1,u,v,w\geq 0}$ ein. ${\displaystyle u,v,w}$ nennt man Baryzentrische Koordinaten. Die verallgemeinerten Bernsteinpolynome ergeben sich aus der Entwicklung von ${\displaystyle (u+v+w)^{n}}$ zu:

• ${\displaystyle B_{ijk}^{n}(u,v,w):={\frac {n!}{i!j!k!}}u^{i}v^{j}w^{k}}$

mit ${\displaystyle i+j+k=n,\ i,j,k\geq 0}$ und ${\displaystyle u+v+w=1,\ u,v,w\geq 0}$.

Mit den Abkürzungen ${\displaystyle {\bf {I}}:=(i,j,k),\ {\bf {u}}:=(u,v,w)}$ und ${\displaystyle |{\bf {I}}|:=i+j+k,\ |{\bf {u}}|:=u+v+w}$ ist

${\displaystyle B_{\bf {I}}^{n}({\bf {u}}):={\frac {n!}{i!j!k!}}u^{i}v^{j}w^{k},\quad |{\bf {u}}|=1\quad {\text{und}}\quad \sum _{|{\bf {I}}|=n}B_{\bf {I}}^{n}=1.}$

Ist nun

${\displaystyle {\bf {b}}_{00n},{\bf {b}}_{10,n-1},...{\bf {b}}_{n00},{\bf {b}}_{01,n-1},{\bf {b}}_{11,n-2},...,{\bf {b}}_{n-1,10},...,{\bf {b}}_{0n0}}$

ein dreieckiges Netz von Punkten des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, den Kontrollpunkten, so ist

• ${\displaystyle {\bf {b}}^{n}({\bf {u}}):=\sum _{|{\bf {I}}|=n}{\bf {b}}_{\bf {I}}B_{\bf {I}}^{n}({\bf {u}})}$

die zugehörige Dreiecks-Bezierfläche.

Die Abbildung zeigt die Anordnung der Punkte für den Fall ${\displaystyle n=4}$.

De-Casteljau-Algorithmus

Um den Casteljau-Algorithmus für Dreiecks-Bezierflächen übersichtlich formulieren zu können, führt man noch die folgenden Abkürzungen ein:

${\displaystyle {\bf {e}}_{1}:=(1,0,0),\;{\bf {e}}_{2}:=(0,1,0),\;{\bf {e}}_{3}:=(0,0,1)\ }$ und ${\displaystyle \;{\bf {o}}:=(0,0,0)}$.

Es sei nun ${\displaystyle \{{\bf {b}}_{\bf {I}}||{\bf {I}}|=n\}}$ ein dreieckiges Netz von Punkten im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ und ${\displaystyle {\bf {u}}}$ ein Parametervektor in baryzentrischen Koordinaten. Dann sei für ${\displaystyle r=1,...,n}$ und ${\displaystyle {\bf {I}}=n-r}$

${\displaystyle {\bf {b}}_{\bf {I}}^{r}:=u{\bf {b}}_{{\bf {I}}+{\bf {e}}_{1}}^{r-1}({\bf {u}})+v{\bf {b}}_{{\bf {I}}+{\bf {e}}_{2}}^{r-1}({\bf {u}})+w{\bf {b}}_{{\bf {I}}+{\bf {e}}_{3}}^{r-1}({\bf {u}})}$

mit ${\displaystyle {\bf {b}}_{\bf {I}}^{0}({\bf {u}}):={\bf {b}}_{\bf {I}}.}$ Dann ist

• ${\displaystyle {\bf {b}}_{\bf {o}}^{n}({\bf {u}})}$ ein Punkt der Dreiecks-Bezierfläche.

Der Nachweis, dass der Casteljau-Algorithmus wirklich einen Punkt der Dreiecks-Bezierfläche liefert, verwendet (analog zum Kurvenfall) die Rekursionsformeln für Bernsteinpolynome:

• ${\displaystyle B_{\bf {I}}^{n}({\bf {u}})=uB_{{\bf {I}}-{\bf {e}}_{1}}^{n-1}({\bf {u}})+vB_{{\bf {I}}-{\bf {e}}_{2}}^{n-1}({\bf {u}})+wB_{{\bf {I}}-{\bf {e}}_{3}}^{n-1}({\bf {u}}),\quad |{\bf {I}}|=n.}$

Für weitere Details sei auf die Literatur verwiesen.