In der niedrig-dimensionalen Topologie ist die Birman-Sequenz ein fundamentales Hilfsmittel bei der Untersuchung von Abbildungsklassengruppen. Sie ist nach der US-amerikanischen Mathematikerin Joan Birman benannt.

Abbildungsklassengruppen

Für eine geschlossene, orientierbare Fläche ${\displaystyle F}$ vom Geschlecht ${\displaystyle g}$ mit ${\displaystyle r}$ Punkten ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{r}\in F}$ definiert man

${\displaystyle \Gamma _{g,r}:=Mod(F,\left\{x_{1},\ldots ,x_{r}\right\})}$

als die Gruppe der Homotopieklassen von Homöomorphismen ${\displaystyle \phi \colon F\to F}$ mit ${\displaystyle \phi (x_{1})=x_{1},\ldots ,\phi (x_{r})=x_{r}}$, wobei auch die Homotopien die Punkte ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{r}}$ festlassen sollen. Insbesondere erhält man für ${\displaystyle r=0}$ die "klassische" Abbildungsklassengruppe ${\displaystyle \Gamma _{g}:=Mod(F)}$.

Die Birman-Sequenz wird vor allem für Induktionsbeweise von Eigenschaften von ${\displaystyle \Gamma _{g,r}}$ mittels Induktion nach ${\displaystyle r}$ genutzt. Aber auch in umgekehrter Richtung kann sie eingesetzt werden. Zum Beispiel erlaubt der Satz von Madsen-Weiss die Berechnung der stabilen Homologie von ${\displaystyle \Gamma _{g,1}}$ und mittels der Birman-Sequenz kann man dann einen Bezug zur Homologie von ${\displaystyle \Gamma _{g}}$ herstellen.

Birman-Sequenz

Es sei ${\displaystyle F}$ eine kompakte, orientierbare Fläche vom Geschlecht ${\displaystyle g}$ und seien ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{r}}$ Punkte auf ${\displaystyle F}$. Dann hat man eine exakte Sequenz

${\displaystyle 1\to \pi _{1}C(F,r)\to \Gamma _{g,r}\to \Gamma _{g}\to 1,}$

wobei ${\displaystyle C(F,r)}$ den Konfigurationsraum von ${\displaystyle r}$ Punkten auf ${\displaystyle F}$ bezeichnet, also den Quotienten von ${\displaystyle \left\{(c_{1},\ldots ,c_{r})\in F^{r}\colon c_{i}\not =c_{j}\ \forall \ i\not =j\right\}}$ unter der Wirkung der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{r}}$.

Häufig wird auch nur der Spezialfall ${\displaystyle r=1}$, also die exakte Sequenz

${\displaystyle 1\to \pi _{1}F\to \Gamma _{g,1}\to \Gamma _{g}\to 1}$

als Birman-Sequenz bezeichnet.

Die Abbildungen ${\displaystyle \pi _{1}F\to \Gamma _{g,1}}$ und allgemein ${\displaystyle \pi _{1}C(F,r)\to \Gamma _{g,r}}$ werden durch die „Point-Pushing Map“ definiert.

3-Mannigfaltigkeiten

Es existiert auch eine Birman-Sequenz für hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten, aber nicht für Seifert-Faserungen.

Literatur

• Joan Birman: Braids, links, and mapping class groups. Annals of Mathematics Studies, No. 82. Princeton University Press, Princeton, N.J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974.
• Benson Farb, Dan Margalit: A primer on mapping class groups. Princeton Mathematical Series, 49. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2012. ISBN 978-0-691-14794-9

Einzelnachweise

1. ↑ Kapitel 4.2 in Farb-Margalit, op. cit.
2. ↑ Für die genaue Konstruktion der „Point-Pushing Map“ siehe Kapitel 4.2.2 in Farb-Margalit, op. cit.
3. ↑ Jessica Banks: The Birman exact sequence for 3-manifolds. ArXiv