Vertauschbarkeit

De Finetti beschäftigte sich mit in der Reihenfolge vertauschbaren Zufallsvariablen, sogenannten austauschbaren Familien von Zufallsvariablen. Das sind Zufallsvariablen, bei denen die Reihenfolge der Ereignisse keinen Einfluss auf die Gesamtwahrscheinlichkeit hat. Die Annahme der Vertauschbarkeit ist stärker, als dass die Zufallsvariablen identisch verteilt, und schwächer, als dass sie identisch verteilt und unabhängig sind.

Weiteres

1929 führte de Finetti den Begriff der unendlichen Teilbarkeit von Zufallsvariablen ein. Er ist eng mit dem des Lévy-Prozesses verbunden.

Die De-Finetti-Diagramme zur einfachen Darstellung des Anteils von Genotypen an einer Population wurden nach ihm benannt. Sie sind ein 2-Simplex.

De Finetti lehnte die σ-Additivität von Zufallsvariablen ab, weil sie seiner Auffassung nach zu paradoxen Konsequenzen führte. Zusammen mit Alfréd Rényi versuchte er, eine alternative Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu entwickeln. Diese Axiomatisierung fand aber kaum Anklang.

Satz von de Finetti

Außerdem bewies er 1931 den Satz von de Finetti (auch Darstellungssatz von de Finetti, englisch: de Finetti's theorem oder de Finetti's representation theorem), der besagt, dass alle ins Unendliche fortsetzbaren Folgen einer vertauschbaren Zufallsvariablen als Wichtung einer identisch und unabhängig verteilten Zufallsvariablen dargestellt werden können – und umgekehrt.

Nehmen wir einen beliebig fortsetzbaren Prozess an, in dem es aus ${\displaystyle n}$ Versuchen ${\displaystyle k}$ Treffer und ${\displaystyle n-k}$ Misserfolge gibt, wobei die Wahrscheinlichkeit einer Anzahl von Treffern nicht von ihrer Reihenfolge abhängt (für ein gegebenes ${\displaystyle k}$ gibt es aufgrund der Vertauschbarkeit ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ Folgen aus den ${\displaystyle 2^{n}}$ insgesamt möglichen Folgen). Dann gibt es genau eine Verteilungsfunktion ${\displaystyle W(p)}$ derart, dass

${\displaystyle P(s_{n}=k)={n \choose k}\int _{0}^{1}p^{k}(1-p)^{n-k}\mathrm {d} W(p)}$,

oder mit ${\displaystyle bin(k|p,n)}$ als der Dichte der Binomialverteilung geschrieben:

${\displaystyle P(s_{n}=k)=\int _{0}^{1}bin(k|p,n)\mathrm {d} W(p)}$.

Anwendung

Erweiterungen des Satzes auf Zufallsvariablen mit mehr als zwei Zuständen und Prozesse, bei denen Teilfolgen vertauschbar sind, sowie binomiale Näherungsformeln für nur endlich fortsetzbare Zufallsvariablen existieren. Inzwischen wurde gezeigt, dass auch endliche und negativ korrelierte Zufallsfolgen gemäß de Finetti dargestellt werden können, wenn als Wichtung ein signiertes Maß aus ${\displaystyle [-1,1]}$ gewählt wird.

Diese Sätze stellen einen Zusammenhang zwischen einerseits der Häufigkeit realer Ereignisse und andererseits subjektiven Wahrscheinlichkeitszuweisungen her, wobei es von Bedeutung ist, dass der Zusammenhang in beiden Richtungen wirkt. Dieser Zusammenhang erlaubt, mithilfe des Satzes von Bayes statistisch zu schließen. De Finetti und, ihm folgend, die Anhänger einer bayesschen Wahrscheinlichkeitsauffassung sehen darin eine Rechtfertigung der Induktion.