Berechnung Blindwiderstände

Die Schaltung oszilliert auf der Frequenz für welche die Summe der Blindwiderstände Null wird. In der Thomsonsche Schwingungsgleichung mit zwei frequenzbestimmenden Bauteilen ist der Ansatz ${\displaystyle 0=X_{L}+X_{C}}$. Dabei sind induktive Blindwiderstände positiv ${\displaystyle \left(X_{L}>0\right)}$ und kapazitive Blindwiderstände negativ ${\displaystyle \left(X_{C}<0\right)}$. Liegen Blindwiderstände in Reihe, wie ${\displaystyle C_{3}}$ und ${\displaystyle L_{1}}$, werden die Blindwiderstände addiert. Der Gesamtblindwiderstand ${\displaystyle X_{G}}$ von Blindwiderständen in Parallelschaltung wird berechnet mit:

${\displaystyle {\frac {1}{X_{G}}}={\frac {1}{X_{1}}}+{\frac {1}{X_{2}}}+{\frac {1}{X_{3}}}}$

Die Parallel- und Reihenschaltung der Blindwiderstände im Clapp-Oszillator ergeben den Ansatz:

${\displaystyle 0={\frac {1}{X_{L_{2}}}}+{\frac {1}{X_{C_{3}}+X_{L_{1}}}}+{\frac {1}{X_{C_{1}}+X_{C_{2}}}}}$

Üblicherweise wird für eine gegebene Frequenz ${\displaystyle f}$ und gegebene „Colpitts-Induktivität“ ${\displaystyle L_{0}}$ die Werte von ${\displaystyle C_{1}}$ bis ${\displaystyle C_{3}}$ gesucht. Der Clapp-Oszillator verwendet größere Induktivitäten als der Colpitts-Oszillator. Es ist ${\displaystyle L_{1}=PL_{0}}$ und ${\displaystyle L_{2}=AL_{0}}$. Dabei ist ${\displaystyle P>1}$, ${\displaystyle A>P}$ und ${\displaystyle A\gg 1}$. Die Werte ${\displaystyle X_{C_{1}}}$ und ${\displaystyle X_{C_{2}}}$ können noch nicht berechnet werden. Mit ${\displaystyle X_{C_{0}}=X_{C_{1}}+X_{C_{2}}}$ ist der neue Ansatz:

${\displaystyle 0={\frac {1}{AX_{L_{0}}}}+{\frac {1}{X_{C_{3}}+PX_{L_{0}}}}+{\frac {1}{X_{C_{0}}}}}$

Die Umstellung nach ${\displaystyle X_{C_{3}}}$ liefert

${\displaystyle X_{C_{3}}={\dfrac {1}{-{\dfrac {1}{AX_{L_{0}}}}-{\dfrac {1}{X_{C_{0}}}}}}-PX_{L_{0}}}$

Mit den Definitionen der Kreisfrequenz ${\displaystyle \omega =2\pi f}$, des induktiven Blindwiderstand ${\displaystyle X_{L}=\omega L}$ und des kapazitiven Blindwiderstand ${\displaystyle X_{C}=-{\frac {1}{\omega C}}}$ wird

${\displaystyle C_{3}=-{\dfrac {1}{\omega \left({\dfrac {1}{\omega C_{0}-{\dfrac {1}{A\omega L_{0}}}}}-P\omega L_{0}\right)}}}$

Die Umstellung der Schwingkreisformel ${\displaystyle C_{0}={\frac {1}{\omega ^{2}L_{0}}}}$ erlaubt die Berechnung von ${\displaystyle C_{0}}$ und ${\displaystyle C_{3}}$ aus gegebenen Werten für ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle L_{0}}$.

Rechenbeispiel

Gegeben sind ${\displaystyle P=6}$, ${\displaystyle A=20}$, ${\displaystyle f=30\,\mathrm {MHz} }$ und ${\displaystyle L_{0}=500\,\mathrm {nH} }$. Es folgt ${\displaystyle L_{1}=3\,\mathrm {\mu H} }$, ${\displaystyle L_{2}=10\,\mathrm {\mu H} }$, ${\displaystyle C_{0}=53{,}5\,\mathrm {pF} }$ und ${\displaystyle C_{3}=11{,}5\,\mathrm {pF} }$. Wenn ${\displaystyle f=15\,\mathrm {MHz} }$ gesetzt wird und die Werte für ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle C_{0}}$ und ${\displaystyle L_{0}}$ gleich bleiben, dann wird ${\displaystyle C_{3}=338\,\mathrm {pF} }$.

Berechnung Wirkwiderstände

Die Berechnung der Wirkwiderstände erfolgt entsprechend der Colpitts-Schaltung. Zuerst werden alle Wirkwiderstände am Verstärker-Eingang (Source) in ein Ersatzelement ${\displaystyle R_{E}}$ und alle Wirkwiderstände am Verstärker-Ausgang (Drain) in ${\displaystyle R_{A}}$ zusammengefasst. Mit dem Spannungs-Übersetzungs-Verhältnis ${\displaystyle N}$ und der Verstärker-Steilheit ${\displaystyle g_{m}}$ muss für die Amplitudenbedingung die Gleichung ${\displaystyle N\,g_{m}={\frac {1}{R_{E}}}+{\frac {N^{2}}{R_{A}}}}$ erfüllt werden. Die Lösung dieser quadratischen Gleichung ist

${\displaystyle N_{1,2}={\frac {g_{m}\,R_{A}}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {g_{m}\,R_{A}}{2}}\right)^{2}-{\frac {R_{A}}{R_{E}}}}}}$

Am Verstärker-Eingang liegt die Parallelschaltung der Widerstände ${\displaystyle R_{1}}$, ${\displaystyle R_{L}}$ und ${\displaystyle R_{i}}$, der Eingangswiderstand des Verstärkers. Für einen JFET ist ${\displaystyle R_{i}={\frac {1}{g_{m}}}}$. Damit wird

${\displaystyle {\frac {1}{R_{E}}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{L}}}+g_{m}}$

Am Verstärker-Ausgang liegt die Parallelschaltung der Widerstände ${\displaystyle R_{P_{1}}}$, ${\displaystyle R_{P_{2}}}$ und ${\displaystyle R_{o}}$, der Ausgangswiderstand des Verstärkers. Der Gütefaktor ist ${\displaystyle Q_{1}}$ für die Reihenschaltung von ${\displaystyle C_{3}}$ und ${\displaystyle L_{1}}$ und damit ist das Wirkwiderstand-Ersatzelement

${\displaystyle R_{P_{1}}=Q_{1}\left(\omega L_{1}-{\frac {1}{\omega C_{3}}}\right)}$

Die HF-Drossel ${\displaystyle L_{2}}$ hat den Gütefaktor ${\displaystyle Q_{2}}$. Das Wirkwiderstand-Ersatzelement ist

${\displaystyle R_{P_{2}}=Q_{2}\omega L_{2}}$

Der Ausgangswiderstand des Verstärkers ${\displaystyle R_{o}}$ ist sehr hoch und wird ignoriert. Es wird

${\displaystyle {\frac {1}{R_{A}}}={\frac {1}{R_{P_{1}}}}+{\frac {1}{R_{P_{2}}}}}$

Rechenbeispiel

Gegeben sind ${\displaystyle f=30\,\mathrm {MHz} }$, ${\displaystyle L_{1}=3\,\mathrm {\mu H} }$, ${\displaystyle L_{2}=10\,\mathrm {\mu H} }$, ${\displaystyle C_{0}=53{,}5\,\mathrm {pF} }$, ${\displaystyle R_{1}=220\,\Omega }$, ${\displaystyle R_{L}=200\,\Omega }$, ${\displaystyle g_{m}=3{\frac {\mathrm {mA} }{V}}}$, ${\displaystyle Q_{1}=100}$ und ${\displaystyle Q_{2}=65}$. Es folgt ${\displaystyle R_{E}=79{,}7\,\Omega }$ und ${\displaystyle R_{A}=17{,}8\,\mathrm {k\Omega } }$. Weiter folgt ${\displaystyle N_{1}=4{,}57}$ und ${\displaystyle N_{2}=48{,}9}$. Benutzt wird der kleinere Wert ${\displaystyle N_{1}}$. Nun kann ${\displaystyle C_{0}}$ in ${\displaystyle C_{1}}$ und ${\displaystyle C_{2}}$ aufgeteilt werden.

${\displaystyle C_{1}=C_{0}\,\left({\frac {N+1}{N}}\right)}$

${\displaystyle C_{2}=N\,C_{1}}$

Es sind ${\displaystyle C_{1}=65{,}2\,\mathrm {pF} }$ und ${\displaystyle C_{2}=298\,\mathrm {pF} }$. Damit ist die Berechnung des Clapp-Oszillators abgeschlossen.