Die Rutherford-Streuung beschreibt die Streuung von geladenen Partikeln an einem geladenen Streuzentrum. Im Ausgangsversuch wurde die Streuung von Alpha-Teilchen an Gold-Atomkernen untersucht. Die sich daraus ergebenden Teilchenbahnen sind Hyperbeln. Die Verteilung der gestreuten Teilchen lässt auf die Struktur des Streuzentrums rückschließen. Dies führte zur Erkenntnis, dass die positive Ladung in den Atomen sich auf einen kleinen Raum im Atomzentrum konzentriert. Bis dahin galt das Modell von J. J. Thomson, bei dem die positive Ladung des Atoms homogen in einer Kugel verteilt ist (thomsonsches Atommodell). An diesen Experimenten waren unter Ernest Rutherfords Leitung Hans Geiger und Ernest Marsden beteiligt. Bei der Betrachtung der Messergebnisse, die darauf hinweisen, dass die Masse des Atoms in einem kleinen Kern konzentriert ist, soll Rutherford gesagt haben: „Dies ist so unwahrscheinlich, als ob man mit einer Pistole auf einen Wattebausch schießt, und die Kugel zurückprallt.“

Rutherfordscher Streuversuch (Manchester, 1909–1913)

Rutherfordsche Streuformel

Die rutherfordsche Streuformel gibt den so genannten differenziellen Streuquerschnitt (auch Wirkungsquerschnitt genannt) in Abhängigkeit vom Streuwinkel ${\displaystyle \vartheta }$ im Schwerpunktsystem an:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}=\left({\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}}{4E_{0}}}\right)^{2}{\frac {1}{\sin ^{4}\left({\frac {\vartheta }{2}}\right)}}}$

Die gleiche Formel in kernphysikalisch sinnvollen Einheiten:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}[\mathrm {barn} ]\approx 1{,}3\cdot 10^{-3}\left({\frac {Z_{1}Z_{2}}{E_{0}[\mathrm {MeV} ]}}\right)^{2}{\frac {1}{\sin ^{4}\left({\frac {\vartheta }{2}}\right)}}}$

Damit ist die Wahrscheinlichkeit beschrieben, dass gestreute Teilchen nach einer Ablenkung um den Winkel ${\displaystyle \vartheta }$ im Raumwinkel ${\displaystyle \mathrm {d} \Omega =2\pi \sin(\vartheta )\,\mathrm {d} \vartheta }$ auftreffen.

In der Formel werden weiterhin folgende Größen benutzt:

Elektrische Feldkonstante (Dielektrizitätskonstante)	${\displaystyle \varepsilon _{0}=8{,}854\cdot 10^{-12}\,{\frac {\mathrm {C} }{\mathrm {Vm} }}}$
Ladung des gestreuten Teilchens	${\displaystyle Z_{1}e}$
Ladung des Atomkerns	${\displaystyle Z_{2}e}$
Elementarladung	${\displaystyle e=1{,}602\cdot 10^{-19}\,\mathrm {C} }$
Anfangsenergie des gestreuten Teilchens	${\displaystyle E_{0}}$

Auf den Vorfaktor kommt man, indem man folgende Größen verwendet:

Feinstrukturkonstante	${\displaystyle \alpha \ =\ {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\;{\frac {e^{2}}{\hbar c}}\approx 1/137}$
Einheit für den Wirkungsquerschnitt	${\displaystyle 1\,\mathrm {barn} =100\,\mathrm {fm} ^{2}}$
	${\displaystyle \hbar c=197\,\mathrm {MeV} \cdot \mathrm {fm} }$

Rutherford leitete die rutherfordsche Streuformel aus der klassischen Physik her. Eine vollständige quantenmechanische Behandlung des Problems mit Hilfe der bornschen Näherung ergibt, dass die rutherfordsche Streuformel in erster Ordnung korrekt ist und quantenmechanische Effekte nur kleine Korrekturen darstellen. Ein weiteres Problem der rutherfordschen Formel ist der Grenzfall ${\displaystyle \vartheta =0}$, für die der differentielle Wirkungsquerschnitt unendlich groß wird. Kleine Winkel entsprechen jedoch einem großen Stoßparameter. Bei sehr großen Stoßparametern schirmen die Atomelektronen den Kern jedoch ab. Die einzige Möglichkeit sehr kleine Winkel bei kleinen Stoßparametern zu haben, ist die Energie der Alpha-Teilchen zu erhöhen. Für sehr hohe Energien kann die Ladungsverteilung des Atomkerns jedoch nicht mehr als punktförmig angenommen werden. Dann geht der Formfaktor der Ladungsverteilung zusätzlich in die Streuformel ein. Außerdem kann man bei hohen Projektilenergien nicht mehr davon ausgehen, dass die Streuung nur durch elektromagnetische Wechselwirkung geschieht. Nähern sich beide Kerne bis zu einem Kontaktradius, spielt die starke Wechselwirkung eine größere Rolle.

Herleitung der Rutherford-Streuformel

Aufgrund der abstoßenden Wirkung der Coulombkraft ${\displaystyle F={\frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}}$ ergibt sich für die Bahn des Alphateilchens (${\displaystyle Z_{1}=2}$) eine Hyperbel.

Die große Halbachse a der Hyperbel lässt sich aus dem Ansatz

${\displaystyle E_{\mathrm {kin} }=e\Phi _{c}={\frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}2a}}={\frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}a}}}$

bestimmen, wobei sich aufgrund der Hyperbelform der Bahn ${\displaystyle 2a}$ als der minimale Abstand des Alphateilchens ergibt, wenn es zentral mit dem Kern stößt. ${\displaystyle a}$ ist von der kinetischen Energie abhängig und kann auch für Stöße, die nicht zentral sind, übernommen werden. Der Stoßparameter ${\displaystyle b}$ ist der minimale Abstand des Alphateilchens zum Kern, wenn es auf einer Geraden weiter fliegen würde. Tatsächlich wird das Alphateilchen um den Winkel ${\displaystyle \vartheta }$ gestreut. Aus der Geometrie der Hyperbel erhält man folgende Gleichungen:

${\displaystyle \tan \left(\alpha \right)={\frac {b}{a}}=\tan \left(90^{\circ }-{\frac {\vartheta }{2}}\right)=\cot \left({\frac {\vartheta }{2}}\right)}$,

da ${\displaystyle 2\alpha +\vartheta =180^{\circ }}$ und damit

${\displaystyle \cot {\frac {\vartheta }{2}}={\frac {b}{a}}={\frac {8\pi \varepsilon _{0}E_{\mathrm {kin} }}{Z_{1}Z_{2}e^{2}}}b}$.

Durch Ableitung der letzten Formel erhält man einen Zusammenhang zwischen der Breite ${\displaystyle \mathrm {d} b}$ eines Hohlzylinders und der zugehörigen Breite ${\displaystyle \mathrm {d} \vartheta }$ des Ablenkwinkels ${\displaystyle \vartheta }$.

${\displaystyle -{\frac {1}{2\sin ^{2}{\frac {\vartheta }{2}}}}\mathrm {d} \vartheta ={\frac {8\pi \varepsilon _{0}E_{\mathrm {kin} }}{Z_{1}Z_{2}e^{2}}}\mathrm {d} b}$

Sei ${\displaystyle z={\frac {n}{V}}}$ die Teilchendichte (${\displaystyle n}$ Atome pro Volumen ${\displaystyle V}$) des Streumaterials und ${\displaystyle x}$ die Dicke der Folie, so gibt ${\displaystyle \sigma ={\frac {A}{n}}={\frac {\frac {V}{x}}{n}}={\frac {1}{zx}}}$ die durchschnittliche Querschnittsfläche pro Atom an, die das Alphateilchen beim Durchgang durch die Folie erfährt. ${\displaystyle \sigma }$ nennt man auch den Wirkungsquerschnitt.

Die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle P(\vartheta )\mathrm {d} \vartheta }$ im Ring des Hohlzylinders zu landen ergibt sich dann aus

${\displaystyle P(\vartheta )\mathrm {d} \vartheta ={\frac {A_{b}}{\sigma }}={\frac {2\pi bdb}{\frac {1}{zx}}}=zx2\pi b\mathrm {d} b}$.

Von ${\displaystyle N}$ Teilchen werden ${\displaystyle \mathrm {d} N'}$ in den Hohlkegel gestreut. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist

${\displaystyle {\begin{aligned}P(\vartheta )\vartheta &={\frac {\mathrm {d} N'}{N}}=zx2\pi b\mathrm {d} b\\&=zx2\pi {\frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}E_{\mathrm {kin} }}}\cot {\frac {\vartheta }{2}}\cdot {\frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}E_{\mathrm {kin} }}}\cdot {\frac {1}{2\sin ^{2}{\frac {\vartheta }{2}}}}\mathrm {d} \vartheta \\&=zx{\frac {Z_{1}^{2}Z_{2}^{2}e^{4}}{64\pi \varepsilon _{0}^{2}E_{\mathrm {kin} }^{2}}}\cdot {\frac {\cos {\frac {\vartheta }{2}}}{\sin ^{3}{\frac {\vartheta }{2}}}}\mathrm {d} \vartheta \end{aligned}}}$

${\displaystyle \mathrm {d} N}$ gibt die Anzahl der Teilchen in den Raumwinkel ${\displaystyle \mathrm {d} \Omega }$ an.

${\displaystyle \mathrm {d} \Omega =2\pi \sin(\vartheta )d\vartheta =4\pi \sin {\frac {\vartheta }{2}}\cos {\frac {\vartheta }{2}}\mathrm {d} \vartheta }$

Daraus folgt:

${\displaystyle \mathrm {d} \vartheta ={\frac {1}{4\pi \sin {\frac {\vartheta }{2}}\cos {\frac {\vartheta }{2}}}}\mathrm {d} \Omega }$.

So ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} N}{N}}=zx{\frac {Z_{1}^{2}Z_{2}^{2}e^{4}}{256\pi ^{2}\varepsilon _{0}^{2}E_{\mathrm {kin} }^{2}}}\cdot {\frac {1}{\sin ^{4}{\frac {\vartheta }{2}}}}\mathrm {d} \Omega }$

Dies ist die Rutherford-Streuformel. Sie gibt an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für ein Teilchen ist, in den Raumwinkel ${\displaystyle \mathrm {d} \Omega }$ gestreut zu werden.

Oft wird die Streuformel mit Hilfe des differentiellen Wirkungsquerschnitts ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}}$ angegeben. Er ist ein Maß für die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Es gilt

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} N}{N}}={\frac {\mathrm {d} \sigma }{\sigma }}=z\cdot x\cdot \mathrm {d} \sigma }$

und damit

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {Z_{1}^{2}Z_{2}^{2}e^{4}}{256\pi ^{2}\varepsilon _{0}^{2}E_{\mathrm {kin} }^{2}}}\cdot {\frac {1}{\sin ^{4}{\frac {\vartheta }{2}}}}=\left({\frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\cdot 4\cdot E_{\mathrm {kin} }}}\right)^{2}\cdot {\frac {1}{\sin ^{4}{\frac {\vartheta }{2}}}}.}$

Bemerkungen

1. ${\displaystyle \vartheta =0}$ ist nicht definiert, da es einen minimalen Ablenkwinkel ${\displaystyle \vartheta _{\mathrm {min} }}$ gibt. Dieser wird angenommen, wenn sich das Alphateilchen im Abstand ${\displaystyle b=b_{\mathrm {max} }}$ vom Atom, also am Rand der kreisförmigen Wirkungsquerschnittsfläche bewegt. Für einen größeren Stoßparameter ${\displaystyle b}$ befindet sich das Alphateilchen im Streufeld des Nachbaratoms und der Ablenkwinkel nimmt wieder zu.
   Dabei gilt:

   ${\displaystyle \sigma ={\frac {A}{n}}=b_{\mathrm {max} }^{2}\cdot \pi }$
   und

   ${\displaystyle \tan {\frac {\vartheta _{\mathrm {min} }}{2}}={\frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}E_{\mathrm {kin} }\cdot b_{\mathrm {max} }}}}$.

2. Das Integral über die Wahrscheinlichkeitsverteilung ${\displaystyle P(\vartheta )\mathrm {d} \vartheta }$ ergibt 1

   ${\displaystyle \int _{\vartheta _{\mathrm {min} }}^{\pi }{P(\vartheta )\mathrm {d} \vartheta }=1}$

3. Ähnliches gilt für die Flächenintegrale

   ${\displaystyle \int _{\vartheta \geqslant \vartheta _{\mathrm {min} }}{zx{\frac {Z_{1}^{2}Z_{2}^{2}e^{4}}{256\pi ^{2}\varepsilon _{0}^{2}E_{\mathrm {kin} }^{2}}}\cdot {\frac {1}{\sin ^{4}{\frac {\vartheta }{2}}}}\mathrm {d} \Omega }=1}$
   und

   ${\displaystyle \int _{\vartheta \geqslant \vartheta _{\mathrm {min} }}\left({\frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\cdot 4\cdot E_{\mathrm {kin} }}}\right)^{2}\cdot {\frac {1}{\sin ^{4}{\frac {\vartheta }{2}}}}\mathrm {d} \Omega =\sigma }$

Siehe auch

• Rutherford Backscattering Spectrometry

Literatur

• E. Rutherford, The Scattering of α and β Particles by Matter and the Structure of the Atom, Philosophical Magazine. Series 6, 21 (May 1911) p. 669–688 (PDF, Kurzfassung)
• H. Geiger and E. Marsden, On a Diffuse Reflection of the α-Particles (Memento vom 24. April 2008 im Internet Archive), Proceedings of the Royal Society 82A (1909), p. 495–500
• H. Geiger and E. Marsden, LXI. The Laws of Deflexion of a Particles through Large Angles, Philosophical Magazine 25 (1913), p. 604–623
• Gerthsen, Kneser, Vogel: Physik, 16. Auflage, S. 630–633, Springer-Verlag

Weblinks

• LP - Rutherfordsches Streuexperiment (inkl. Skizzen, Fotos, Video und Literaturhinweisen)
• Rutherfordexperiment auf Schülerniveau (LEIFIphysik)

Einzelnachweise

1. ↑ Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 3: Atome, Moleküle und Festkörper. Springer Berlin Heidelberg, 2016, ISBN 978-3-662-49094-5, S. 64 (google.com). 
2. ↑ Eckhard Ignatowitz: Chemie für Schule und Beruf: ein Lehr- und Lernbuch. 5. Auflage. Verl. Europa-Lehrmittel Nourney, Vollmer, Haan-Gruiten 2014, ISBN 978-3-8085-7056-2.