Feynman-Diagramme sind in der Teilchen- und Festkörperphysik standardmäßig verwendete bildliche Darstellungen quantenfeldtheoretischer Wechselwirkungen, die 1949 von Richard Feynman am Beispiel der Quantenelektrodynamik entwickelt wurden. Die Diagramme sind streng in mathematische Ausdrücke übersetzbar.

Bedeutung und Anwendung

Feynman-Diagramme sind eine abstrakte, graphische Repräsentation der Wechselwirkungen von Teilchen, die mathematisch durch Lagrange-Dichten ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ beschrieben werden. Beispielsweise wird die Interaktion zwischen Elektronen und Photonen durch die folgende Lagrange-Dichte beschrieben:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\Psi ^{\dagger }\gamma ^{0}\left(\mathrm {i} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\Psi -e\Psi ^{\dagger }\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }A_{\mu }\Psi -{\frac {1}{4}}\left(\partial _{\nu }A_{\mu }-\partial _{\mu }A_{\nu }\right)\left(\partial ^{\nu }A^{\mu }-\partial ^{\mu }A^{\nu }\right)}$

Hierbei ist ${\displaystyle \Psi }$ der dem Elektron (oder Positron) entsprechende Dirac-Spinor, ${\displaystyle \Psi ^{\dagger }}$ das dazu komplex-konjugierte und transponierte Feld, ${\displaystyle e}$ die elektrische Ladung, ${\displaystyle m}$ die Masse des Elektrons, ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ die Dirac-Matrizen und ${\displaystyle A_{\mu }}$ das dem Photon entsprechende elektromagnetische Viererpotential. Die Ableitung ${\displaystyle \Psi ^{\dagger }\gamma ^{0}\left(\mathrm {i} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\Psi }$ beschreibt die Ausbreitung des Elektrons in der Raumzeit, während der Ausdruck ${\displaystyle e\Psi ^{\dagger }\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }A_{\mu }\Psi }$ die elektrische Ladung des Elektrons mit dem Photon koppelt. Die Indizes ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle \nu }$ stellen die vier Dimensionen des Minkowski-Raums (${\displaystyle \mu \in \{0,1,2,3\}}$ für die Koordinaten ${\displaystyle \{t,x,y,z\}}$) dar. Es gilt die Einsteinsche Summenkonvention, und die Einheiten sind so gewählt, dass ${\displaystyle \hbar =c=\varepsilon _{0}=1}$ gilt.

Solche Ausdrücke sind im Allgemeinen sehr kompliziert, lassen sich jedoch eindeutig in entsprechende Feynman-Diagramme übersetzen, die eine vereinfachte und anschauliche Darstellung bieten. Eine einfache Berechnung der mathematischen Ausdrücke erlauben Feynman-Diagramme jedoch nicht. Hierzu muss auf die mathematischen Formeln zurückgegriffen werden.

Üblicherweise werden Feynman-Diagramme dazu verwendet, die Berechnung von Streuprozessen in relativistischen Quantenfeldtheorien, z. B. in der Quantenelektrodynamik oder der Quantenchromodynamik, zu organisieren. Hierzu lässt sich die Gesamtamplitude eines Streuvorgangs als Summe aller gültigen Feynman-Diagramme in einer nach der Kopplungskonstanten entwickelten Potenzreihe aufschlüsseln. Anschließend können die einzelnen beitragenden Amplituden berechnet werden.

Zudem werden Feynman-Diagramme in der nichtrelativistischen Festkörperphysik, speziell in der Vielteilchenphysik und der Statistischen Physik, benutzt.

Aufbau

Feynman-Diagramme setzen sich aus grundlegenden Symbolen zusammen, die jeweils bestimmte Arten von Elementarteilchen abbilden. Fermionen (Materieteilchen) werden nach der üblichen Konvention mittels durchgezogener Linien mit Pfeil repräsentiert. Häufig wird das Antiteilchen als ein sich gegen die Zeit bewegendes Teilchen bezeichnet. Die Pfeilrichtung zeigt daher an, ob es sich um ein Teilchen (in Zeitrichtung) oder ein Antiteilchen (gegen die Zeitrichtung) handelt. Für die Beschriftung der Linien der Teilchen und Antiteilchen gibt es verschiedene Konventionen. Meist wird das genaue Symbol des Teilchens geschrieben. Manche Autoren verwenden aber eine kürzere und allgemeinere Schreibweise, die sowohl das Teilchen als auch das Antiteilchen bezeichnen kann (z. B. ${\displaystyle e}$ anstelle von ${\displaystyle e^{+}}$ und ${\displaystyle e^{-}}$), da die Information, ob es sich um ein Teilchen oder ein Antiteilchen handelt, bereits in der Pfeilrichtung steckt. Die Richtung der Zeitachse wird manchmal von unten nach oben, manchmal von links nach rechts gewählt.

Die Eichbosonen, welche die Interaktion von Teilchen vermitteln, werden je nach Wechselwirkung üblicherweise durch wellen- oder spiralförmige Linien repräsentiert, skalare Teilchen typischerweise durch gestrichelte Linien. Abweichungen von diesen Konventionen kommen vor, beispielsweise können W-Bosonen als gestrichelte Linien symbolisiert werden.

Die Zeit wird im Folgenden von links nach rechts dargestellt.

Zusätzlich können Beschriftungen verwendet werden, um zu definieren, welches Elementarteilchen gemeint ist.

Feynman-Diagramme haben äußere Linien, die in Wechselwirkungspunkte ein- oder auslaufen, und innere Linien, die Paare von Wechselwirkungspunkten verbinden. Den äußeren Linien entsprechen ein- und auslaufende Teilchen. Die Wechselwirkungspunkte, an denen die Linien zusammentreffen, heißen auch Vertices. An einem Vertex können Teilchen erzeugt, vernichtet oder gestreut werden.

Unter Festhalten der Zeit (von links nach rechts verlaufend) führt die Drehung um einen Vertex zu unterschiedlichen Interpretationen:

• Konfluenz- und Splitting-Prozesse
• Annihilation eines Elektrons und Positrons zu einem Photon
• Emission eines Photons durch ein Elektron
• Absorption eines Photons durch ein Positron
• Paarbildung eines Elektrons und Positrons durch ein Photon

Hierbei gilt zu beachten, dass ein Feynman-Diagramm nur aus über Teilchen zusammenhängenden Vertices besteht.

Propagatoren

Die inneren Linien nennt man Propagatoren und deutet sie als virtuelle Teilchen. Virtuelle Teilchen können nicht beobachtet werden. Aufgrund dessen ergibt sich eine Mehrdeutigkeit. Alle Diagramme mit den gleichen ein- und auslaufenden Linien sind äquivalent und werden summiert.

Schleifen

Neben den tree-level-Diagrammen, benannt nach ihrer baumartigen Struktur, sind zur exakten Berechnung auch die Loop-Diagramme höherer Ordnung von Bedeutung.

• ${\displaystyle A_{0}^{0}}$ keine Schleife
  (tree-level)
• ${\displaystyle A_{1}^{0}}$ eine Schleife
  (1-loop)
• ${\displaystyle A_{2}^{0}}$ zwei Schleifen
  (2-loop)
• ${\displaystyle A_{2}^{1}}$ zwei Schleifen
  (2-loop)

Die möglichen Feynman-Diagramme lassen sich nach der Zahl der inneren Schleifen ordnen, die als Loop-Ordnung bezeichnet wird, und im Zuge einer Reihenentwicklung aufsummieren:

${\displaystyle P=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{\nu }A_{n}^{\nu }\right)\alpha ^{n}=A_{0}^{0}\,\alpha ^{0}+A_{1}^{0}\,\alpha ^{1}+(A_{2}^{0}+A_{2}^{1})\,\alpha ^{2}+\ldots }$ .

Es sind dabei beliebig viele Diagramme denkbar. Jedoch sind Beiträge höherer Ordnung mit der entsprechenden Potenz der Kopplungskonstanten ${\displaystyle \alpha }$ unterdrückt. Mit ausreichend hoher Ordnung werden die Beiträge dann gemäß der Arbeitshypothese der Störungstheorie numerisch vernachlässigbar, da sie sich kaum auf das Ergebnis auswirken.

Feynman-Regeln

Die Feynman-Regeln beschreiben, welche Wechselwirkungen möglich sind und welche nicht.

Typen von Feynman-Diagrammen

• Zusammenhängende Diagramme

  Ist jeder Vertex über innere Linien und andere Vertices mit jedem anderen Vertex verbunden, so bezeichnet man das Diagramm als zusammenhängend, anderenfalls als unzusammenhängend. Bei jedem zusammenhängenden Teil des Diagramms ist die Summe der Energien, Impulse und Ladungen der einlaufenden Teilchen gleich der Summe der Energien, Impulse und Ladungen der auslaufenden Teilchen.

• Ein-Teilchen-irreduzible Diagramme

  Kann ein zusammenhängendes Diagramm nicht durch Zerschneiden einer inneren Linie in zwei unzusammenhängende Diagramme geteilt werden, so heißt es Ein-Teilchen-irreduzibel. Bei solchen Diagrammen treten Integrationen auf, die man nicht systematisch als Produkt einfacherer Integrale vereinfachen kann.

• Amputierte Diagramme

  Lässt man bei einem Diagramm Korrekturen (Selbstenergien, s. u.) zu den äußeren Linien weg, so bezeichnet man es als amputiert.

• Selbstenergie-Diagramme

  Ein Diagramm mit einem Loop und mit äußeren Linien an nur zwei Vertices heißt (nach Amputation) Selbstenergiediagramm. Sein Wert hängt nur von der Energie und dem Impuls ab, der durch äußere Linien an dem einen Vertex hinein- und an dem anderen hinaus fließt.

• Skelett-Diagramme

  Ein Diagramm ohne ein Selbstenergie-Unterdiagramm bezeichnet man als Skelett-Diagramm.

Festkörperphysikalische Analogie

Die gebräuchliche Übertragung auf die Festkörperphysik erhält man, indem man von der geschweift dargestellten Photonlinie, also von den Quanten der elektromagnetischen Wellen, zu den sog. Phononen übergeht, also zu den Schallquanten, und indem man das rückwärts laufende Elektron nicht als Positron im Sinne der Quantenelektrodynamik, sondern als Defektelektron im Sinne der Festköpertheorie interpretiert. Man erhält auf diese Weise u. a. die wesentlichen Diagramme für das Zustandekommen der Supraleitung und allgemein für Konfluenz- und Splitting-Prozesse durch Vernichtung bzw. Erzeugung einer elementaren fermionischen Anregung (z. B. eines (negativ geladenen) Elektrons bzw. eines (positiv geladenen) Defektelektrons bzw. eines Polarons) zusammen mit einem einlaufenden (oder auslaufenden) bosonischen Quasiteilchens, z. B. des schon erwähnten Phonons oder eines sog. Magnons (quantisierte Spinwellen) oder eines Plasmons (einer quantisierten Plasmaschwingung).

Bei allen Wechselwirkungsprozessen unter Beteiligung der erwähnten Anregungen ist die Summe der Energien (Frequenzen mal ${\displaystyle \hbar }$) bzw. der Impulse (Wellenzahlen mal ${\displaystyle \hbar }$) erhalten, sodass also den dargestellten Diagrammen wohldefinierte mathematische Ausdrücke für die Amplituden der Wechselwirkung entsprechen.

Umsetzung in der Kunst

Die Feynman-Graphen haben auch Eingang in die zeitgenössische Kunst gefunden. Der deutsche Glaskünstler Karl-Martin Hartmann schuf im Jahr 2000 für die Kirche St. Nicolai in Kalkar ein Chorfenster, das er aus einem Raster aus Feynman-Graphen gestaltete. Physikalische Erkenntnisse und die Schönheit der Naturwissenschaften sollen in diesem sakralen Kontext in einen Dialog mit den Lehren und Botschaften der Religion treten.

Literatur

• Otto Nachtmann: Phänomene und Konzepte der Elementarteilchenphysik. Vieweg, Braunschweig 1986, ISBN 3-528-08926-1.

Weblinks

• Using Feynman diagrams to illustrate particle interactions in the Standard Model. CERN, abgerufen am 27. Februar 2013 (englisch). 
• Martin Bäker: Wie funktionieren Feynman-Diagramme? In: ScienceBlogs. Abgerufen am 27. Februar 2013 (Einfache Erklärung der Berechnung von Feynman-Diagrammen). 
• Plip Tanedo: Let’s draw Feynman diagrams! In: Quantum Diaries. USLHC, Cornell University, abgerufen am 27. Februar 2013 (englisch). 
• Carl Brannen: Feynman Diagrams for the Masses (part 1). Abgerufen am 27. Februar 2013 (englisch). 
• Carl Brannen: Feynman Diagrams for the Masses (part 2). Abgerufen am 27. Februar 2013 (englisch). 

Einzelnachweise

1. ↑ R. P. Feynman: Space-Time Approach to Quantum Electrodynamics. In: Physical Review. Band 76, Nr. 6, 15. September 1949, ISSN 0031-899X, S. 769–789, doi:10.1103/PhysRev.76.769 (caltech.edu [PDF; abgerufen am 11. Februar 2023]). 
2. ↑ Abrikosov, Gor'kov, Dzyaloshinskii: Quantum field theory methods in statistical physics. Dover, 1961 und 1977, ISBN 0-486-63228-8.
3. ↑ Demystifying the Higgs Boson with Leonard Susskind. In: YouTube. Stanford University, 16. August 2012, abgerufen am 27. Februar 2013 (englisch). 
4. ↑ www.pro-physik.de/details/articlePdf/1106933/issue.html (Memento vom 20. Juni 2016 im Internet Archive) Physik sakral: Interview mit dem Künstler im Physik Journal 3 (2004) Nr. 12, abgerufen am 14. Januar 2019