Im Vektorraum

Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon U\to V}$ zwischen offenen Teilmengen ${\displaystyle U,V}$ des reellen Vektorraums ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ heißt Diffeomorphismus, falls gilt:

• ${\displaystyle f}$ ist bijektiv,
• ${\displaystyle f}$ ist überall stetig differenzierbar,
• die Umkehrabbildung ${\displaystyle f^{-1}}$ ist überall stetig differenzierbar.

Sind ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle f^{-1}}$ sogar ${\displaystyle k}$-mal stetig differenzierbar („von der Klasse ${\displaystyle C^{k}}$“, ${\displaystyle k=1,2,3,\dotsc }$), so nennt man ${\displaystyle f}$ einen ${\displaystyle C^{k}}$-Diffeomorphismus. Sind ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle f^{-1}}$ beliebig oft differenzierbar („von der Klasse ${\displaystyle C^{\infty }}$“), so bezeichnet man ${\displaystyle f}$ als ${\displaystyle C^{\infty }}$-Diffeomorphismus. Sind ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle f^{-1}}$ beide reell-analytisch („von der Klasse ${\displaystyle C^{\omega }}$“), so nennt man ${\displaystyle f}$ einen ${\displaystyle C^{\omega }}$-Diffeomorphismus.

Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon U\to V}$ zwischen offenen Teilmengen ${\displaystyle U,V\subset \mathbb {R} ^{n}}$ heißt lokaler Diffeomorphismus, falls jeder Punkt ${\displaystyle p\in U}$ eine offene Umgebung ${\displaystyle W\subset U}$ besitzt, so dass deren Bild ${\displaystyle f(W)\subset V}$ offen und die Einschränkung ${\displaystyle f|_{W}\colon W\to f(W)}$ von ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle W}$ ein Diffeomorphismus ist.

Auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten

Auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten wird der Begriff analog definiert:

Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon M\to N}$ zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ heißt Diffeomorphismus, falls sie bijektiv ist und sowohl ${\displaystyle f}$ als auch die Umkehrabbildung stetig differenzierbar sind. Wie oben werden die Begriffe ${\displaystyle C^{k}}$-, ${\displaystyle C^{\infty }}$- und ${\displaystyle C^{\omega }}$-Diffeomorphismus und lokaler Diffeomorphismus definiert.

Zwei Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ heißen diffeomorph, falls es einen Diffeomorphismus ${\displaystyle f}$ von ${\displaystyle M}$ nach ${\displaystyle N}$ gibt. Mannigfaltigkeiten, die diffeomorph sind, unterscheiden sich bezüglich ihrer differenzierbaren Struktur nicht.

Damit ist die Diffeomorphie gerade die Isomorphie in der Kategorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.

Satz über die Umkehrabbildung

Eine differenzierbare Abbildung mit invertierbarem Differential ist lokal ein Diffeomorphismus. Genauer formuliert:

Sei ${\displaystyle f\colon U\to V}$ stetig differenzierbar und die Ableitung von ${\displaystyle f}$ sei an der Stelle ${\displaystyle p\in U}$ invertierbar. Dann existiert eine offene Umgebung ${\displaystyle W}$ von ${\displaystyle p}$ in ${\displaystyle U}$, so dass ${\displaystyle f(W)}$ offen und die Einschränkung ${\displaystyle f|_{W}\colon W\to f(W)}$ ein Diffeomorphismus ist.

Diese Aussage gilt sowohl für Abbildungen zwischen offenen Mengen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ als auch für Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten.