Idealer Fall – zwei Bälle

Unter der Annahme, dass zwei ideale Bälle mit rein elastischen Stößen vorliegen, können die Endgeschwindigkeit und -höhe direkt aus der Energie- und Impulserhaltung berechnet werden. Daraus ergibt sich

${\displaystyle v_{2}'={\frac {m_{2}\cdot v_{2}+m_{1}\cdot (2v_{1}-v_{2})}{m_{1}+m_{2}}}}$

mit

• ${\displaystyle v_{1}}$: Geschwindigkeit des schwereren Balles vor dem Stoß
• ${\displaystyle v_{2}}$: Geschwindigkeit des leichteren Balles vor dem Stoß
• ${\displaystyle v_{2}'}$: Geschwindigkeit des leichteren Balles nach dem Stoß
• ${\displaystyle m_{1}}$: Masse des schwereren Balles
• ${\displaystyle m_{2}}$: Masse des leichteren Balles

Unter der Annahme, dass nun beide Bälle kurz vor dem Stoß die gleiche Geschwindigkeit mit entgegengesetzter Richtung haben,

${\displaystyle v_{1}=v=-v_{2},}$

ergibt sich für die Geschwindigkeit des leichteren Balls nach dem Stoß:

${\displaystyle v_{2}'=v\cdot {\frac {3m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\qquad }$

Die maximale Höhe ist erreicht, wenn die ganze kinetische Energie des Balls in potentielle Energie umgewandelt wurde. Für das Verhältnis aus der Sprunghöhe ${\displaystyle h_{2}}$ für den leichteren Ball zu seiner Starthöhe ${\displaystyle h_{0}}$ gilt:

${\displaystyle {\frac {h_{2}}{h_{0}}}=\left({\frac {3m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)^{2}}$

Wenn für die Massen ${\displaystyle m_{1}\gg m_{2}}$ gilt, erreicht der leichtere Ball das Dreifache seiner Anfangsgeschwindigkeit und damit das Neunfache der Ausgangshöhe.

Realer Fall – zwei Bälle

Energieverluste durch Verformung des schwereren Balls beim Auftreffen auf den Boden werden mit der Stoßzahl ${\displaystyle k}$ berücksichtigt. Der untere Ball hat dann eine Geschwindigkeit

${\displaystyle v_{1}=k\cdot v,}$

nachdem er vom Boden reflektiert wurde. Für die Geschwindigkeit des leichteren Balls nach dem Stoß mit dem schwereren ergibt sich:

${\displaystyle v_{2}'=v\cdot {\frac {m_{1}(k^{2}+2k)-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

Im realen Fall treten Energieverluste auf, sodass ${\displaystyle k<1}$ ist. Im idealen Fall gilt ${\displaystyle k=1}$, was wieder zu der weiter oben angegebenen Formel für ${\displaystyle v_{2}'}$ führt.

Realer Fall mit drei Bällen

Wenn die Berechnung auf drei Bälle fortgesetzt wird, muss zusätzlich der Stoß von Ball 2 und Ball 3 betrachtet werden, wobei Ball 2 der mittlere Ball und Ball 3 der leichteste Ball ist. Erneut gilt bei dem Stoß der Impuls- und Energieerhaltungssatz. Für die Geschwindigkeit des dritten Balls nach dem Stoß mit dem zweiten ergibt sich:

${\displaystyle v_{3}'={\frac {v}{1+q_{2}}}\cdot \left({\frac {(1+k)(k^{2}+2k-q_{1})}{1+q_{1}}}+k-q_{2}\right)}$

Dabei wurden die Massenverhältnisse ${\displaystyle q_{1}={\tfrac {m_{2}}{m_{1}}}}$ und ${\displaystyle q_{2}={\tfrac {m_{3}}{m_{2}}}}$ verwendet.

Betrachtet man den idealen Fall eines vollkommen elastischen Stoßes mit ${\displaystyle k=1}$ und ${\displaystyle m_{1}\gg m_{2}\gg m_{3}}$, erhält man eine Geschwindigkeit ${\displaystyle v_{3}'=7\cdot v}$ und eine Endhöhe des dritten Balls, die dem 49-Fachen der Ausgangshöhe entspricht.

Für eine Pyramide aus weiteren Bällen kann die Rechnung analog weitergeführt werden, indem die Stöße von je zwei benachbarten Bällen betrachtet werden.