Leckströme

Die Leckströme, die durch die Ladungsträgerrekombination in den pn-Übergängen erzeugt wird werden zu den jeweiligen Strömen der Kollektor- und der Emitter-Diode hinzuaddiert. Das wird erreicht, indem man den Dioden im Transportmodell jeweils eine weitere Diode parallelschaltet. Diese zusätzlichen Dioden werden über die Leck-Sättigungs-Sperrströme ${\displaystyle I_{S,E}}$ und ${\displaystyle I_{S,C}}$, sowie über die Emissionskoeffizienten ${\displaystyle n_{E}\approx 1{,}5}$ und ${\displaystyle n_{C}\approx 2}$ beschrieben.

${\displaystyle I_{B,E}=I_{S,E}\,\left(e^{\frac {U_{BE}}{n_{E}\,U_{T}}}-1\right)}$

${\displaystyle I_{B,C}=I_{S,C}\,\left(e^{\frac {U_{BC}}{n_{C}\,U_{T}}}-1\right)}$

Hochstrom- und Early-Effekt

Wenn der Strom durch den Transistor sehr stark ist, ist der Transportstrom eines realen Transistors durch die hohe Ladungsträgerkonzentration in der Basis kleiner als durch das Grundmodell dargestellt. Dieser Effekt wird auch als Hochstromeffekt bzw. als starke Injektion bezeichnet.

Zusätzlich beeinflussen die Spannungen ${\displaystyle U_{BE}}$ und ${\displaystyle U_{BC}}$ die effektive Dicke der Basiszone und wirken sich somit auf den Transportstrom ${\displaystyle I_{T}}$ aus. Dieser Effekt ist als Early-Effekt bekannt.

Der Hochstrom- und der Early-Effekt wird durch die Größe der Dimension Zahl ${\displaystyle q_{B}}$ dargestellt.

${\displaystyle I_{T}={\frac {B_{N}\,I_{B,N}-B_{I}\,I_{B,I}}{q_{B}}}={\frac {I_{S}}{q_{B}}}\,\left(e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}\right)}$

${\displaystyle q_{B}}$ ist dabei die relative Majoritätsträgerladung und setzt sich aus der Größe des Early-Effekts ${\displaystyle q_{\text{Early}}}$ und der Größe des Hochstromeffektes ${\displaystyle q_{\text{Hoch}}}$ zusammen:

${\displaystyle q_{B}={\frac {q_{\text{Early}}}{2}}\,\left(1+{\sqrt {1+4\,q_{\text{Hoch}}}}\right)}$

${\displaystyle q_{\text{Early}}={\frac {1}{1-{\frac {U_{BE}}{U_{A,I}}}-{\frac {U_{BC}}{U_{A,N}}}}}}$

${\displaystyle q_{\text{Hoch}}={\frac {I_{S}}{I_{K,N}}}\left(e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-1\right)+{\frac {I_{S}}{I_{K,I}}}\left(e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}-1\right)}$

${\displaystyle U_{A,N}}$ und ${\displaystyle U_{A,I}}$ sind die Early-Spannungen mit ${\displaystyle U_{A}\approx 30\dots 150\,\mathrm {V} }$. ${\displaystyle I_{K,N}}$ und ${\displaystyle I_{K,I}}$ sind die Knieströme der starken Injektion. Die Größe der Knieströme ist von der Größe und damit der Bauform des Transistors abhängig und liegen im Milliampere- (Kleinleistungtransitor) bis Amperebereich (Leistungstransistor).

Hochstrom- und Early-Effekt im Normalbetrieb

Bei der Betrachtung des Kollektorstromes kommt die Auswirkung des Faktors ${\displaystyle q_{B}}$ besonders zur Geltung. Unter Vernachlässigung der Sperrströme erhält man:

${\displaystyle I_{C}={\frac {B_{N}\,I_{B,N}}{q_{B}}}={\frac {I_{S}\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}}{q_{B}}}}$

Bei kleinen bis mittleren Stromgrößen ${\displaystyle I_{C}<I_{K,N}}$ gilt ${\displaystyle q_{\text{Hoch}}\ll 1}$ und somit ${\displaystyle q_{B}\approx q_{\text{Early}}}$. Zusätzlich gilt

${\displaystyle U_{BC}=U_{BE}-U_{CS}\approx -U_{CE}}$

da ${\displaystyle U_{BE}\approx 0{,}6\dots 0{,}8\,\mathrm {V} }$. Somit erhält man eine Näherungsgleichung für den Early-Effekt:

${\displaystyle q_{\text{Early}}\approx {\frac {1}{1+{\frac {U_{CE}}{U_{A,N}}}}}}$

und durch Einsetzen in ${\displaystyle I_{C}}$ erhält man:

${\displaystyle I_{C}\approx I_{S}\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}\,\left(1+{\frac {U_{CE}}{U_{A,N}}}\right)}$

Bei großen Strömen ${\displaystyle I_{C}\to \infty }$ ist ${\displaystyle q_{\text{Hoch}}\gg 1}$ und somit ${\displaystyle q_{B}\approx q_{\text{Early}}\,{\sqrt {q_{\text{Hoch}}}}}$. Durch Einsetzen erhält man:

${\displaystyle I_{C}\approx {\sqrt {I_{S}\,I_{K,N}}}\,e^{\frac {U_{BE}}{2\,U_{T}}}\,\left(1+{\frac {U_{CE}}{U_{A,N}}}\right)}$

Unter Vernachlässigung der Sperrströme erhält man für ${\displaystyle I_{B}}$ die Gleichung

${\displaystyle I_{B}={\frac {I_{S}}{B_{N}}}\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}+I_{S,E}\,e^{\frac {U_{BE}}{n_{E}\,U_{T}}}}$

Stromverstärkung

Für die Stromverstärkung B gilt der Zusammenhang

${\displaystyle B={\frac {I_{C}}{I_{B}}}={\frac {B_{N}}{q_{B}+B_{N}\,\left({\frac {q_{B}}{I_{S}}}\right)^{\frac {1}{n_{E}}}\,I_{S,E}\,I_{C}^{{\frac {1}{n_{E}}}-1}}}}$

Zudem ist die Stromverstärkung B von U_BE und U_CE abhängig, da auch I_C und q_B von diesen Spannungen abhängig sind.

Der Verlauf der Stromverstärkung wird zur Näherung in drei Abschnitte unterteilt:

1. Leckstrombereich

Bei kleinen Kollektorströmen dominiert der Leckstromanteil I_B,E im Basisstrom I_B. Dieser Bereich wird folglich als Leckstrombereich bezeichnet. In diesem Bereich gilt aufgrund der Dominanz des Leckstromes die Näherung ${\displaystyle I_{B}\approx I_{B,E}}$ und ${\displaystyle q_{B}\approx q_{1}}$. Daraus ergibt sich die Vereinfachung:

${\displaystyle B\approx {\frac {I_{C}^{1-{\frac {1}{n_{E}}}}}{I_{S,E}\,\left({\frac {q_{1}}{I_{S}}}\right)^{\frac {1}{n_{E}}}}}\sim I_{C}^{1-{\frac {1}{n_{E}}}}\left(1+{\frac {U_{CE}}{U_{A,N}}}\right)^{\frac {1}{n_{E}}}}$

Mit ${\displaystyle n_{E}\approx 1{,}5}$ erhält man ${\displaystyle B\sim I_{C}^{\frac {1}{3}}}$. Damit ist die Verstärkung B in diesem Bereich kleiner als bei mittelgroßen Kollektorströmen und wird mit steigendem Kollektorstrom ${\displaystyle I_{C}}$ ebenfalls größer.

2. Normalbereich

Bei mittleren Kollektorströmen gilt die Näherung ${\displaystyle I_{B}\approx I_{B,N}}$ und daraus folgend:

${\displaystyle B\approx B_{N}\,\left(1+{\frac {U_{CE}}{U_{A,N}}}\right)}$

Daraus ergibt sich ein maximaler Wert, sowie nur eine geringe Abhängigkeit von ${\displaystyle I_{C}}$, für die Verstärkung B in diesem Bereich. Deshalb werden Transistoren bevorzugt in diesem Bereich betrieben.

3. Hochstrombereich

Bei großen Kollektorströmen kommt es zum Hochstromeffekt. Über den Zusammenhang ${\displaystyle I_{B}\approx I_{B,N}}$ erhält man den Zusammenhang:

${\displaystyle B\approx {\frac {B_{N}}{q_{B}}}\approx B_{N}\,{\frac {I_{K,N}}{I_{C}}}\,\left(1+{\frac {U_{CE}}{U_{A,N}}}\right)^{2}}$

Die Stromverstärkung B ist somit indirekt proportional zu I_C, was bedeutet, dass die Stromverstärkung mit steigendem Kollektorstrom stark abnimmt.

Die maximale Stromverstärkung bei konstanter Kollektor-Emitter-Spannung wird mit B_max(U_CE) bezeichnet. Für Transistoren mit großem Kniestrom I_K,N und kleinem Leckstrom I_S,E ist der Normalbereich so breit, dass der tatsächliche Verlauf von B mit der Näherungsgeraden in diesem Bereich eine Tangente bildet. Im Schnittpunkt gilt B_max(U_CE) = B_0,max = B_N, wobei B_0,max bei U_CE = 0 auftritt. Bei Transistoren mit kleinem Kniestrom und großem Leckstrom hingegen fällt der Normalbereich sehr schmal aus, wobei die Verstärkung unterhalb der Näherungsgeraden bleibt und damit B < B_N gilt.

Bahnwiderstände

Da das Halbleitermaterial für den elektrischen Strom einen Widerstand darstellt, muss dieser Widerstand in Form der Bahnwiderstände dargestellt werden. Man unterscheidet zwischen dem Emitterbahnwiderstand R_E, dem Kollektorbahnwiderstand R_C und dem Basisbahnwiderstand R_B.

Emitterbahnwiderstand

Aufgrund der starken Dotierung und des geringen Längen-zu-Querschnitt-Verhältnisses des Emitters hat R_E nur einen kleinen Betrag. Bei Kleinleistungstransistoren beträgt R_E etwa 0,1 Ω bis 1 Ω und bei Leistungstransistoren etwa 0,01 Ω bis 0,1 Ω.

Kollektorbahnwiderstand

Der Kollektorbahnwiderstand wird vor allem durch die schwach dotierte Kollektorzone verursacht. Bei Kleinleistungstransistoren beträgt R_C etwa 1 Ω bis 10 Ω und bei Leistungstransistoren etwa 0,1 Ω bis 1 Ω.

Basiswiderstand

Der Basiswiderstand wird aus dem externen Basiswiderstand R_Be und dem internen Basiswiderstand R_Bi gebildet. Der externe Basiswiderstand tritt zwischen dem Kontakt der Basis und der aktiven Basiszone auf, während der interne Basiswiderstand quer in der aktiven Basiszone zwischen Emitter und Kollektor auftritt. Bei großen Strömen hat der interne Basiswiderstand nur begrenzt Einfluss, da sich der Strom aufgrund der Stromverdrängung an der Basiszone konzentriert. Zusätzlich wirkt der Early-Effekt, der die Dicke der Basiszone beeinflusst. Diese Effekte werden in der Konstante q_B zusammengefasst.

Der Basiswiderstand ergibt sich folglich aus:

${\displaystyle R_{B}=R_{Be}+{\frac {R_{Bi}}{q_{B}}}}$

Für den Normalbetrieb folgt durch Auflösen von q_B:

${\displaystyle R_{B}={\begin{cases}R_{Be}+R_{Bi}\,\left(1+{\frac {U_{CE}}{U_{A,N}}}\right)&{\text{wenn}}\quad I_{C}<I_{K,N}\\R_{Be}&{\text{wenn}}\quad I_{C}\to \infty \end{cases}}}$

Bei Kleinleistungstransistoren beträgt R_Be etwa 10 Ω bis 100 Ω und bei Leistungstransistoren etwa 1 Ω bis 10 Ω. R_Bi ist etwa drei- bis viermal so groß wie R_Be.

Substrat-Diode

Bei integrierten Transistoren ist bei vertikalen npn-Transistoren zwischen Substrat und Kollektor, sowie bei lateralen pnp-Transistoren zwischen Substrat und Basis, konstruktionsbedingt—wie in den nebenstehenden Abbildungen dargestellt—ein pn-Übergang, die sog. Substrat-Diode. Diese Substrat-Diode wird als herkömmliche pn-Diode über die Shockley-Formel beschrieben. Für den Sättigungssperrstrom I_S wird der Sättigungssperrstrom der Substratdiode I_S,S eingesetzt:

${\displaystyle I_{D,S}=I_{S,S}\left(e^{\frac {U_{SB}}{U_{T}}}-1\right)}$ (lateral)

${\displaystyle I_{D,S}=I_{S,S}\left(e^{\frac {U_{SC}}{U_{T}}}-1\right)}$ (vertikal)

Da die Substrat-Diode üblicherweise nicht beschaltet wird, ist keine Modellierung erforderlich. Bei (fehlerhafter) Beschaltung kann jedoch ein Strom fließen und muss in diesem Fall auch berücksichtigt werden.

Sperrschichtkapazitäten

Bei einem einzelnen Bipolartransistor treten zwei und bei integrierten Transistoren drei Sperrschichtkapazitäten auf. Die Emitterdiode ist durch die Emittersperrschichtkapazität ${\displaystyle C_{S,E}\left(U_{B',E'}\right)}$ charakterisiert. Die Kollektordiode wird durch die Kollektorsperrschichtkapazität ${\displaystyle C_{C,E}}$ beschrieben, welche sich aus der internen Sperrschichtkapazität ${\displaystyle C_{S,Ci}}$ der aktiven Zone bei ${\displaystyle B'}$ und der externen Sperrschichtkapazität ${\displaystyle C_{S,Ce}}$ beim Basisanschluss ${\displaystyle B}$ zusammen. Die Anteile der internen und externen Sperrschichtkapazität an der Kollektorsperrschichtkapazität wird durch den Parameter ${\displaystyle x_{CSC}}$ dargestellt:

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{S,C}&=C_{S,Ci}+C_{S,Ce}\\C_{S,Ci}\left(U_{B'C'}\right)&=x_{CSC}\cdot C_{S,C}\left(U_{B'C'}\right)\\C_{S,Ce}\left(U_{B'C'}\right)&=\left(1-x_{CSC}\right)\cdot C_{S,C}\left(U_{B'C'}\right)\end{aligned}}}$

Bei Einzeltransistoren liegt der Faktor ${\displaystyle x_{CSC}}$ meistens zwischen 0,5 und 1, was bedeutet, dass ${\displaystyle C_{S,Ce}\leq C_{S,Ci}}$ ist. Bei integrierten Transistoren ist ${\displaystyle x_{CSC}<0{,}5}$ und damit ${\displaystyle C_{S,Ce}>C_{S,Ci}}$.

Bei integrierten Transistoren tritt zusätzlich die Sperrschichtkapazität der Substratdiode ${\displaystyle C_{S,S}}$ auf. Diese wirkt bei integrierten vertikalen npn-Transistoren am internen Kollektor ${\displaystyle C'}$ und bei integrierten lateralen npn-Transistoren an der internen Basis ${\displaystyle B'}$. Daher gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{S,S}&=C_{S,S}\left(U_{SC'}\right)\qquad {\text{(vertikal)}}\\C_{S,S}&=C_{S,S}\left(U_{SB'}\right)\qquad {\text{(lateral)}}\end{aligned}}}$

Diffusionskapazitäten

Beim Transistor treten zwei Diffusionskapazitäten auf: die Diffusionskapazität der Emitterdiode ${\displaystyle C_{D,N}}$ und die Diffusionskapazität der Kollektordiode ${\displaystyle C_{D,I}}$. In diesen werden die Emitterdiffusionsladung ${\displaystyle Q_{D,N}}$ und die Kollektordiffusionsladung ${\displaystyle Q_{D,I}}$ gespeichert. Die Diffusionsladungen ergeben sich aus dem Transportstrom ${\displaystyle I_{T}}$, welcher vom Kollektor zum Emitter fließt (siehe auch Transportmodell).

${\displaystyle Q_{D,N}=\tau _{N}\,B_{N}\,I_{B,N}=\tau _{N}\,I_{S}\,\left(e^{\frac {U_{B'E'}}{U_{T}}}-1\right)}$

${\displaystyle Q_{D,I}=\tau _{N}\,B_{I}\,I_{B,I}=\tau _{I}\,I_{S}\left(e^{\frac {U_{B'C'}}{U_{T}}}-1\right)}$

Wobei die Zeitkonstanten ${\displaystyle \tau _{N}}$ und ${\displaystyle \tau _{I}}$ als Transit-Zeit bezeichnet werden. Durch Differentiation ergeben sich aus diesen Gleichungen die Diffusionskapazitäten:

${\displaystyle C_{D,N}\left(U_{B'E'}\right)={\frac {\mathrm {d} \,Q_{D,N}}{\mathrm {d} \,U_{B',E'}}}={\frac {\tau _{N}\,I_{S}}{U_{T}}}\,e^{\frac {U_{B',E'}}{U_{T}}}}$

${\displaystyle C_{D,I}\left(U_{B'C'}\right)={\frac {\mathrm {d} \,Q_{D,I}}{\mathrm {d} \,U_{B',C'}}}={\frac {\tau _{N}\,I_{S}}{U_{T}}}\,e^{\frac {U_{B',C'}}{U_{T}}}}$

Die Diffusionskapazitäten ${\displaystyle C_{D,N}}$ und ${\displaystyle C_{D,I}}$ treten parallel zu den Sperrschichtkapazitäten ${\displaystyle C_{S,E}}$ und ${\displaystyle C_{S,Ci}}$ auf. Im Normalbetrieb ist die Kollektor-Diffusionskapazität ${\displaystyle C_{D,I}}$ aufgrund der geringen inneren Basis-Kollektor-Spannung ${\displaystyle U_{B',C'}}$ im Vergleich zur inneren Kollektor-Sperrschicht-Kapazität ${\displaystyle C_{S,Ci}}$ sehr klein und kann daher vernachlässigt werden. ${\displaystyle C_{D,I}}$ kann infolge der Vernachlässigung von ${\displaystyle C_{D,I}}$ mit einer konstanten Transitzeit beschrieben werden, wodurch ${\displaystyle \tau _{N}=\tau _{0,I}}$ angenommen wird.

Wenn der Transitstrom klein ist gilt ${\displaystyle C_{D,N}<C_{D,N}}$, bei großem Transitstrom hingegen gilt ${\displaystyle C_{D,N}>C_{D,N}}$. Um das korrekt darstellen zu können muss ${\displaystyle \tau _{N}}$ in der Ersatzschaltung genau modelliert werden. Eine Zunahme von ${\displaystyle \tau _{N}}$ gei großen Strömen wirkt sich als Abnahme der Grenzfrequenzen und der Schaltgeschwindigkeit des Transistors aus.

Aufgrund des Hochstromeffektes nimmt die Diffusionsladung überproportional zu. Die Transitzeit ist daher nicht konstant und nimmt mit steigendem Strom zu. Der Early-Effekt wirkt sich ebenfalls aus, da dieser die effektive Dicke der der Basiszone und damit die in der Basiszone gespeicherte Ladung verändert. Da jedoch mit den Parametern ${\displaystyle I_{K,N}}$ und ${\displaystyle U_{A,N}}$ keine präzise Beschreibung möglich ist, wird eine empirisch bestimmte Gleichung zur Beschreibung verwendet:

${\displaystyle \tau _{N}=\tau _{0,N}\,\left[1+x_{\tau ,N}\,\left(3\,x^{2}-2\,x^{3}\right)\,2^{\frac {U_{B'C'}}{U_{\tau ,N}}}\right]}$

wobei der Faktor x für das Polynom über die folgende Gleichung definiert ist:

${\displaystyle x={\frac {B_{N}\,I_{B,N}}{B_{N}\,I_{B,N}+I_{\tau ,N}}}={\frac {1}{1+{\frac {I_{\tau ,N}}{B_{N}\,I_{B,N}}}}}={\frac {1}{1+{\frac {I_{\tau _{N}}}{I_{S}\,\left(e^{\frac {U_{B'E'}}{U_{T}}}-1\right)}}}}}$

Zusätzlich ist ${\displaystyle \tau _{0},N}$ die ideale Transitzeit, ${\displaystyle x_{\tau _{N}}}$ der Koeffizient der Transitzeit, ${\displaystyle I_{K,N}}$ der Transitzeit-Kniestrom und ${\displaystyle U_{\tau ,N}}$ die Transitzeit-Spannung. Der Koeffizient der Transitzeit ${\displaystyle x_{\tau _{N}}}$ gibt an, wie stark ${\displaystyle \tau _{N}}$ bei ${\displaystyle U_{B'C'}=0\,\mathrm {V} }$ zunehmen kann:

${\displaystyle \lim _{I_{B,B}\to \infty }\tau _{N}=\tau _{0,N}\,\left(1+x_{\tau ,N}\right)\quad \forall {U_{B'C'}=0\,\mathrm {V} }}$

Die Hälfte der maximalen Zunahme erhält man bei ${\displaystyle I_{\tau ,N}=B_{N}\,I_{B,N}}$:

${\displaystyle \tau _{N}=\tau _{0,N}\,\left(1+{\frac {x_{\tau ,N}}{2}}\right)\quad \forall \left(B_{N}\,I_{B,N}=I_{\tau ,N}\right)\land \left(U_{B'C'}=0\right)}$

Daraus folgt, dass wenn die Spannung ${\displaystyle U_{B'C'}}$ um den Betrag der Spannung ${\displaystyle U_{\tau ,N}}$ sinkt, steigt ${\displaystyle \tau _{N}}$ nur noch mit der halben Geschwindigkeit. d. h. für ${\displaystyle U_{B'C'}=-n\,U_{\tau ,N}}$ ist die Zunahme von ${\displaystyle \tau _{N}}$ um den Faktor ${\displaystyle 2^{n}}$ kleiner.