Eisensteinreihen auf dem Raum der Gitter

Seien ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ zwei komplexe Zahlen mit ${\displaystyle {\frac {\omega _{1}}{\omega _{2}}}\not \in \mathbb {R} }$. Das von ${\displaystyle \omega _{1}}$ und ${\displaystyle \omega _{2}}$ erzeugte Gitter ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} }$ ist

${\displaystyle \Omega$ :=\left\{\omega =a\omega _{1}+b\omega _{2}:a,b\in \mathbb {Z} \right\}} .

Die Eisensteinreihe vom Gewicht ${\displaystyle k}$ zum Gitter ${\displaystyle \Omega }$ in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ist die unendliche Reihe der Form

${\displaystyle G_{k}(\Omega ):=\sum _{0\not =\omega \in \Omega }\omega ^{-k}}$.

Diese Reihen sind absolut konvergent für ${\displaystyle k\geq 3}$; für ungerades ${\displaystyle k}$ ist ${\displaystyle G_{k}(\Omega )=0}$.

Eisensteinreihen auf der oberen Halbebene

Die Untersuchung der Eisensteinreihen lässt sich oBdA auf Gitter der Form ${\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau }$ mit ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} z>0\}}$ beschränken, denn für ein Gitter ${\displaystyle \Omega }$ mit Basis ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$ gilt stets:

${\displaystyle G_{k}(\Omega )=G_{k}(\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{2}^{-k}G_{k}\left({\frac {\omega _{1}}{\omega _{2}}},1\right)}$,

und da die Basis so gewählt werden kann, dass ${\displaystyle {\frac {\omega _{1}}{\omega _{2}}}\in \mathbb {H} }$ gilt, kann man die Eisensteinreihen jedes Gitters berechnen, sobald man sie für diejenigen mit Basis ${\displaystyle (1,\tau ),\ \tau \in \mathbb {H} }$ kennt. Für letztere schreibt man auch abkürzend:

${\displaystyle G_{k}(\tau ):=G_{k}(\tau ,1)=\sum _{(0,0)\not =(m,n)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }{\frac {1}{(m\tau +n)^{k}}}}$.

Man kann die Eisensteinreihe ${\displaystyle G_{k}}$ also als eine Funktion auf der oberen Halbebene auffassen.

Eisenstein-Reihen sind holomorph in der oberen Halbebene und in der Spitze (${\displaystyle Im\,z\to \infty }$).

Die Eisensteinreihe ${\displaystyle G_{k}}$ ist eine Modulform vom Gewicht ${\displaystyle k}$ zur Gruppe ${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$, das heißt für ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} }$ mit ${\displaystyle ad-bc=1}$ gilt

${\displaystyle G_{k}\!\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{k}G_{k}(\tau ).}$

Für ${\displaystyle k\geq 8}$ sind die ${\displaystyle G_{k}}$ Polynome mit rationalen Koeffizienten in ${\displaystyle G_{4}}$ und ${\displaystyle G_{6}}$, d. h. ${\displaystyle G_{k}\in \mathbb {Q} [G_{4},G_{6}]}$, es gilt die Rekursionsformel:

${\displaystyle (n-3)(2n+1)(2n-1)G_{2n}=3\sum _{p=2}^{n-2}(2p-1)(2n-2p-1)G_{2p}G_{2n-2p}}$

Speziell für ${\displaystyle n=4}$ ergibt sich hieraus ${\displaystyle 7G_{8}=3G_{4}^{2}}$ und durch einen Koeffizientenvergleich der Fourierentwicklungen (siehe unten) die bemerkenswerte zahlentheoretische Hurwitz-Identität (nach Adolf Hurwitz):

${\displaystyle \sigma _{7}(m)=\sigma _{3}(m)+120\sum _{r,s\in \mathbb {N} ,r+s=m}\sigma _{3}(r)\sigma _{3}(s)}$,

dabei ist die Teilerfunktion

${\displaystyle \,\sigma _{k}(n)=\sum _{d|n}d^{k}}$

die Summe der ${\displaystyle k}$-ten Potenzen der Teiler von ${\displaystyle n}$. Diese Formel lässt sich aber auch elementar (das heißt nicht funktionentheoretisch) beweisen.

Da in der Spitze für alle ${\displaystyle n\geq 2}$ gilt, dass ${\displaystyle \lim _{Im(\tau )\to \infty }G_{2n}(\tau )=2\zeta (2n)}$, folgt aus der Rekursionsformel, dass für alle ${\displaystyle n\geq 4}$ gilt:

${\displaystyle (n-3)(2n+1)(2n-1)\zeta (2n)=6\sum _{p=2}^{n-2}(2p-1)(2n-2p-1)\zeta (2p)\zeta (2n-2p)}$

Fourierentwicklung

Die Eisensteinreihen lassen sich in eine Fourierreihe entwickeln:

${\displaystyle G_{k}(\tau )=2\zeta (k)+2{\frac {(2\pi i)^{k}}{(k-1)!}}\sum _{m=1}^{\infty }\sigma _{k-1}(m)e^{2\pi im\tau }}$,

dabei ist ${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}}$ die Riemannsche Zetafunktion. Eine weitere übliche Darstellung ist die der normierten Eisensteinreihe

${\displaystyle G_{k}^{*}(\tau )={\frac {1}{2\zeta (k)}}G_{k}(\tau )=1-{\frac {2k}{B_{k}}}\sum _{m=1}^{\infty }\sigma _{k-1}(m)e^{2\pi im\tau }.}$

Dabei sind die ${\displaystyle B_{k}}$ die Bernoulli-Zahlen. Diese Fourierreihe hat ausschließlich rationale Fourierkoeffizienten.

Bezug zu elliptischen Funktionen

Es sei ${\displaystyle g_{2}=60G_{4}}$ und ${\displaystyle g_{3}=140G_{6}}$. Dann erfüllt die Weierstraßsche ℘-Funktion zum Gitter ${\displaystyle \Omega }$ die Differentialgleichung

${\displaystyle (\wp '(z))^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}(\Omega )\wp (z)-g_{3}(\Omega ).}$

Umgekehrt gibt es zu jeder elliptischen Kurve über ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$

ein Gitter ${\displaystyle \Omega }$ mit ${\displaystyle a=15G_{4}(\Omega )}$ und ${\displaystyle b=35G_{6}(\Omega )}$. Die elliptische Kurve wird dann parametrisiert durch

${\displaystyle (x,y)=(\wp (z),{\frac {1}{2}}\wp '(z))}$

mit ${\displaystyle z\in \mathbb {C} /\Omega }$. Insbesondere ist jede elliptische Kurve über ${\displaystyle \mathbb {C} }$ homöomorph zu einem Torus ${\displaystyle \mathbb {C} /\Omega }$.