Unter deutsch Elliptische-Kurven-Kryptografie oder Elliptic Curve Cryptography (ECC) versteht man asymmetrische Kryptosysteme, die Operationen auf elliptischen Kurven über endlichen Körpern verwenden. Diese Verfahren sind nur sicher, wenn diskrete Logarithmen in der Gruppe der Punkte der elliptischen Kurve nicht effizient berechnet werden können.

Jedes Verfahren, das auf dem diskreten Logarithmus in endlichen Körpern basiert, wie z. B. der Digital Signature Algorithm, das Elgamal-Verschlüsselungsverfahren oder der Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch, lässt sich in einfacher Weise auf elliptische Kurven übertragen und somit zu einem Elliptic-Curve-Kryptosystem umformen. Dabei werden die beim Originalverfahren eingesetzten Operationen (Multiplikation und Potenzieren) auf dem endlichen Körper ersetzt durch entsprechende Operationen (Punktaddition und Skalarmultiplikation) der Punkte auf der elliptischen Kurve. Das ${\displaystyle n}$-fache Addieren eines Punktes ${\displaystyle P}$ zu sich selbst (also die Multiplikation mit dem Skalar ${\displaystyle n}$) wird mit ${\displaystyle nP}$ bezeichnet und entspricht einer Potenz ${\displaystyle x^{n}}$ im ursprünglichen Verfahren.

Das Prinzip wurde Mitte der 1980er Jahre von Victor S. Miller und Neal Koblitz unabhängig voneinander vorgeschlagen.

Funktionsprinzip

Auf elliptischen Kurven kann eine additive zyklische Gruppe definiert werden, die aus den Vielfachen eines Punktes auf der Kurve, des Erzeugers der Gruppe, besteht. Das Addieren zweier Punkte in der Gruppe ist einfach, es gibt aber Kurven, auf denen die „skalare Division“ für einen Punkt ${\displaystyle A}$ schwer ist, d. h., es ist kein effizientes Verfahren bekannt, um zu dem gegebenen Punkt ${\displaystyle A}$ in einer von einem Punkt ${\displaystyle P}$ erzeugten Gruppe eine natürliche Zahl ${\displaystyle a}$ mit ${\displaystyle aP=A}$ zu finden. Damit gibt es auf diesen Kurven ein Analogon zum Diskreten Logarithmus-Problem (DLP) in multiplikativen Gruppen, das ebenfalls DLP genannt wird.

Analog kann man das Computational-Diffie-Hellman-Problem (CDH, zu gegebenen ${\displaystyle aP}$ und ${\displaystyle bP}$ berechne ${\displaystyle abP}$) und das Decisional-Diffie-Hellman-Problem (DDH) definieren. Dadurch können kryptographische Verfahren, deren Sicherheit auf diesen Problemen beruht, auf elliptische Kurven übertragen werden, für die diese Probleme vermutlich schwierig sind. Beispiele dafür sind

• Elliptic Curve Diffie-Hellman (ECDH)
• Elliptic Curve Integrated Encryption Scheme (ECIES), auch Integrated Encryption Scheme (IES) genannt
• Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)
• ECMQV, ein von Menezes, Qu und Vanstone vorgeschlagenes Protokoll zur Schlüsselvereinbarung

Darüber hinaus gibt es Kurven ${\displaystyle E}$, auf denen eine Pairing genannte bilineare Abbildung ${\displaystyle e\colon E\times E\to G}$ in eine Gruppe ${\displaystyle G}$ existiert. In diesen Kurven ist zwar DDH leicht, da ${\displaystyle e(aP,bP)=e(P,abP)}$ gilt, die Existenz des Pairings erlaubt aber viele neuartige Anwendungen.

Effizienz und Sicherheit

Da das Problem des diskreten Logarithmus in elliptischen Kurven (ECDLP) deutlich schwerer ist als die Berechnung des diskreten Logarithmus in endlichen Körpern oder die Faktorisierung ganzer Zahlen, kommen Kryptosysteme, die auf elliptischen Kurven beruhen – bei vergleichbarer Sicherheit – mit erheblich kürzeren Schlüsseln aus als die herkömmlichen asymmetrischen Kryptoverfahren, wie z. B. das RSA-Kryptosystem oder der Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch. Die derzeit schnellsten Algorithmen sind der Babystep-Giantstep-Algorithmus und die Pollard-Rho-Methode, deren Laufzeit bei ${\displaystyle {\mathcal {O}}(2^{n/2})}$ liegt, wobei ${\displaystyle n}$ die Bitlänge der Größe des zugrundeliegenden Körpers ist. Nach heutigem Kenntnisstand wird z. B. mit einer Schlüssellänge von 160 Bit eine ähnliche Sicherheit erreicht wie bei RSA mit 1024 Bit. ECC eignet sich daher besonders dann, wenn die Speicher- oder Rechenkapazität begrenzt ist, z. B. in Smartcards oder anderen eingebetteten Systemen.

Beispielhaft werden hier die vom US-amerikanischen National Institute of Standards and Technology (NIST) und ECRYPT angegebenen äquivalenten Schlüssellängen für RSA- bzw. Diffie-Hellman-Schlüssel für bestimmte Sicherheitsniveaus aufgelistet.

Die Spalte Sicherheitsniveau bezieht sich auf die Bitlänge eines vergleichbar sicheren symmetrischen Verschlüsselungsalgorithmus.

Die mathematischen Operationen auf elliptischen Kurven sind aufwändiger zu berechnen als Operationen in vergleichbar großen endlichen Körpern oder RSA-Modulen. Allerdings kann mit erheblich kürzeren Schlüsseln ein Sicherheitsniveau erreicht werden, das mit Verfahren auf Basis des diskreten Logarithmus oder mit RSA vergleichbar ist. Unter anderem durch die kürzeren Schlüssel können Elliptische-Kurven-Kryptosysteme daher bei einem vergleichbaren Sicherheitsniveau schneller sein. Ein Vergleich der Recheneffizienz dieser kryptographischen Verfahren hängt jedoch stark von den Details der Implementierung (kryptographische Parameter, Arithmetik, Optimierungen, Programmiersprache und Compiler, zugrunde liegende Hardware) ab.

Verwendung

Elliptic Curve Cryptography wird von modernen Windows-Betriebssystemen (ab Vista) unterstützt.

Produkte der Mozilla Foundation (u. a. Firefox, Thunderbird) unterstützen ECC mit mindestens 256 Bit Key-Länge (P-256 aufwärts).

Die in Österreich gängigen Bürgerkarten (e-card, Bankomat- oder a-sign Premium Karte) verwenden ECC seit ihrer Einführung 2004/2005, womit Österreich zu den Vorreitern in deren breitem Einsatz zählt.

Die Reisepässe der meisten Europäischen Staaten (u. a. Deutschland) verwenden ECC zumindest für den Schutz des Zugriffs auf den Chip mittels Extended Access Control, einige Länder (u. a. Deutschland und Schweiz) verwenden es auch, um die auf dem Chip gespeicherten Daten mit Passive Authentication zu schützen.

In Deutschland verwendet der neue Personalausweis ebenfalls ECC, sowohl für Extended Access Control als auch für Passive Authentication.

Sony benutzt Elliptic Curve DSA zur digitalen Signierung von Software für die PlayStation 3. Im Jahr 2010 gelang einer Hackergruppe die Ermittlung des benutzten Private Key und somit ein fast vollständiger Bruch der Sicherheitssysteme. Dies war jedoch vor allem auf Implementierungsfehler von Sony zurückzuführen und nutzte keine Sicherheitslücken im verwendeten ECC-Verfahren aus.

Patente

Laut der US-amerikanischen National Security Agency (NSA) sind Implementierungen mit Patentproblemen konfrontiert. Vor allem die kanadische Certicom Inc. besitzt demnach mehr als 130 Patente, die für ECC oder Public-Key-Kryptographie benötigt werden. 26 davon wurden von der NSA lizenziert, um ECC-Verfahren zu Zwecken nationaler Sicherheit zu implementieren.

In einer Studie des Zentrums für sichere Informationstechnologie Austria (A-SIT) wird auf Patente in effizienten Implementierungen hingewiesen, wobei ECC selbst „prinzipiell patentfrei“ sei.

RFC 6090 beschreibt grundlegende ECC-Algorithmen, die bereits 1994 oder vorher veröffentlicht wurden (und daher heute keinen Patenten mehr unterliegen können). Die im Internet heute weit verbreiteten ECC-Verfahren basieren auf diesen Algorithmen, so dass sie sich nach Veröffentlichung von RFC 6090 recht unproblematisch durchsetzen konnten.

Standardisierungsgremien und Normen

Siehe auch

• DNSCurve
• Elliptic Curve DSA

Literatur

• Annette Werner: Elliptische Kurven in der Kryptographie. Springer, 2002, ISBN 3-540-42518-7. 
• Lawrence C. Washington: Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography. CRC, 2008, ISBN 978-1-4200-7146-7. 
• David H. von Seggern: CRC Standard Curves and Surfaces with Mathematica, Third Edition. CRC, 2016, ISBN 978-1-4822-5021-3. 

Weblinks

• Video einer Vorlesung von Neal Koblitz ´über Elliptic-Curve-Cryptology, 1998, (MPG; 1,8 GB, englisch)
• ECC-Arbeitsgruppe, Domainparameter (PDF; 0,1 MB)
• Freie Implementation des „Elliptic Curve DSA“ für Windows und Linux, Download und Anleitung(englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ Victor S. Miller: Use of Elliptic Curves in Cryptography. In: Advances in Cryptology – CRYPTO ’85 Proceedings (= Lecture Notes in Computer Science). Band 218. Springer, 1986, S. 417–426, doi:10.1007/3-540-39799-X_31. 
2. ↑ Neal Koblitz: Elliptic Curve Cryptosystems. In: Mathematics of Computation. Band 48, Nr. 177. American Mathematical Society, 1987, S. 203–209, JSTOR:2007884. 
3. ↑ Cryptographic Key Length Recommendation. BlueKrypt, abgerufen am 3. November 2011 (englisch). 
4. 1 2 3 The Case for Elliptic Curve Cryptography. 15. Januar 2009, abgerufen am 3. November 2011 (englisch). 
5. ↑ ECRYPT II Yearly Report on Algorithms and Keysizes (2011–2012). (PDF; 886 kB) 30. September 2012, abgerufen am 15. Dezember 2016 (englisch). 
6. ↑ NIST hat nur eine 521-bit Kurve standardisiert und gibt daher als äquivalentes Sicherheitsniveau 521 bit an.
7. ↑ R. Szerwinski, T. Güneysu: Exploiting the Power of GPUs for Asymmetric Cryptography. Proceedings of CHES 2008, pp. 79–99, 2008
8. ↑ Billy Bob Brumley, Nicola Tuveri: Remote Timing Attacks are Still Practical. In: Cryptology ePrint Archive: Report 2011/232. 11. Mai 2011, abgerufen am 3. November 2011 (englisch, Abruf als PDF möglich). 
9. ↑ Erfolgreiche Timing-Angriffe auf Verschlüsselung mit elliptischen Kurven. heise.de, 23. Mai 2011, abgerufen am 3. November 2011. 
10. 1 2 3 SafeCurves: choosing safe curves for elliptic-curve cryptography. Abgerufen am 7. Juni 2016 (englisch). 
11. ↑ Elisabeth Oswald: Kryptosysteme basierend auf Elliptischen Kurven Einsatz und Verbreitung in Standardsoftware. (PDF; 445 kB) (Nicht mehr online verfügbar.) Zentrum für sichere Informationstechnologie - Austria (A-SIT), 29. Juli 2009, archiviert vom Original am 5. März 2014; abgerufen am 2. November 2011.  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.a-sit.at 
12. ↑ Mozilla CA Certificate Maintenance Policy (Version 2.0). mozilla.org, 4. November 2011, abgerufen am 4. November 2011 (englisch).  “We consider the following algorithms and key sizes to be acceptable and supported in Mozilla products: … Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (using ANSI X9.62) over SECG and NIST named curves P-256, P-384, and P-512;”
13. ↑ Elliptische Kurven. (Nicht mehr online verfügbar.) Archiviert vom Original am 5. Dezember 2011; abgerufen am 3. November 2011.  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.a-sit.at 
14. ↑ Zdeněk Říha: Electronic passports. (PDF) (Nicht mehr online verfügbar.) JRC Ispra, European Commission, Masaryk University, Brno, 13. September 2008, archiviert vom Original am 15. Februar 2010; abgerufen am 3. November 2011 (englisch). 
15. ↑ Manfred Lochter, Johannes Merkle: Ein neuer Standard für elliptische Kurven. (PDF; 796 kB) Mai 2009, abgerufen am 14. Januar 2018 (Vortrag auf dem 11. Deutschen IT-Sicherheitskongress 2009). 
16. ↑ 27C3: Sicherheitssystem der Playstation 3 ausgehebelt. heise.de, 30. Dezember 2010, abgerufen am 5. November 2011. 
17. ↑ Elisabeth Oswald: Einsatz und Bedeutung Elliptischer Kurven für die elektronische Signatur. (PDF; 443 kB) (Nicht mehr online verfügbar.) A-SIT, 2001, S. 27, archiviert vom Original am 3. Februar 2014; abgerufen am 2. November 2011.  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.a-sit.at 
18. ↑ RFC 6090 – Fundamental Elliptic Curve Cryptography Algorithms. Februar 2011 (englisch).
19. ↑ ANSI X9.62-2005, Public Key Cryptography for the Financial Services Industry: The Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)
20. 1 2 3 4 5 6 bada55.cr.yp.to (PDF)
21. 1 2 3 4 safecurves.cr.yp.to
22. ↑ Digital Signature Standard (DSS). (PDF; 1,2 MB) FIPS PUB 186-5. National Institute of Standards and Technology (NIST), Februar 2023, abgerufen am 3. Oktober 2023 (englisch).  (ECDSA).
23. ↑ miracl.com
24. ↑ Information technology – Security techniques – Digital signatures with appendix – Part 3: Discrete logarithm based mechanisms. ISO/IEC, abgerufen am 3. November 2011 (englisch, Kostenpflichtiger PDF-Abruf).  “ISO/IEC 14888-3:2006 specifies digital signature mechanisms with appendix whose security is based on the discrete logarithm problem. It provides a general description of a digital signature with appendix mechanism, and a variety of mechanisms that provide digital signatures with appendix.”
25. ↑ Information technology – Security techniques – Cryptographic techniques based on elliptic curves. ISO/IEC, abgerufen am 3. November 2011 (englisch, Kostenpflichtiger PDF-Abruf).  “ISO/IEC 15946 specifies public-key cryptographic techniques based on elliptic curves. It consists of five parts and includes the establishment of keys for symmetric cryptographic techniques, and digital signature mechanisms (Part 15946-2 was revoked in 2007, and replaced by 14888-8).”
26. ↑ Standard Specifications For Public-Key Cryptography. The IEEE P1363 project develops Standard Specifications For Public-Key Cryptography, towards the goal of issuing a series of IEEE standards documents. (Nicht mehr online verfügbar.) IEEE, 10. Oktober 2008, archiviert vom Original am 1. November 2011; abgerufen am 3. November 2011 (englisch).  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/grouper.ieee.org 
27. ↑ RFC 5639 – Elliptic Curve Cryptography (ECC) Brainpool Standard Curves and Curve Generation. März 2010 (englisch).
28. ↑ secg.org (PDF; 0,3 MB)
29. ↑ bsi.bund.de (PDF)
30. ↑ schneier.com