Elliptischer Differentialoperator

Ein Differentialoperator ${\displaystyle \textstyle P(u)(x)=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\partial _{x}^{\alpha }u(x)}$, notiert in Multiindexschreibweise, der Ordnung ${\displaystyle m}$ auf einem Gebiet ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ heißt im Punkt ${\displaystyle y\in \Omega }$ elliptisch, falls für alle ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}\backslash \{0\}}$ gilt

${\displaystyle P_{m}(y,\xi ):=\sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(y)\xi ^{\alpha }\neq 0\ .}$

Man nennt ${\displaystyle \ P_{m}}$ das Hauptsymbol von ${\displaystyle P}$. Ein Differentialoperator heißt elliptisch, falls er für alle ${\displaystyle y\in \Omega }$ elliptisch ist.

Elliptische Differentialgleichung

Sei ${\displaystyle P}$ ein elliptischer Differentialoperator und ${\displaystyle f}$ eine Funktion, dann heißt die Gleichung

${\displaystyle Pu=f}$

elliptische Differentialgleichung und ${\displaystyle u}$ ist die gesuchte Funktion in dieser Differentialgleichung.

Gleichmäßig elliptischer Differentialoperator

Ein Differentialoperator ${\displaystyle P}$ heißt gleichmäßig elliptisch in ${\displaystyle U}$, wenn es ein ${\displaystyle c>0}$ gibt, so dass

${\displaystyle |P_{m}(y,\xi )|\geq c|\xi |^{m}}$

für alle ${\displaystyle (y,\xi )\in U\times \mathbb {R} ^{n}}$ gilt.

Hypo-elliptischer Differentialoperator

Ein Operator ${\displaystyle \textstyle P(D)=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }D^{\alpha }}$ mit konstanten Koeffizienten ${\displaystyle a_{\alpha }\in \mathbb {C} }$ heißt hypo-elliptisch, wenn es ein ${\displaystyle C>0}$ gibt, so dass für alle ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}$ mit ${\displaystyle |\xi |\geq C}$ und alle ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}$ gilt:

• ${\displaystyle P(\xi )\neq 0}$ und
• ${\displaystyle |D^{\alpha }P(\xi )|\leq C|P(\xi )|\cdot |\xi |^{-|\alpha |}}$.

Allgemeiner heißt ein Differentialoperator ${\displaystyle P(D)}$ auf einer offenen Menge ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{d}}$ mit nicht notwendigerweise konstanten Koeffizienten hypo-elliptisch, falls für jede Menge ${\displaystyle U'\subset U}$ offen, beschränkt und jede Distribution ${\displaystyle u\in {\mathcal {D}}(U')}$ die Implikation

${\displaystyle Pu\in C^{\infty }(U')\quad \Rightarrow \quad u\in C^{\infty }(U')}$

gilt. In Worten: Ist das Bild im Distributionensinne des Differentialoperators ${\displaystyle P}$ unendlich oft differenzierbar, so gilt dies bereits für die Urbilder.

Im Gegensatz zum gleichmäßig elliptischen Differentialoperator ist der hypo-elliptische Differentialoperator eine Verallgemeinerung des elliptischen Differentialoperators. Diese Forderung an den Differentialoperator ist also schwächer. Siehe hierzu die Regularitätstheorie elliptischer Operatoren weiter unten.

Existenzaussage

Es seien die Koeffizientenfunktionen ${\displaystyle a_{ij},b_{i},c}$ allesamt messbare und beschränkte Funktionen. Dann existiert für jedes ${\displaystyle f\in L^{2}(U)}$ eine eindeutige schwache Lösung ${\displaystyle u\in H_{0}^{1}(U)}$ des Dirichlet-Randwertproblems

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{cc}Pu=f&{\text{in}}\ U\\u=0&{\text{in}}\ \partial U,\end{array}}\right.}$

falls die zum Differentialoperator ${\displaystyle P}$ assoziierte Bilinearform ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ koerziv ist. Hierbei ist ${\displaystyle {\mathcal {P}}:H_{0}^{1}(U)\times H_{0}^{1}(U)\rightarrow \mathbb {R} }$ definiert vermöge

${\displaystyle {\mathcal {P}}(u,\varphi ):=\int _{U}\left(-\sum _{i,j}^{n}a_{ij}(x)\partial _{x_{i}}u(x)\partial _{x_{j}}\varphi (x)\right)+\left(\sum _{i}^{n}b_{i}(x)\partial _{x_{i}}u(x)\varphi (x)\right)+c(x)u(x)\varphi (x){\rm {d}}x}$.

Mit dem Lemma von Lax-Milgram folgert man die Existenz und die Eindeutigkeit der Lösung ${\displaystyle u}$ aus der Bilinearform ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$. Ist ${\displaystyle P}$ gleichmäßig elliptisch, so ist die assoziierte Bilinearform ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ immer koerziv. Verwendet man statt einer Dirichlet-Randbedingung eine Neumann-Randbedingung, so existiert, falls die assoziierte Bilinearform wieder koerziv ist, genau eine Lösung der partiellen Differentialgleichung, was sich fast genauso beweisen lässt.

Regularität

Seien ${\displaystyle a_{ij},b_{i},c\in C^{\infty }(U)}$ für alle ${\displaystyle i,j}$, und sei außerdem ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ und ${\displaystyle u\in H^{1}(U)}$ eine schwache Lösung der elliptischen Differentialgleichung

${\displaystyle Pu=f\ {\text{in}}\ U}$.

Dann gilt ${\displaystyle u\in C^{\infty }(U)}$.

Maximumprinzip

Für elliptische Differentialoperatoren zweiter Ordnung gilt ein Maximumsprinzip. Sei ${\displaystyle c\geq 0}$ in ${\displaystyle U}$ und sei ${\displaystyle u\in C^{2}(U)\cap C({\overline {U}})}$.

1. Falls

${\displaystyle Pu\leq 0\ {\text{in}}\ U}$

gilt und ${\displaystyle u}$ ein nichtnegatives Maximum in einem inneren Punkt von ${\displaystyle {\overline {U}}}$ annimmt, dann ist ${\displaystyle u}$ konstant.

2. Falls

${\displaystyle Pu\geq 0\ {\text{in}}\ U}$

gilt und ${\displaystyle u}$ ein nichtpositives Minimum in einem inneren Punkt von ${\displaystyle {\overline {U}}}$ annimmt, dann ist ${\displaystyle u}$ konstant.

Eigenwertprobleme

Man betrachte das Randwertproblem

${\displaystyle Pu=\lambda u\ {\text{in}}\ U}$

${\displaystyle \ u=0\ {\text{in}}\ \partial U,}$

wobei ${\displaystyle \lambda }$ ein Eigenwert des Differentialoperators ${\displaystyle P}$ ist. Außerdem sei ${\displaystyle P}$ symmetrischer Differentialoperator.

1. Dann sind alle Eigenwerte ${\displaystyle P}$ reell.

2. Außerdem haben alle Eigenwerte dasselbe Vorzeichen und haben nur endliche Vielfachheit.

3. Schlussendlich existiert eine Orthonormalbasis ${\displaystyle \{w_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ von ${\displaystyle L^{2}(U)}$ mit ${\displaystyle w_{k}\in H_{0}^{1}(U)}$ als Eigenfunktion zum Eigenwert ${\displaystyle \lambda _{k}}$.

Definition

Ein Pseudodifferentialoperator heißt elliptisch, falls sein Symbol ${\displaystyle p\in S_{cl}^{m}(X)}$ eigentlich getragen und das homogene Hauptsymbol gleichmäßig elliptisch ist – oder äquivalent dazu, falls in einer konischen Umgebung ${\displaystyle V}$ von ${\displaystyle (x_{0},\xi _{0})}$ für das echte Symbol die Ungleichung ${\displaystyle |a(x,\xi )|\geq {\tfrac {1}{C}}(1+|\xi |)^{m}}$ für eine Konstante ${\displaystyle C>0}$ für ${\displaystyle (x,\xi )\in V}$ und ${\displaystyle |\xi |\geq C}$ gilt.

Invertierbarkeit

Sei ${\displaystyle P\in \Psi _{\rho ,\delta }^{m}(X)}$ ein elliptischer Pseudodifferentialoperator und ${\displaystyle \rho >\delta }$, dann existiert ein eigentlich getragener Pseudodifferentialoperator ${\displaystyle Q\in \Psi _{\rho ,\delta }^{-m}(X)}$, so dass

${\displaystyle (P\circ Q)(u)=(Q\circ P)(u)=I(u)+R(u)}$

gilt. Dabei ist ${\displaystyle I}$ der Identitätsoperator, und ${\displaystyle R\in \Psi _{\rho ,\delta }^{-\infty }(X)}$ ist ein Operator, welcher jede Distribution auf eine glatte Funktion abbildet. Diesen Operator ${\displaystyle Q}$ nennt man Parametrix. Der Operator ${\displaystyle P}$ kann also modulo ${\displaystyle \Psi _{\rho ,\delta }^{-\infty }(X)}$ invertiert werden. Diese Eigenschaft macht den elliptischen Pseudodifferentialoperator und damit als Spezialfall den elliptischen Differentialoperator zu einem Fredholm-Operator.

Singulärer Träger

Sei ${\displaystyle P\in \Psi _{\rho ,\delta }^{m}(X)}$ wieder ein elliptischer Pseudodifferentialoperator und ${\displaystyle \rho >\delta }$. Dann gilt für jede Distribution ${\displaystyle u\in {\mathcal {D}}'(X)}$

${\displaystyle \operatorname {sing\ supp} (Pu)=\operatorname {sing\ supp} (u).}$

Der singuläre Träger einer Distribution verändert sich also nicht.